Integración por sustitución

La regla de la cadena leída al revés es una forma de integrar: un integrando de la forma g(u(x))·u′(x) es la derivada de G(u(x)). Abajo, el área bajo este integrando se divide en franjas y cada franja se traslada al eje u, donde cubre un intervalo distinto con exactamente la misma área. Avanza paso a paso por una sustitución y luego prueba con la tuya.

Indefinida	$\int g (u (x)) u^{'} (x) d x G^{'} = G (u (x)) + C, = g$
Definida: los límites cambian con u	$\int_{a}^{b} g (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} g (u) d u$

Ejemplo resuelto — Integración por sustitución

Área en x, por la regla de Simpson	−0,7568
Conservando los límites de x, el error	0,9093
Franjas que avanzan en u	−0,7568
Franjas que retroceden en u	0,0000

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Integración por sustitución

La integración por sustitución es la regla de la cadena leída al revés. Si un integrando tiene la forma g(u(x))·u′(x) y G es una antiderivada de g, entonces G(u(x)) es una antiderivada del integrando, porque su derivada es G′(u(x))·u′(x). Para una integral definida los límites se mueven con la variable: ∫_a^b g(u(x)) u′(x) dx = ∫_u(a)^u(b) g(u) du.

Qué significa cada símbolo

u: la función interior, que se convierte en la nueva variable
du: u′(x) dx, el factor que ya debe encontrarse en el integrando, salvo por una constante

De dónde viene la fórmula

Por qué coinciden las franjas. Sobre una franja [x_i, x_i+1] el área bajo g(u(x))·u′(x) es G(u(x_i+1)) − G(u(x_i)), porque G(u(x)) es una antiderivada, y esa es también el área bajo g desde u(x_i) hasta u(x_i+1), sin importar en qué orden estén esos dos números. Suma las franjas y los términos internos se cancelan en pares, dejando G(u(b)) − G(u(a)).
$\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} g (u (x)) u^{'} (x) d x = G (u (x_{i + 1})) - G (u (x_{i})) = \int_{u (x_{i})}^{u (x_{i + 1})} g (u) d u, i \sum \Rightarrow G (u (b)) - G (u (a))$

Supone: El área del lado x se calcula numéricamente, mediante la regla de Simpson refinada donde la curva se dobla bruscamente, y la del lado u a partir de G, por lo que su coincidencia es una comprobación más que una identidad. Coinciden hasta cuatro decimales en todos los ajustes que permiten los controles.

Problemas resueltos al detalle

Un interior lineal 3 pasos
Calcula ∫(3x − 2)⁵ dx.

Abre este problema en la herramienta
1. El interior es lineal. Llámalo u; su derivada es la constante 3, así que dx es du/3:
  
  $u = 3 x - 2, d u = 3 d x, d x = \frac{d u}{3}$
2. Integra la potencia de u:
  
  $\int u^{5} \frac{d u}{3} = \frac{u ^{6}}{18}$
3. Vuelve a x:
  
  $\frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
Respuesta

(3x − 2)⁶/18 + C. Si te olvidas del 3 obtienes (3x − 2)⁶/6. Abre el problema en la herramienta y prueba a escribirlo: el veredicto te avisará de que la derivada es el triple del integrando.

$\int (3 x - 2)^{5} d x = \frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
La derivada ya está ahí 3 pasos
Calcula ∫x(x² + 1)⁴ dx.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. La x que acompaña al paréntesis es la mitad de su derivada, 2x:
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x, x d x = \frac{d u}{2}$
2. De este modo, la integral completa pasa a ser una potencia de u:
  
  $\int u^{4} \frac{d u}{2} = \frac{u ^{5}}{10}$
3. Vuelve a x:
  
  $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
Respuesta

(x² + 1)⁵/10 + C. Esa x es la que hace que todo funcione. Sin ella, en ∫(x² + 1)⁴ dx no tendrías ningún du que aprovechar y no quedaría más remedio que desarrollar el paréntesis.

$\int x (x^{2} + 1)^{4} d x = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
El numerador es la derivada del denominador 3 pasos
Calcula ∫(2x + 1)/(x² + x + 3) dx.

