Sintonizador de Control PID

Ajusta un controlador PID y observa cómo la salida sigue una consigna escalón a través de una planta de primer orden.

Valores iniciales — Sintonizador de Control PID

Kp	1.2
Ki	0.4
Kd	0.1
Tau	1
Ganancia de la planta	1
Consigna	1

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

Cargando simulación interactiva...

en una planta de primer orden, el término D no tiene nada que amortiguar 🖖

El término proporcional responde al error presente; el integral elimina el error permanente que queda. Observa qué ocurre solo con P: con k_p = 1,2, la salida se estabiliza en 0,5455 y permanece ahí, a una distancia exactamente igual a k_p/(1 + k_p). Al añadir k_i, esa brecha se cierra. El término derivativo se comporta de otra manera en esta planta, pues k_d·de/dt realimenta la propia velocidad de cambio de la salida: el lazo pasa a ser (τ + k·k_d)ẏ = −y + k(k_pe + k_i∫e). Por tanto, aumenta la constante de tiempo en vez de amortiguar. Cuando hay acción integral, un lazo más lento acumula más error; si elevas k_d de 0 a 0,6 con k_p = 1,3 y k_i = 2,5, la sobreelongación pasa del 6,6% al 14,6%. La acción derivativa resulta útil en sistemas con inercia a la que oponerse. Esta planta no la tiene.

controlar por el error, no por la meta 🖖

El controlador nunca recibe la consigna como una orden directa. Solo conoce el error: la distancia entre el valor actual de la salida y el que tú deseas. Cada impulso que aplica responde a esa diferencia e intenta reducirla a cero. Observa la respuesta al escalón. La consigna salta y el error es grande, así que el controlador actúa con fuerza; después afloja a medida que la salida se acerca. Un buen control nace de responder al error, no de conocer de antemano la maniobra perfecta.

nació observando al timonel de un acorazado 🖖

La receta de tres términos no salió primero de las ecuaciones. En 1922 Nicolas Minorsky dedujo el control PID observando a un timonel experto gobernar el acorazado USS New Mexico. Notó que el marinero corregía no solo cuánto se desviaba el barco del rumbo (proporcional), sino también cuánto tiempo llevaba a la deriva (integral) y con qué rapidez cambiaba el rumbo (derivativo). El gobierno automático copió el instinto humano antes de que la teoría lo alcanzara.

Problemas resueltos al detalle

Dónde se estabiliza realmente un controlador con solo ganancia proporcional 5 pasos
Se pide a un controlador con solo ganancia proporcional que mantenga una salida en 1. Halla dónde se estabiliza realmente y encuentra por qué la fila del tiempo de subida indica que nunca se alcanzó el objetivo. Esto es Solo P: K_p = 1,2, K_i = 0, K_d = 0, constante de tiempo de la planta τ = 1 s, ganancia de la planta K = 1, consigna r = 1.
1. Tres hechos cierran el bucle en una sola ecuación. El controlador empuja con K_p veces el error, la planta deriva hacia K veces aquello con lo que se la empuja, y el error es lo que le queda a la consigna tras la salida. Al sustituir los dos últimos en el primero, y queda expresada solo en función de sí misma.
  
  $τ \frac{d y}{d t} = - y + K u, u = K_{p} e, e = r - y ⟹ τ \frac{d y}{d t} = - y + K K_{p} (r - y)$
2. Estar estabilizado significa que la derivada es 0, y eso transforma la ecuación diferencial en una aritmética que se puede hacer de cabeza. La ganancia aparece dos veces —una en el numerador y otra en la suma de abajo—, y esa es toda la estructura de la respuesta.
  
  $\frac{d y}{d t} = 0 : y_{\infty} = \frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} r = \frac{1.2}{2.2} = 0.5455$
3. Resta para obtener el error restante y observa cómo r se simplifica en la fracción. El error permanente es una fracción de lo que se haya pedido, no una cantidad fija: pide 100 y te desviarás en 45,45; pide 1 y te desviarás en 0,4545. Es una propiedad del bucle, no de la solicitud.
  
