Laboratorio de respuesta al escalón de primer orden

ajusta la ganancia, el tamaño del escalón y la constante de tiempo para ver evolucionar la respuesta exponencial

Ejemplo resuelto — Laboratorio de respuesta al escalón de primer orden

Salida y(t)	0,6321
Valor en régimen permanente	1,0000
Progreso hacia el régimen permanente	63,21%
Tiempo transcurrido, en constantes de tiempo	1,000 τ
Tiempo de subida, 10% → 90%	2,197
Tiempo de establecimiento, al 2%	3,912
Tus valores, sustituidos	0,6321
valor final K·A	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Laboratorio de respuesta al escalón de primer orden

Un sistema de primer orden es aquel cuya velocidad de cambio es proporcional a lo que aún le falta por recorrer. Empújalo con una entrada constante aplicada de golpe —un escalón— y no salta: cierra el hueco restante a un ritmo fraccional constante, trazando una aproximación exponencial a un nuevo valor de reposo. La constante de tiempo τ es lo que tarda ese hueco en reducirse a 1/e de su tamaño inicial.

Qué significa cada símbolo

K: la ganancia: cuánta salida acaba dando el sistema por unidad de entrada.
A: el tamaño del escalón aplicado en t = 0.
τ: la constante de tiempo, en las mismas unidades que t. Es el único símbolo aquí que afecta a los tiempos.
K·A: el valor final en el que se asienta la salida, una vez agotada la exponencial.

De dónde viene la fórmula

Empieza por la premisa física y no por la fórmula. Un sistema de primer orden cambia a un ritmo proporcional a su distancia restante al objetivo: cuanto más le queda, más deprisa se mueve. Escrito, dy/dt = (K·A − y)/τ, que se reordena como τ·dy/dt + y = K·A.
Separa variables e integra: dy/(K·A − y) = dt/τ da −ln(K·A − y) = t/τ + c.
Aplica la condición inicial. El sistema está en reposo antes del escalón, así que y(0) = 0, lo cual fija la constante y deja K·A − y = K·A·e^(−t/τ). Lee esa línea por sí sola: lo que decae exponencialmente es el hueco, y es el hueco —no la salida— lo simple del asunto.
Por tanto y(t) = K·A(1 − e^(−t/τ)). La fracción que queda por recorrer es e^(−t/τ), que depende de t y τ solo a través de su cociente. Ese único hecho genera toda la tabla de hitos: en una τ el hueco es 1/e, de modo que va hecho el 63,21%; en tres τ, el 95,02%; en cinco τ, el 99,33%. Nada de esos números puede alterarse con la ganancia ni con el escalón.

Cómo leer lo que ves

La curva verde es y(t) y la línea gris discontinua es el valor final K·A que nunca alcanza del todo. Las líneas verticales marcan de 1τ a 5τ, de modo que los porcentajes de los hitos se leen directamente sobre la curva. La línea naranja discontinua hace visible el paso 4: sale del origen con la pendiente inicial K·A/τ y encuentra la línea gris exactamente en una constante de tiempo, con un punto en el cruce. La banda azul es el ±2% del valor final —la definición habitual de «llegado» en ingeniería— y la marca vertical es el instante de la casilla Tiempo. La tabla de abajo resalta la fila τ en la que estás ahora mismo.

Supone: Un solo elemento de almacenamiento, un sistema en reposo antes del escalón y un escalón que llega de forma instantánea. También supone linealidad: duplica el escalón y cada punto de la curva se duplica, que es justo por lo que los porcentajes de los hitos son fijos. Aquí no se modela ninguna saturación, así que una ganancia de 10 con un escalón de 10 predecirá tan campante una salida de 100 que un actuador real no podría entregar.
Falla cuando: Una respuesta de primer orden es monótona: nunca puede sobrepasar su valor final ni oscilar. Así que si un sistema real repica, o cruza su objetivo antes de asentarse, no es de primer orden, y ningún valor de τ te servirá. Eso exige al menos dos elementos de almacenamiento, de donde sale el comportamiento de segundo orden de un oscilador amortiguado. El tiempo muerto lo rompe de otra manera: un retardo de transporte desplaza toda la curva a la derecha sin cambiar su forma, de modo que tampoco puede absorberse en τ.

La constante de tiempo pertenece al sistema; la amplitud del escalón, no 🖖

Cambia la entrada y toda la curva se escala, pero el reloj no se mueve. Con τ = 3, la respuesta ha recorrido el 63.21% de su trayecto tras tres segundos —y sigue marcando el 63.21% tanto si el escalón es 1 como si es 5, y ya sea la ganancia 1 o 4. Solo τ influye en el tiempo: elévala a 10 y esos mismos tres segundos solo rinden un 25.92%. Por eso, la constante de tiempo se indica como una propiedad de un motor, un termómetro o un circuito RC sin que nadie mencione qué se le hizo. La ganancia y el escalón deciden dónde termina la salida; solo τ decide cuánto tarda en llegar allí.

El primer instante ya sabe dónde va a terminar 🖖

La respuesta sale del origen con pendiente K·A/τ. Prolonga esa recta —la línea naranja discontinua de arriba— y cruza el valor final exactamente en t = τ. Siempre: con cualquier ganancia, cualquier escalón, cualquier constante de tiempo, y también con escalones negativos. Así se lee una constante de tiempo en una traza de osciloscopio, con una regla y sin cuenta alguna: traza la tangente al inicio, mira dónde encuentra el nivel final y lee el tiempo. La curva en sí está lejos de haber terminado en ese momento —lleva un 63,21%— porque viene frenando desde el primer instante, y la tangente es la única parte del movimiento que nunca frenó.

