Bobinas y sobretensión de apertura

Una bobina, una fuente y un interruptor. Cierra el interruptor y observa paso a paso cómo aumenta la corriente. Después, ábrelo sin nada en paralelo con la bobina, con un diodo o con un diodo y una resistencia. Observa por dónde circula la corriente y qué tensión debe soportar el interruptor.

Ejemplo resuelto — Bobinas y sobretensión de apertura

Inductancia como solenoide largo	0,1421 H
Corriente con el interruptor cerrado	30,00 mA
Constante de tiempo	355,3 µs
Energía del campo	63,96 µJ
Tensión máxima en el interruptor	360,2 V
Tensión mínima en el interruptor	-318,4 V
Calor disipado en el devanado	64,03 µJ (100,11%)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Bobinas y sobretensión de apertura

Una bobina es un arrollamiento de hilo cuyo campo magnético se opone a cualquier cambio de la corriente que lo recorre. La tensión entre sus extremos es v = L di/dt: mantener una corriente constante no requiere tensión, mientras que un cambio brusco exige una tensión enorme. L es la inductancia, medida en henrios. Para un solenoide largo de N espiras, sección transversal A y longitud ℓ, devanado sobre un núcleo de permeabilidad relativa μᵣ, se cumple L = μ₀μᵣN²A/ℓ. Una corriente I almacena en el campo la energía U = ½LI². Si conectas la bobina en serie con una resistencia R a una fuente de tensión V, la corriente tiende a V/R con una constante de tiempo τ = L/R.

Qué significa cada símbolo

L: inductancia, en henrios: los voltios necesarios por cada amperio por segundo de variación de la corriente
N: número de espiras. L es proporcional a N² porque cada espira contribuye al campo y, a la vez, queda enlazada por su flujo
μᵣ: permeabilidad relativa del núcleo: vale 1 para el aire e indica por qué factor el núcleo multiplica L
I₀: corriente de régimen permanente con el interruptor cerrado, Vₛ/R
R: resistencia del propio devanado, presente en toda bobina y que acaba disipando la energía
Rₛ: resistencia en serie con el diodo, que eleva la tensión de limitación y acelera la desexcitación
C: capacidad en paralelo con el interruptor abierto: la del propio transistor y la del cableado. Es pequeña; cuanto menor sea, mayor será el pico de tensión
τ: L/R, la constante de tiempo: determina la rapidez con que aumenta la corriente al cerrar el interruptor y, aproximadamente, con que disminuye cuando solo hay un diodo

Supone: La bobina se modela como un solenoide largo: se supone que el campo interior es uniforme y el exterior, nulo. Esto sobreestima L en una bobina cuya longitud apenas duplica el diámetro, como la que aparece por defecto. El núcleo no se satura ni pierde energía por corrientes de Foucault. El interruptor abierto es un aislante perfecto con una capacidad en paralelo; un transistor real cuya tensión admisible sea inferior al máximo entra en ruptura, entre unos contactos reales salta un arco y el diodo interno de un MOSFET limitaría la oscilación por debajo de masa. En los dos circuitos con diodo se omite esa capacidad: con 30 mA, una capacidad de 1 nF se carga hasta la tensión de limitación en C × V ÷ I₀, es decir, 0,425 µs con el diodo solo y 1,425 µs con 1 kΩ, frente a tiempos de desexcitación de cientos de microsegundos. El diodo sigue el modelo de Shockley de la página sobre el diodo, a 25 °C. Bajar a la décima parte significa que la corriente cae al 10 % de I₀ y no vuelve a superar ese valor; en un relé, esto corresponde al 1 % de la fuerza de atracción. Al rebobinar para otra tensión, se supone que el mismo espacio contiene la misma cantidad de cobre.