  $e_{\infty} = r - y_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}} = \frac{1}{2.2} = 0.4545$
4. Por qué el bucle no puede hacerlo mejor se explica en una línea, y es el quid de todo el problema. La única salida del controlador es K_p veces el error. Un error cero ordena un empuje cero, y un empuje cero mantiene la planta en cero. El controlador necesita un error permanente para generar el empuje permanente que mantiene arriba a y; compruébalo: la orden en régimen permanente es 0,5455, que es exactamente la salida que está manteniendo. El error permanente no se debe a un mal ajuste: es el propio mecanismo.
  
  $u_{\infty} = K_{p} e_{\infty} = 1.2 \times 0.4545 = 0.5455 = \frac{y _{\infty}}{K}$
5. Eso también explica la fila vacía. El tiempo de subida es el primer instante en que y alcanza 0,9r, e y nunca puede subir más allá de su propio techo de 0,5455. Por tanto, la lectura no indica que el bucle sea lento, sino que el objetivo está por encima del techo. Despeja la ganancia que eleva el techo a 0,9 y obtendrás 9, por lo que cualquier K_p inferior a 9 produce ese mismo espacio en blanco.
  
  $\frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} \geq 0.9 ⟺ K_{p} \geq \frac{9}{K} = 9$
Respuesta

La herramienta muestra y(10 s) = 0,55 y un error en régimen permanente de 0,455, sin haber alcanzado ni el tiempo de subida ni el tiempo de establecimiento. Y aquí está la pega. El factor 1 + K·K_p = 2,2 que divide al error también divide a la constante de tiempo de la planta, por lo que este bucle llega a su respuesta incorrecta en 0,4545 s en lugar de en el 1 s propio de la planta. La velocidad y la precisión son el mismo mando, y el mando sale caro: reducir el error al 1% requiere K_p ≥ 99, y en t = 0 el error es la consigna completa, de modo que el controlador empieza exigiendo 99 veces la salida que intenta producir. La ganancia proporcional nunca elimina el error permanente: solo lo hace lo bastante pequeño como para ignorarlo, y a cambio te cobra una primera maniobra violenta. Eliminarlo requiere un término que siga empujando después de que el error haya dejado de cambiar.

$e_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}}, τ^{'} = \frac{τ}{1 + K K _{p}} = \frac{1.00}{2.2} = 0.4545 s$
Cuánto desfase sobrevive a un integrador después de 10 s 5 pasos
Se supone que un integrador hace desaparecer el error permanente. Halla cuánto de él sobrevive al cabo de 10 s y encuentra la ganancia con la que este bucle empezaría a oscilar en su lugar. Esto es PI: K_p = 1, K_i = 0,6, K_d = 0, τ = 1 s, K = 1, r = 1.
1. Que el error permanente desaparezca es un argumento, no un cálculo. Supongamos que el bucle se estabiliza con un error constante distinto de 0. Entonces su integral acumulada crece sin límite, por lo que la orden crece sin límite, de modo que la salida crece sin límite... lo cual no es estabilizarse. El único error constante que puede tener un bucle PI estabilizado es 0, sean cuales sean las ganancias.
  
  $\overset{y}{˙} = 0, e \equiv c \neq = 0 : \int_{0}^{t} e d t = c t \to \infty ⟹ u \to \infty ⟹ c = 0$
2. Saber que llega allí no dice nada sobre cuándo. Deriva la ecuación del bucle una vez para eliminar el signo de la integral y observa lo que le ha ocurrido al orden: una planta de primer orden bajo control PI es un sistema de segundo orden, con todo el comportamiento que eso implica.
  
