Fracciones parciales

Toda función racional tiene una primitiva formada por una parte racional, logaritmos y arcotangentes, una vez factorizado su denominador. Avanza paso a paso por una descomposición y luego escribe tus propias respuestas: la página deriva lo que escribas y te muestra dónde se desvía tu derivada del integrando.

Cada término lineal	$\int \frac{A d x}{x - a} = A ln ∣ x - a ∣ + C$
Cada término cuadrático	$\int \frac{d x}{( x - h ) ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{k} arctan \frac{x - h}{k} + C$
Su coeficiente, para una raíz simple a	$A = \frac{P ( a )}{Q ^{'} ( a )}$

Ejemplo resuelto — Fracciones parciales

Coeficiente sobre (x − 2), por ocultación	3
Polos reales de f en [−5, 5]	2
Constantes de integración independientes	3
Logaritmos (c negativa)	−1/x (c = 0)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Fracciones parciales

Una descomposición en fracciones parciales escribe una función racional P(x)/Q(x), con P de grado menor que Q, como una suma de fracciones simples, un grupo por cada factor de Q sobre los reales: A/(x − a)^k para cada potencia de un factor lineal hasta su multiplicidad, y (Bx + C)/(x² + px + q)^k para cada potencia de un factor cuadrático sin raíces reales. Cuando el grado de P no es menor, divide primero. Cada fracción se integra en una función racional, un logaritmo o una arcotangente.

Qué significa cada símbolo

P/Q: el integrando, numerador sobre denominador; las raíces reales de Q son los polos de f
C: una constante de integración, que puede ser distinta en cada intervalo entre polos

De dónde viene la fórmula

Un factor simple: tápalo. Multiplica la identidad por x − a y haz x = a. Todas las demás fracciones se anulan. A es P(a) dividido entre lo que queda del denominador en a.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \dots \Rightarrow A = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Un factor repetido necesita una fracción por cada potencia. Para (x − a)², escribe A/(x − a) + B/(x − a)². Al tapar obtienes B. Para hallar A, compara los coeficientes de una potencia de x o sustituye cualquier otro valor de x.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) ^{2} R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}} + \dots, B = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Un factor cuadrático sin raíces reales. Descompón su numerador en un múltiplo de la derivada del cuadrático y una constante. La primera parte da un logaritmo; la segunda, al completar el cuadrado, una arcotangente.
$\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} = \frac{B}{2} \cdot \frac{2 x + p}{x ^{2} + p x + q} + \frac{C - \frac{B p}{2}}{( x + \frac{p}{2} ) ^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}}$

Falla cuando: La descomposición necesita las raíces de Q, y por encima del cuarto grado estas pueden no tener fórmula mediante radicales; los coeficientes siguen siendo números exactos, pero también pueden quedar fuera del alcance de los radicales: en el problema x⁵ − x − 1 el primero es exactamente 1/(5r⁴ − 1), siendo r la raíz real, y al igual que r carece de fórmula con radicales. La página trabaja con aproximaciones numéricas. La parte racional de la respuesta nunca necesita las raíces: Charles Hermite demostró que se puede encontrar empleando únicamente aritmética de polinomios, y el apartado 4 de Hardy expone su método.

Problemas resueltos al detalle

Dos factores lineales: el método de tapar 3 pasos
Calcula ∫(x + 7)/((x − 1)(x + 3)) dx.
1. Una fracción para cada factor lineal:
  
  $\frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$
2. Tapa cada factor por turno y evalúa en su raíz:
  
  $x = 1 : A = \frac{8}{4} = 2; x = - 3 : B = \frac{4}{- 4} = - 1$
3. Cada fracción da un logaritmo al integrar:
  
  $\int (\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 3}) d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Respuesta

2 ln|x − 1| − ln|x + 3| + C. Dos líneas de cálculo, sin sistemas de ecuaciones. El método funciona porque, al multiplicar por x − 1 y hacer x = 1, todas las demás fracciones se anulan.