Abres el interruptor y la corriente sigue circulando 🖖

Pulsa Sin nada en paralelo y avanza hasta el instante en que se abre el interruptor. Justo antes circulaban 30 mA, y esa corriente no puede cesar de golpe: según v = L di/dt, haría falta una tensión infinita para anularla en un tiempo nulo. La corriente sigue, pues, por el único camino que queda: la capacidad de 1 nF en paralelo con el interruptor abierto. La tensión aumenta hasta que la corriente se anula. Para entonces, la capacidad almacena 64,89 µJ: los 63,96 µJ del campo, más la energía aportada por la fuente, que sigue conectada, menos la que ha disipado el devanado durante el proceso. El máximo es de 360,2 V, con una fuente de 12 V. Pulsa Solo 100 pF: la décima parte de la capacidad debe almacenar casi la misma energía, y el máximo alcanza 1.134 V. Que un interruptor real lo soporte depende de su tensión nominal: un transistor con una tensión admisible inferior entra en ruptura; entre los contactos de un interruptor mecánico salta un arco al separarse.

El diodo protege el interruptor y acelera la desexcitación 🖖

Sin nada en paralelo, y si el interruptor sobrevive, la bobina tarda en desexcitarse. La corriente cae a la décima parte en solo 17,70 µs porque la energía ha pasado a la capacidad, pero enseguida vuelve a circular en sentido contrario. La energía oscila entre la bobina y la capacidad hasta que la resistencia del devanado la disipa. El devanado solo puede disiparla mientras está en la bobina, aproximadamente durante la mitad de cada oscilación. El proceso tarda 1,614 ms. Pulsa Diodo de rueda libre: la tensión en el interruptor es de 12,74 V, la de la fuente más la caída en el diodo. La corriente circula por la bobina y el diodo, y baja a la décima parte en 674,7 µs. Añadir una resistencia en serie con el diodo acelera la caída a costa de una tensión mayor. Pulsa Diodo más 1 kΩ: 219,8 µs, con un máximo de 42,74 V. En la tabla puedes ver cómo, al aumentar la resistencia, sube la tensión de limitación y se acorta el tiempo de desexcitación.

Una bobina de 48 V no genera un pico mayor que una de 12 V 🖖

Para devanar el mismo carrete para 48 V en lugar de 12 V, necesitas cuatro veces más espiras de un hilo cuya sección sea la cuarta parte. La inductancia aumenta con el cuadrado del número de espiras. La resistencia también, porque el hilo es cuatro veces más largo y su sección es cuatro veces menor. Así, L/R se mantiene en 355,3 µs, la corriente se reduce a la cuarta parte y el campo almacena los mismos 63,96 µJ; los amperios-vuelta que atraen la armadura siguen siendo 150. Pulsa Bobinado para 48 V: sin nada en paralelo con la bobina, la tensión en el interruptor alcanza 368,3 V, frente a los 360,2 V del devanado de 12 V. Las dimensiones de la bobina y la potencia para la que se devana determinan la sobretensión; la tensión nominal apenas influye. Donde sí se aprecia su efecto es con el diodo: sus 0,74 V frenan más la corriente de un devanado de 5 V que la de uno de 48 V. Con el diodo, la desexcitación tarda 547,3 µs en el devanado de 5 V y 777,0 µs en el de 48 V.

Problema resuelto al detalle

Cómo elegir la resistencia en serie con un diodo de rueda libre 6 pasos
Un transistor con una tensión máxima admisible de 60 V conmuta la bobina de 12 V de esta página: 400 Ω y 0,1421 H, con un diodo en paralelo. ¿Cuál es la mayor resistencia de la serie E12 (1,0, 1,2, 1,5, 1,8 kΩ, etc.) que puedes conectar en serie con el diodo sin que la tensión en el interruptor alcance 60 V? ¿Cuánto tarda entonces la corriente en bajar a la décima parte, en comparación con el diodo solo, y cuánta energía disipa la resistencia en forma de calor cada vez que desconectas la bobina?

Abre este problema en la herramienta
1. Con el interruptor cerrado, la corriente es I₀ = 12 V ÷ 400 Ω = 30 mA, y el campo almacena ½LI₀² = ½ × 0,1421 H × (30 mA)² = 63,96 µJ.
  