  $τ \overset{y}{˙} = - y + K (K_{p} e + K_{i} \int e d t), \overset{e}{˙} = - \overset{y}{˙} ⟹ τ \overset{y}{¨} + (1 + K K_{p}) \overset{y}{˙} + K K_{i} y = K K_{i} r$
3. El error obedece a la misma ecuación sin el término de excitación de la consigna, por lo que es una suma de exponenciales cuyos ritmos son las raíces. Aquí el discriminante es positivo, ambas raíces son reales y negativas y no queda nada con lo que oscilar, motivo por el cual la fila de la sobreoscilación marca 0,0% en lugar de algún porcentaje pequeño.
  
  $\overset{e}{¨} + 2 \overset{e}{˙} + 0.6 e = 0, s = - 1 \pm 1 - 0.6 = - 0.3675, - 1.6325$
4. Dos condiciones iniciales fijan los dos pesos. En t = 0 nada se ha movido, por lo que el error es la consigna completa; y la pendiente inicial de la planta es K·K_p·r/τ = 1, así que la pendiente inicial del error es -1. Al resolver el sistema, ambos pesos resultan ser exactamente 0,5, lo cual es una coincidencia de estas ganancias y no un resultado general.
  
  $e (0) = 1, \overset{e}{˙} (0) = - \frac{K K _{p} r}{τ} = - 1 ⟹ e (t) = 0.5 e^{- 0.3675 t} + 0.5 e^{- 1.6325 t}$
5. A los 10 s, la raíz rápida hace tiempo que se extinguió —su término ha bajado a 4×10⁻⁸—, por lo que la lenta representa toda la respuesta, y solo ha tenido 3,7 de sus propias constantes de tiempo para actuar. Nada ha ido mal; el bucle simplemente sigue en camino.
  
  $e (10) = 0.5 e^{- 3.675} + 0.5 e^{- 16.325} = 0.01268 + 4 \times 1 0^{- 8} = 0.0127, y (10) = 0.9873$
Respuesta

La herramienta muestra y(10 s) = 0,99 y un error residual de 0,013. El error permanente está desapareciendo, pero al final de la ventana aún es del 1,3%, y ese es el precio honesto de la acción integral: elimina el error en principio y se toma su tiempo en la práctica. Alcanzar el 0,1% requiere ln(500)/0,3675 = 16,9 s, fuera del margen derecho de la gráfica, por lo que esta ventana no puede mostrar un bucle PI terminado con estas ganancias. Aumenta K_i para darte prisa y chocarás contra un muro: el discriminante se vuelve negativo en K_i = 1, a partir del cual las raíces son complejas y la respuesta oscila. La diferencia más profunda vale más que cualquiera de los dos números. El error permanente proporcional era r/(1 + K·K_p), que contiene la ganancia de la planta, de modo que una válvula que se ensucia o un motor que pierde fuerza desplazan la respuesta: reduce K a la mitad y la desviación del control solo P pasa de 0,455 a 0,625. El punto de régimen permanente del PI no contiene K alguna. Por eso los bucles industriales incorporan un integrador: no porque sea más preciso hoy, sino porque sigue siendo preciso cuando la planta cambia por debajo.

$(1 + K K_{p})^{2} - 4 τ K K_{i} \geq 0 ⟺ K_{i} \leq \frac{( 1 + K K _{p} ) ^{2}}{4 τ K} = 1$

Referencias (1)

Insight block 3 — the helmsman, and the three terms taken from watching him: N. Minorsky, "Directional stability of automatically steered bodies." Journal of the American Society for Naval Engineers 34(2), 280–309, 1922.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-31

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Solo P - Con solo kp = 1,2, la salida se estabiliza en 0,5455 y permanece ahí. El déficit del 45,5% es exactamente kp/(1 + kp): el control proporcional no puede cerrar la brecha restante.
PI - En la misma planta, al añadir ki = 0,6, la salida alcanza 0,9873 a los diez segundos y sigue acercándose. La acción integral elimina el error permanente que deja el control P por sí solo.
con acción derivativa - Al añadir kd = 0,2 a kp = 1,3 y ki = 0,5, apenas cambia nada: a los diez segundos, la salida es 0,9663, frente a los 0,9873 del control PI. En una planta de primer orden, el término D añade retardo en vez de amortiguación.