Calculadora de composición de funciones

Introduce f(x), g(x) y x0 para componer funciones, comparar el orden y ver cada paso de evaluación.

Valores iniciales — Calculadora de composición de funciones

Función externa f(x)	x²
Expresión de f de x	x^2
Función interna g(x)	sin(x)
Expresión de g de x	sin(x)
Punto de evaluación x	0

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

Cargando simulación interactiva...

Cambiar el orden cambia la respuesta, no solo la notación 🖖

La composición no es conmutativa, y la diferencia no es sutil. Toma f(x) = x² y g(x) = 2x + 3 en x = 2, uno de los ajustes predefinidos de esta herramienta. Pasando primero por g: f(g(2)) = f(7) = 49. Pasando primero por f: g(f(2)) = g(4) = 11. Las mismas dos funciones, la misma entrada, y las respuestas se separan en 38. Por eso vale la pena pulsar el botón de intercambio en lugar de suponer: f∘g y g∘f son funciones genuinamente distintas, y la regla habitual de que a × b es b × a no se traslada.

Dos máquinas en fila 🖖

Componer funciones no es más que encadenarlas: f(g(x)) introduce primero x en g y pasa después el resultado de g a f. Imagina una cadena de montaje en la que cada puesto transforma la pieza antes de enviarla al siguiente. Evalúa siempre desde el paréntesis más interno hacia fuera: g(x0) va antes que f.

El fractal oculto en la composición repetida 🖖

Compón una función simple consigo misma una y otra vez y dejarás el álgebra por la teoría del caos. Iterar z ↦ z² + c —la misma máquina que recibe su propia salida— es exactamente la regla que dibuja el conjunto de Mandelbrot: un punto pertenece al conjunto solo si esa autocomposición infinita permanece acotada. Así, el humilde botón f(g(x)) está a un paso de generar fractales de detalle infinito.

Error común

Que coincidan en un valor de x no demuestra que dos funciones compuestas sean iguales. Para mostrar que f(g(x)) = g(f(x)) como funciones, deben coincidir en todo su dominio compartido.

Problemas resueltos al detalle

Composiciones de f(x) = x² y g(x) = 2x + 3 5 pasos
f(x) = x², g(x) = 2x + 3, evaluadas en x₀ = 2. Componga en ambos órdenes y resuelva la cuestión más difícil que el panel deja abierta: ¿es la discrepancia un mero accidente de haber elegido x₀ = 2, o bien estas dos composiciones difieren en todo x?
1. Componga de forma simbólica antes de hacerlo de forma numérica. En f∘g la función interna actúa primero, por lo que toda la expresión 2x + 3 es la que se eleva al cuadrado; no x, ni el 3 por separado.
  
  $(f \circ g) (x) = f (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$
2. Invierta el orden y la elevación al cuadrado se realiza primero, de modo que es x² lo que se duplica y desplaza. Ambos resultados son expresiones cuadráticas, pero solo una de ellas tiene término lineal, y ese término constituye toda la discrepancia.
  
  $(g \circ f) (x) = g (x^{2}) = 2 x^{2} + 3$
3. Sustituya x₀ = 2 en cada una. Los valores intermedios son a lo que hay que prestar atención: 7 entra en la función externa en un orden y 4 entra en el otro, de modo que a la función externa se le plantea una pregunta distinta en cada caso. El panel imprime cada uno de ellos: 7 y 4 a la entrada, 49 y 11 a la salida.
  
  $(f \circ g) (2) = 7^{2} = 49, (g \circ f) (2) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
4. Restar convierte una comparación en un punto en una función que se puede interrogar en todas partes. Su valor en 2 es 38, que es 49 − 11, por lo que no se ha perdido nada en el álgebra.
  
  $D (x) = (f \circ g) (x) - (g \circ f) (x) = 2 x^{2} + 12 x + 6, D (2) = 38$
5. La diferencia es una cuadrática con coeficiente de x² positivo, de modo que puede anularse a lo sumo dos veces; y el discriminante 36 − 12 es positivo, por lo que efectivamente se anula dos veces. Solo queda resolver la ecuación.
  
  $D (x) = 0 ⟺ x^{2} + 6 x + 3 = 0 ⟺ x = - 3 \pm 6 = - 0.5505, - 5.4495$
Respuesta

49 frente a 11, una diferencia de 38, con 7 y 4 como los valores intermedios que el panel imprime junto a ellos. El resultado más relevante es al que el panel no puede llegar: en toda la recta real estas dos composiciones coinciden en exactamente 2 puntos, x = −3 ± √6, esto es, −0,5505 y −5,4495. Solo el primero cae dentro de la ventana de −3 a 3 que dibuja la gráfica. De modo que x₀ = 2 no fue una elección afortunada: casi cualquier x₀ habría producido una discrepancia, y el veredicto del panel de 'no iguales' es la respuesta que daría para todas las entradas salvo 2. Además, se cortan en lugar de ser tangentes, y la regla de la cadena es lo que lo demuestra: al derivar la diferencia se obtiene 2(2x + 3)·2 − 2·2x = 4x + 12, que en las dos raíces vale +9,798 y −9,798: iguales en módulo, opuestos en signo, porque entre las raíces es g∘f la que toma valores más altos, en 12 para x = −3, donde comienza la ventana de la gráfica.