  $I_{0} = \frac{12 V}{400 Ω} = 30 mA, \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0.1421 H \times (30 mA)^{2} = 63.96 μ J$
2. En el instante en que se abre el interruptor, siguen circulando 30 mA por la bobina, ahora a través del diodo y de Rₛ. La tensión en el interruptor es la suma de la tensión de alimentación, la caída en el diodo a 30 mA y la caída en la resistencia: 12 V + 0,738 V + 0,03 A × Rₛ.
  
  $v_{sw} = V_{S} + V_{D} (I_{0}) + I_{0} R_{s} = 12 V + 0.738 V + 0.03 A \times R_{s}$
3. Para que esa tensión quede por debajo de 60 V, Rₛ ≤ (60 − 12,738) V ÷ 0,03 A = 1.575 Ω. El mayor valor de la serie E12 por debajo de ese límite es 1,5 kΩ, que da 57,74 V; con 1,8 kΩ se alcanzarían 66,74 V.
  
  $R_{s} \leq \frac{( 60 - 12 . 738 ) V}{0 . 03 A} = 1575 Ω \Rightarrow 1.5 kΩ : 57.74 V$
4. La corriente decae ahora a través de R + Rₛ = 1.900 Ω, con una constante de tiempo L ÷ 1.900 Ω = 74,80 µs. Si aproximas la caída en el diodo por un valor constante de 0,738 V, la corriente es i = (I₀ + V_D/R′)e^(−t/τ′) − V_D/R′, con V_D/R′ = 0,3885 mA. Alcanza 3 mA en t = 74,80 µs × ln(30,39 ÷ 3,388) = 164,1 µs.
  
  $τ^{'} = \frac{L}{R + R _{s}} = \frac{0 . 1421 H}{1900 Ω} = 74.80 μ s, t = τ^{'} ln \frac{30 . 39}{3 . 388} = 164.1 μ s$
5. Selecciona Diodo + resistencia y fija Rₛ = 1.500 Ω en la herramienta, que utiliza la curva real del diodo: obtendrás 164,5 µs. Con el diodo solo se tardaban 674,7 µs, así que la resistencia acelera la desexcitación por un factor de 4,10.
  
  $\frac{674 . 7 μ s}{164 . 5 μ s} = 4.10$
6. De los 63,96 µJ, la resistencia disipa 49,29 µJ, el 77,07 %. En el instante de apertura disipa una potencia I₀²Rₛ = (30 mA)² × 1.500 Ω = 1,350 W; unos cientos de microsegundos después, esa potencia es casi nula.
  
  $\int R_{s} i^{2} d t = 49.29 μ J (77 . 07%), I_{0}^{2} R_{s} = 1.350 W$
Respuesta

1,5 kΩ, con lo que la tensión en el interruptor alcanza 57,74 V y queda un margen de 2,26 V respecto al límite admisible. La corriente baja a la décima parte en 164,5 µs, frente a 674,7 µs, y la resistencia disipa 49,29 µJ en cada apertura. La herramienta simula una sola conmutación. Si accionas el relé diez veces por segundo, la potencia media en la resistencia es de 49,29 µJ × 10 por segundo = 0,4929 mW; el pico de 1,350 W del instante de apertura se desvanece en unos cientos de microsegundos.

$R_{s} = 1.5 kΩ : 57.74 V, 164.5 μ s, 49.29 μ J; 10 Hz : 0.4929 mW$

Ruta de aprendizaje

Lo que no es una resistencia

Referencias (1)

v = L di/dt, the long-solenoid inductance, ½LI² and the RL time constant in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §14.2 "Self-Inductance and Inductors" (Equations 14.10 and 14.13), §14.3 "Energy in a Magnetic Field" (Equation 14.20) and §14.4 "RL Circuits" (Equations 14.24 and 14.25).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.