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1. El numerador es exactamente la derivada del denominador:
  
  $u = x^{2} + x + 3, d u = (2 x + 1) d x$
2. Por tanto, la integral es ∫du/u:
  
  $\int \frac{d u}{u} = ln ∣ u ∣$
3. Puedes quitar las barras, porque el denominador nunca es negativo:
  
  $x^{2} + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{11}{4} > 0 \Rightarrow ln (x^{2} + x + 3) + C$
Respuesta

ln(x² + x + 3) + C. Busca siempre este patrón en cualquier fracción: ∫f′/f dx = ln|f| + C. Si arriba hubiera habido x + ½, la solución sería la mitad.

$\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 3} d x = ln (x^{2} + x + 3) + C$
∫tan x 3 pasos
Calcula ∫tan x dx.

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1. Escribe tan x en forma de fracción. Salvo por el signo, el numerador es la derivada del denominador:
  
  $tan x = \frac{sin x}{cos x}, u = cos x, d u = - sin x d x$
2. Así que la integral es −∫du/u:
  
  $\int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int \frac{d u}{u} = - ln ∣ u ∣$
3. Vuelve a x. Las dos formas son una misma respuesta, ya que −ln a = ln(1/a):
  
  $- ln ∣ cos x ∣ + C = ln ∣ sec x ∣ + C$
Respuesta

−ln|cos x| + C, que también suele escribirse como ln|sec x| + C. El signo menos es el que suele perderse: la derivada de ln|cos x| es −tan x, y la herramienta te avisará de que el signo no es correcto.

$\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$
u = ln x 3 pasos
Calcula ∫(ln x)²/x dx para x > 0.

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1. Como 1/x es la derivada de ln x, ahí tienes du:
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Lo que queda es una potencia de u:
  
  $\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}$
3. Volvemos a x:
  
  $\frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Respuesta

(ln x)³/3 + C. Cualquier integrando de la forma g(ln x)/x se resuelve igual.

$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Cuando hay que expresar x en función de u 4 pasos
Calcula ∫x√(x + 1) dx.

Abre este problema en la herramienta
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1. Toma u = x + 1, de modo que du = dx. Como la x de delante no entra en du, exprésala en función de u:
  
  $u = x + 1, d u = d x, x = u - 1$
2. Multiplica para que cada término sea una potencia de u:
  
  $\int (u - 1) u d u = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) d u$
3. Integra cada potencia:
  
  $= \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2}$
4. Recupera la x:
  
  $\frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Respuesta

(2/5)(x + 1)^5/2 − (2/3)(x + 1)^3/2 + C. Integrar x y √(x + 1) por separado y multiplicar los resultados es el error que debes evitar: la integral de un producto no es el producto de las integrales.

$\int x x + 1 d x = \frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Cambia los límites con la variable 3 pasos
Calcula ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.
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1. El 2x es du para u = x² + 1:
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x$
2. Cambia los límites con la variable:
  
  $x = 0 \Rightarrow u = 1, x = 1 \Rightarrow u = 2$
3. Integra entre los nuevos límites:
  
  $\int_{1}^{2} u^{3} d u = [\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$
Respuesta

15/4 = 3,75. Si mantienes los límites antiguos, de 0 a 1, obtienes 1/4. El otro camino seguro es recuperar primero la x y usar los límites iniciales; mezclar u con los límites antiguos es el error.

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \frac{15}{4} = 3.75$
¿A qué distancia alcanza el área 5? 4 pasos
La curva x/(1 + x²) cae hacia 0 a medida que x crece. ¿A qué distancia de 0 debe estar b para que el área de 0 a b llegue a 5, y a qué altura está la curva allí? Pulsa Logaritmo lento: de 0 a 3 el área es 1,1513.

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1. Con u = 1 + x², du = 2x dx, así que x dx = du/2 y el área es medio logaritmo:
  
  $u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x : \int_{0}^{b} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + b^{2}} \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (1 + b^{2})$
2. En b = 3 eso es ½ ln 10, la cifra de la página. Iguálalo a 5:
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 5 \Rightarrow b = e^{10} - 1 = 148.41$
3. Allí la curva alcanza solo
  
  $f (148.41) = \frac{148 . 41}{1 + 148 . 4 1 ^{2}} = 0.0067$
4. Duplicar el área a 10 requiere
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 10 \Rightarrow b = e^{20} - 1 = 22, 026.47$
Respuesta

b ≈ 148,4, donde la curva tiene una altura de 0,0067. El área nunca deja de crecer, pero para una b grande crece como ln b, por lo que cada unidad adicional de área multiplica b por aproximadamente e ≈ 2,72. El deslizador de la página se detiene en b = 5.