$\int \frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Un factor repetido 3 pasos
Calcula ∫dx/(x²(x + 1)).
Mostrar solución
1. Como x² es un factor repetido, necesita dos fracciones: una para x y otra para x²:
  
  $\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$
2. Al tapar obtienes B y C; el coeficiente de x² da A:
  
  $x = 0 : B = 1; x = - 1 : C = 1; x^{2} : A + C = 0 \Rightarrow A = - 1$
3. Integra cada término. B/x² es una potencia, no un logaritmo:
  
  $\int (- \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1}) d x = - ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + ln ∣ x + 1∣ + C$
Respuesta

ln|(x + 1)/x| − 1/x + C. Escribir solo B/x² y C/(x + 1) es el tropiezo habitual: dos fracciones no pueden sumar esta expresión y la comparación de coeficientes no tendría solución.

$\int \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )} = ln \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x} + C$
Un cuadrático sin raíces reales 2 pasos
Calcula ∫(3x + 1)/(x² + 1) dx.
Mostrar solución
1. x² + 1 no factoriza, así que separa el numerador en un múltiplo de su derivada, 2x, y una constante:
  
  $\frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1}$
2. La primera parte es del tipo f′/f; la segunda, la arcotangente:
  
  $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1), \int \frac{d x}{x ^{2} + 1} = arctan x$
Respuesta

(3/2) ln(x² + 1) + arctan x + C. El logaritmo no lleva barras porque x² + 1 nunca es negativo.

$\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} d x = \frac{3}{2} ln (x^{2} + 1) + arctan x + C$
Un factor lineal por uno cuadrático 3 pasos
Calcula ∫dx/(x(x² + 1)).
Mostrar solución
1. La parte cuadrática lleva un numerador lineal, Bx + C:
  
  $\frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1}$
2. Al tapar obtienes A; al igualar el resto obtienes B y C:
  
  $x = 0 : A = 1; 1 = (x^{2} + 1) + (B x + C) x \Rightarrow B = - 1, C = 0$
3. Un logaritmo y el logaritmo del término cuadrático:
  
  $\int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Respuesta

ln|x| − ½ ln(x² + 1) + C. Una constante sobre x² + 1 no bastaría: el numerador sobre un cuadrático siempre puede ser lineal.

$\int \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )} = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Una fracción impropia: divide primero 3 pasos
Calcula ∫(x³ + x)/(x − 1) dx.
Mostrar solución
1. El numerador tiene mayor grado, así que divide primero:
  
  $x^{3} + x = (x - 1) (x^{2} + x + 2) + 2$
2. Un polinomio más una fracción propia:
  
  $\frac{x ^{3} + x}{x - 1} = x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}$
3. Integra término a término:
  
  $\int (x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Respuesta

x³/3 + x²/2 + 2x + 2 ln|x − 1| + C. Solo puedes descomponer en fracciones simples cuando el grado del numerador sea menor que el del denominador.

$\int \frac{x ^{3} + x}{x - 1} d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Completar el cuadrado 2 pasos
Calcula ∫dx/(x² + 4x + 13).
Mostrar solución
1. El discriminante es 16 − 52 < 0, así que no hay raíces reales. Completa el cuadrado:
  
  $x^{2} + 4 x + 13 = (x + 2)^{2} + 9 = (x + 2)^{2} + 3^{2}$
2. Es la forma de la arcotangente con h = −2 y k = 3:
  
  $\int \frac{d x}{( x + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Respuesta

(1/3) arctan((x + 2)/3) + C. El despiste habitual es olvidar el 1/3 inicial: al derivar arctan((x + 2)/3) obtienes 3/(x² + 4x + 13), el triple del integrando.