Un termómetro, un motor y un condensador son la misma ecuación 🖖

Los ejes de esta página no llevan unidades, y es a propósito. τ·dy/dt + y = K·A describe cualquier cosa con un sitio donde almacenar y una vía por donde perder, y τ es siempre el tamaño del almacén dividido por la rapidez con que se vacía. Para un condensador a través de una resistencia, eso es R·C. Para un termómetro en aire en movimiento, la capacidad térmica dividida por el coeficiente de transferencia por el área. Para un motor que coge velocidad, la inercia dividida por el amortiguamiento. Para un depósito bien agitado, el volumen dividido por el caudal. Cuatro ciencias distintas, una curva, un número: por eso la ingeniería de control puede hablar de «un retardo de primer orden» sin decir nunca de qué está hecha la cosa.

Problema resuelto al detalle

Salida que ha alcanzado el 63,21% tras una constante de tiempo ante una entrada escalón 5 pasos
En un sistema de primer orden transcurrida una constante de tiempo tras una entrada en escalón, la salida ha alcanzado el 63,21 %. Demuestre que el 63,21 % —así como el tiempo de subida y el tiempo de establecimiento— no son en absoluto propiedades de este sistema.
1. La ecuación diferencial del sistema indica que la salida persigue a la entrada a un ritmo proporcional a la distancia que las separa. Al resolverla se obtiene la aproximación exponencial, donde la ganancia y la amplitud del escalón solo aparecen como un factor multiplicativo global.
  
  $τ \frac{d y}{d t} + y = K A, y (0) = 0 ⟹ y (t) = K A (1 - e^{- t / τ})$
2. Así pues, para t = τ la fracción alcanzada es 1 − e⁻¹. La ganancia y el escalón se simplifican: el 63,21 % es una propiedad de e, no de este sistema.
  
  $t = τ : \frac{y}{K A} = 1 - e^{- 1} = 0.6321 = 63.21%$
3. Esa misma simplificación permite obtener el tiempo de subida. Invierta la respuesta para hallar el instante correspondiente a cualquier fracción y reste los tiempos al 10 % y al 90 %. La diferencia es τ ln 9, y ln 9 = 2,197 es un número puro.
  
  $t_{p} = - τ ln (1 - p) : t_{r} = t_{90} - t_{10} = τ ln 9 = 2.197 τ$
4. El tiempo de establecimiento al 2 % requiere calcular cuándo la exponencial remanente cae a 0,02, lo que resulta en τ ln 50 = 3,912τ. De nuevo, sin dependencia de la ganancia ni de la amplitud del escalón.
  
  $1 - e^{- t / τ} = 0.98 ⟹ t_{s} = τ ln 50 = 3.912 τ$
5. Lo cual significa que todo el proceso funciona a la inversa. Mida un tiempo de subida en un equipo real y obtendrá τ = tᵣ/2,197: una sola lectura de cronómetro caracteriza por completo la dinámica.
  
  $2 τ : 86.47%, 3 τ : 95.02%, 5 τ : 99.33% τ = \frac{t _{r}}{2.197}$
Respuesta

La herramienta muestra 0,6321, 63,21%, un tiempo de subida de 2,197 y un tiempo de establecimiento de 3,912. Todos ellos son τ multiplicado por una constante derivada de e, y ninguno depende de la ganancia ni del escalón. Haga clic sucesivamente en los ajustes predeterminados rápido y lento para observar la separación: la salida, el valor de régimen permanente y el 63,21 % no cambian en absoluto, mientras que cada tiempo del panel se multiplica exactamente por diez (2,197 pasa a ser 21,972 y 3,912 pasa a ser 39,120). Solo existe una respuesta al escalón de primer orden en el mundo, y τ únicamente determina la velocidad a la que se observa. Con dos constantes de tiempo se alcanza el 86,47 %, con tres el 95,02 % y con cinco el 99,33 %, de donde proviene la regla de la ingeniería "cinco constantes de tiempo y el sistema se ha establecido".

$y = K A (1 - e^{- t / τ}) : 0.6321, ln 9, ln 50 are constants, not settings$

Ruta de aprendizaje

Resistencia, luego reactancia

Lleva a Resonancia RLC

Referencias (1)

The standard treatment of the first-order lag, including the rise and settling times this page reports and why they are pure multiples of τ: K. J. Åström & R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-21

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

respuesta rápida - τ = 1, leído en t = 1 → 63.21% del camino hacia un régimen permanente de 1
respuesta lenta - τ = 10, leído en t = 10 → otra vez 63.21%: diez veces más lento, el mismo progreso, porque el reloj va en unidades de τ
cuatro constantes de tiempo - τ = 1 leído en t = 4 → 98,17%, que es la definición habitual de «terminado»
ganancia doble - K = 2 lleva el destino a 2, y t = 5 frente a τ = 3 alcanza 1.6222 — el 81.11% del camino
escalón negativo - un escalón de −1 lleva la salida a −0,6321 en t = τ: el mismo 63,21% de un trayecto invertido