$D^{'} (x) = 2 (2 x + 3) \cdot 2 - 2 \cdot 2 x = 4 x + 12, D^{'} (- 3 \pm 6) = \pm 46 = \pm 9.798$
Dominio de composiciones para f(x) = √x y g(x) = x² − 1 5 pasos
f(x) = √x, g(x) = x² − 1, en x₀ = 0,5. Un orden devuelve un número y el otro no devuelve absolutamente nada. Determine el dominio de cada composición y halle después todos los x en los que ambas coinciden.
1. Siga f∘g a través del paso intermedio y observe dónde se interrumpe. 0,5 es una entrada perfectamente válida para g, y −0,75 es una salida perfectamente válida de g. Lo que no es válido es el traspaso: −0,75 no es un valor del que se pueda calcular la raíz cuadrada. El panel imprime −0,75 y después no tiene ningún número que imprimir para la composición en sí.
  
  $g (0.5) = 0. 5^{2} - 1 = - 0.75 ⟹ f (g (0.5)) = - 0.75 \in / R$
2. El otro orden supera ese mismo traspaso, porque √0,5 = 0,707107 es una entrada válida para g. Ambos valores aparecen en el panel, y a ninguna de las dos composiciones se le ha asignado un x₀ diferente.
  
  $f (0.5) = 0.5 = 0.707107 ⟹ g (f (0.5)) = 0.70710 7^{2} - 1 = - 0.5$
3. Escriba ambos dominios correctamente, trabajando de dentro hacia fuera. f∘g exige que la salida de g sea no negativa, lo cual es una condición sobre x²; g∘f exige únicamente que se pueda calcular la raíz cuadrada de x.
  
  $f \circ g : x^{2} - 1 \geq 0 ⟺ ∣ x ∣ \geq 1; g \circ f : x \geq 0$
4. En su propio dominio cada composición se simplifica, y una de ellas de forma sorprendente: elevar al cuadrado una raíz cuadrada la deshace, por lo que g∘f es una recta. Componer 2 funciones curvas ha producido algo que no contiene curva alguna.
  
  $(f \circ g) (x) = x^{2} - 1, (g \circ f) (x) = (x)^{2} - 1 = x - 1$
5. Donde ambas están definidas, plantéese cuándo son iguales. El término x² se cancela en ambos miembros y lo que queda es lineal, por lo que hay a lo sumo 1 solución.
  
  $x^{2} - 1 = x - 1 ⟺ x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x + 1 ⟺ x = 1$
Respuesta

f(g(0,5)) no tiene valor mientras que g(f(0,5)) = −0,5, con −0,75 y 0,707107 en el panel como los dos valores intermedios que lo determinaron. El orden cambió aquí el dominio antes de cambiar valor alguno, y esa es la diferencia que ninguna elección de x₀ puede subsanar: f∘g existe solo donde |x| ≥ 1 y g∘f solo donde x ≥ 0, de modo que solo comparten [1, ∞). En la ventana de −3 a 3 que dibuja la gráfica, la curva de f∘g está simplemente ausente durante una unidad entera a cada lado de 0, mientras que la recta de g∘f pasa de largo. Donde sí coinciden se encuentran exactamente una vez, en x = 1, siendo ambas iguales a 0, y luego se separan al instante: en x = 3 valen √8 = 2,828 y 2. 'La composición no es conmutativa' se enseña habitualmente como una afirmación sobre valores. Aquí es una afirmación sobre qué preguntas es posible formular.

$dom (f \circ g) \cap dom (g \circ f) = [1, \infty), 3^{2} - 1 = 2.828 \neq = 2$

Referencias (1)

Insight block 3 says a fractal is hiding in repeated composition. This is the field that grew out of asking where: J. Milnor, "Using the Fatou Set to Study the Julia Set", in Dynamics in One Complex Variable, 174–218. Princeton University Press, 3rd edition, 2011.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

lineal tras cuadrática - 2x + 3 después de x² - 1, para x = 2: en un orden, f(3) = 9; en el otro, g(7) = 48. Son las mismas funciones, pero la diferencia es 39.
cuadrática tras lineal - x² después de 2x + 3, para x = 2: en un orden, f(7) = 49; en el otro, g(4) = 11, con una diferencia de 38. El ejercicio resuelto pregunta entonces si ambos órdenes coinciden alguna vez.
cuadrado tras seno - f(g(1)) eleva el seno al cuadrado: sen²(1) = 0,7081. g(f(1)) calcula el seno del cuadrado y, como 1² = 1, el resultado es simplemente sen(1) = 0,8415.
ejemplo de dominio - Es el único ejemplo predefinido en el que uno de los órdenes no tiene ningún valor: g(0,5) = -0,75 y su raíz cuadrada no está definida, mientras que el orden inverso da -0,5. El orden puede determinar si existe una respuesta.
iguales en un punto - x² compuesta con la identidad — los dos órdenes dan x², porque la identidad es la única función que deja todo intacto al componer