$\int \frac{d x}{x ^{2} + 4 x + 13} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Una integral definida entre los polos 2 pasos
Calcula ∫₀¹ dx/(x² − 4).
Mostrar solución
1. x² − 4 = (x − 2)(x + 2), y el método de tapar da ±1/4:
  
  $\frac{1}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$
2. Ambos polos, en ±2, quedan fuera de [0, 1], así que puedes aplicar la fórmula entre los límites:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} [ln \frac{x - 2}{x + 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{4} (ln \frac{1}{3} - ln 1)$
Respuesta

−(ln 3)/4 ≈ −0,2747. Da negativo porque 1/(x² − 4) es menor que cero en [0, 1]. Si el intervalo contuviera un polo, esa misma resta daría un número para una integral que no existe: de ahí la advertencia del bloque explicativo sobre las constantes de integración.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = - \frac{ln 3}{4} \approx - 0.2747$
∫ dx/(x⁴ + 1): sin raíces reales, dos cuadráticas reales 5 pasos
Calcula ∫₀^∞ dx/(x⁴ + 1). El denominador no tiene raíces reales, por lo que no hay polos ni factores lineales, y ninguno de los problemas de la página se le parece. Pulsa Una arcotangente para ver la pieza fundamental.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. x⁴ + 1 no tiene raíces reales, pero se convierte en una diferencia de dos cuadrados al sumar y restar 2x², por lo que se separa en dos cuadráticas reales:
  
  $x^{4} + 1 = (x^{2} + 1)^{2} - 2 x^{2} = (x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$
2. Ninguna de las cuadráticas tiene raíces reales (ambos discriminantes son 2 − 4 = −2), así que cada una recibe un numerador lineal. Al comparar los coeficientes se obtiene:
  
  $\frac{1}{x ^{4} + 1} = \frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{- \frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} - 2 x + 1}$
3. Cada término cuadrático se separa en un múltiplo de la derivada del denominador, que da un logaritmo, y una constante sobre un cuadrado completado, que da una arcotangente:
  
  $\frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{4 2} \cdot \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}}$
4. Por tanto la primitiva, válida en toda la recta, es:
  
  $F (x) = \frac{1}{4 2} ln \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{2 2} (arctan (2 x + 1) + arctan (2 x - 1))$
5. En x = 0 el logaritmo vale ln 1 = 0 y las arcotangentes se cancelan. A medida que x crece, el logaritmo tiende de nuevo a ln 1 = 0 y cada arcotangente a π/2:
  
  $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{1}{2 2} (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) - 0 = \frac{π}{2 2} = 1.1107$
Respuesta

π/(2√2) ≈ 1,1107. El explorador de la página se detiene en x² + c; una cuártica sin raíces reales necesita los mismos dos pasos, un logaritmo y una arcotangente, llevados a cabo dos veces, con √2 en cada coeficiente.

$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{π}{2 2} \approx 1.1107$

Una arcotangente es un logaritmo cuyas raíces se volvieron complejas 🖖

Pulsa Dos logaritmos y fíjate en el explorador bajo la zona de práctica. Para c = −1 el integrando es 1/(x² − 1), cuyo denominador tiene las raíces reales ±1, de modo que se divide en dos fracciones parciales y se integra como logaritmos: el área de 2 a 3 es ½ ln(3/2) = 0,2027. Pulsa Una arcotangente. Para c = 1 el denominador x² + 1 no tiene raíces reales, nada se divide sobre los reales, y la respuesta es arctan 3 − arctan 2 = 0,1419. Ahora arrastra c pasando por el cero. La fórmula cambia dos veces, de logaritmos a −1/x exactamente en c = 0, donde el área es 1/6 = 0,1667, y luego a una arcotangente, y la curva de la derecha ni se inmuta: no hay saltos ni picos. Son una misma función escrita de tres maneras. Permite los números complejos y x² + 1 = (x − i)(x + i) se separa como cualquier otra cuadrática; la arcotangente es entonces también un logaritmo, y los apuntes de Brian Conrad sobre el teorema de Liouville comprueban derivando que 2i·arctan x, más una constante, es un logaritmo de (x − i)/(x + i). «Logaritmos y arcotangentes» es como los números reales dicen «logaritmos».