$b \approx 148.4, f (b) \approx 0.0067$

Puedes dividir por una constante que falta, nunca por una x 🖖

Pulsa Falta un −2. El integrando es x·e^−x² y se ha escrito e^−x². Por la regla de la cadena, su derivada es e^−x²·(−2x), que es −2 veces el integrando en cada punto, y el veredicto dice exactamente eso. Con u = −x², du = −2x dx: la x del integrando es la du que necesitas a excepción del −2, y una constante atraviesa el signo integral, así que divide por ella. −½e^−x² es correcto. Ahora pulsa Falta una x. El integrando es e^−x² sin ninguna x al lado, y dividir de todos modos por el −2x que falta da e^−x²/(−2x). La regla del cociente desmonta eso: su derivada es el integrando multiplicado por 1 + 1/(2x²), una vez y media mayor en x = 1, sigue siendo 1,0556 veces demasiado grande en x = 3, y no es igual en ninguna parte. Una constante puede moverse a través de ∫, y la x no, porque x es sobre lo que corre la integral: dividir una respuesta por una x que falta nunca es una sustitución. Ninguna fórmula construida a partir de potencias, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas se deriva en e^−x²; Liouville lo demostró, y el último peldaño de este capítulo muestra lo que significa.

Conserva los límites de x y el área puede cambiar de signo 🖖

Pulsa ¿Conservar límites?. El integrando 2x cos(x²) es cos u por du para u = x², así que las franjas de [0, 2] caen en [0, 4] del eje u, ya que 2² = 4. Ambos paneles dan −0,7568, que es sin 4. El contorno discontinuo en el panel inferior es el error: sustituir en el integrando pero conservar los límites antiguos, de modo que cos u se integra de 0 a 2. Eso da sin 2 = 0,9093, positivo, donde el área verdadera es negativa. cos u está por debajo de cero a partir de u = π/2, que es más de la mitad del intervalo [0, 4], y los límites antiguos se detienen en 2, antes de cubrir la mayor parte del mismo. Pulsa Trasladar las franjas y el área de cada franja entra en ambos totales acumulados en el mismo momento, porque sobre una franja ambos lados son G(u(xᵢ₊₁)) − G(u(xᵢ)).

u no tiene que ser inyectiva 🖖

Pulsa Ida y vuelta. En [0, π], u = sin x sube de 0 a 1 y vuelve a bajar a 0. Las franjas de la primera mitad caen en [0, 1] viajando hacia la derecha y aportan 1,7183, que es e − 1. Las franjas de la segunda mitad caen en el mismo [0, 1] viajando hacia la izquierda, sombreadas en rojo, y aportan −1,7183, porque u′ = cos x es negativa allí y también lo es cada du. Se anulan, y ∫₀^π cos x·e^{sin x} dx = 0, igual que la integral vacía desde u(0) = 0 hasta u(π) = 0. La regla de sustitución pide que u′ sea continua, y que g sea continua en cada valor por el que pasa u; nunca pide que u siga avanzando en un solo sentido. Una franja que retrocede se resta, y eso es toda la contabilidad. Si en cambio conservas los límites de x aquí, integras eᵘ de 0 a π: 22,1407.

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (2)

The rule in both forms: Theorem 5.7 (∫f[g(x)]g′(x) dx = ∫f(u) du = F(g(x)) + C) and Theorem 5.8 (∫ₐᵇ f(g(x))g′(x) dx = ∫ from g(a) to g(b) of f(u) du, “using substitution to evaluate a definite integral requires a change to the limits of integration”). Theorem 5.8 asks that g′ be continuous on [a, b] and f continuous over the range of u = g(x), and nothing about g being one-to-one: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.5, “Substitution”.
Why no substitution, and no other method, can integrate e^(−x²): Liouville's theorem, and its criterion that f(x)·e^(g(x)) has an elementary antiderivative exactly when R′ + g′R = f has a rational solution R (Theorem 4.4; Example 4.6 proves e^(−x²) has none). For x·e^(−x²), R = −½ works: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, lecture notes, Stanford University (author's copy).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.