Un +C no basta 🖖

Pulsa Dos polos y luego Mostrar una respuesta: la página escribe 3 ln|x − 2| − 3 ln|x + 1| para f = 9/((x − 2)(x + 1)). Ahora pulsa Desplazar las constantes. La página suma una constante distinta en cada uno de los tres intervalos en los que los polos en −1 y 2 dividen la recta, traza las ramas desplazadas sobre las originales y vuelve a preguntar al comprobador. El resultado sigue siendo correcto. En cada intervalo, la derivada de una constante es cero y nada enlaza un intervalo con el siguiente. La primitiva general tiene aquí tres constantes independientes, y «+ C» solo da nombre a la parte donde las tres coinciden. Cuenta los polos reales y suma 1. Un salto en cualquier otro punto es un error, y el comprobador así lo indica: prueba a añadir + sign(x) a la respuesta, que produce un salto en 0 donde f es suave, y verás que lo rechaza. Aquí es donde las constantes pasan factura. La integral de esta f desde 0 hasta 3 no existe, ya que atraviesa el polo en 2. Pese a ello, restar los valores de la fórmula en 0 y en 3 te da un número de lo más convincente: −3 ln 8.

El teorema promete la forma de la respuesta, no una fórmula para sus números 🖖

Pulsa x⁵ − x − 1. En los números reales todo polinomio se factoriza en partes lineales y cuadráticas, por lo que toda función racional se integra en una parte racional, logaritmos y arcotangentes, y esta también lo hace: un logaritmo para la raíz real cerca de 1,1673 y, para cada uno de los dos pares complejos, un logaritmo de una cuadrática y una arcotangente. Avanza por el ejemplo paso a paso para ver los cinco términos. Lo que el teorema no proporciona es una fórmula para las raíces, y para este denominador no existe ninguna. En módulo 5 no se factoriza en absoluto, y en módulo 2 es (x² + x + 1)(x³ + x² + 1); ambos hechos obligan a que su grupo de Galois sea S₅, y entonces ninguna raíz se puede escribir con +, −, ×, ÷ y radicales. Por lo tanto, la página calcula las raíces numéricamente, con unas quince cifras significativas, y el comprobador acepta la primitiva construida con ellas. Si en lugar de eso copias los coeficientes con cuatro decimales del último paso en la caja de respuesta, el comprobador la rechazará, porque exige una precisión de una parte por millón. G. H. Hardy lo dijo claramente en 1916: las raíces «no se pueden determinar por regla general en ninguna forma explícita. El método de fracciones parciales está, por lo tanto, sujeto a serias limitaciones».

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (3)

The integral of a rational function as a rational part plus Σ A log(x − a), with the coefficient over a simple root a given by P(a)/Q′(a) (§1, pp. 12–13), and the page's third claim in his words: “The roots of Q(x) = 0 are not in general explicit algebraical functions of the coefficients, and cannot as a rule be determined in any explicit form. The method of partial fractions is therefore subject to serious limitations” (§3, p. 15). §4 credits Hermite with finding the rational part without the roots: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter IV, §§1–4.
The arctangent as a logarithm: Example 2.1 (p. 4) checks by differentiation that 2i tan⁻¹(x), plus a constant, is a logarithm of the non-vanishing function (x − i)/(x + i), and why that matters: allowing only real exponentials and logarithms, 1/(1 + x²) would not be elementarily integrable at all (p. 7): B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), §2, Example 2.1, and §3, p. 7.
Why x⁵ − x − 1 has Galois group S₅: Dedekind's theorem turns a factorisation mod p into distinct irreducibles of degrees d₁, …, dₘ into a permutation of cycle type (d₁, …, dₘ) in the Galois group, and Theorem 2.1 says “a transitive subgroup of Sₙ that contains a transposition and a p-cycle for some prime p > n/2 is Sₙ”. The page supplies the factorisations (irreducible mod 5; (x² + x + 1)(x³ + x² + 1) mod 2) and its check verifies them: K. Conrad, “Recognizing Galois groups Sₙ and Aₙ”, expository note, University of Connecticut, §1 and Theorem 2.1.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.