Integrales dobles en coordenadas polares

Corta una región con circunferencias centradas en el origen y rayos que salen de él, y cada celda es un trozo de anillo cuya área es su radio medio por Δr por Δθ. Ese radio medio es la r de r dr dθ. Marca una celda en cualquiera de los dos dibujos y compara su área en los dos planos.

Integral doble en coordenadas polares	$\iint_{R} f d A = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ$
La integral de Gauss	$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Ejemplo resuelto — Integrales dobles en coordenadas polares

Celda marcada en el plano rθ	0,1745
Celda marcada en el plano xy	0,16
La integral doble	3,1416
Lo mismo sin la r (incorrecto)	6,2832

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Integrales dobles en coordenadas polares

Una integral doble en coordenadas polares integra sobre una región descrita por un ángulo θ y una distancia r al origen, con el elemento de área dA = r dr dθ.

Qué significa cada símbolo

r, θ: la distancia al origen y el ángulo medido desde el semieje x positivo: x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: el radio medio de una celda, su anchura en r y su anchura en θ

De dónde viene la fórmula

Corta la región en celdas polares. Una celda entre los radios r₁ y r₂ y los ángulos θ y θ + Δθ es la diferencia de dos sectores, y su área se factoriza como el radio medio por Δr por Δθ.
$Δ A = \frac{1}{2} (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) Δ θ = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} (r_{2} - r_{1}) Δ θ = \overset{r}{ˉ} Δ r Δ θ$
Suma y pasa al límite. El valor de f en cada celda por el área de la celda, sumado, tiende a una integral iterada en la que r̄ se ha convertido en r. Los límites de r pueden depender de θ.
$\iint_{R} f d A x = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ, = r cos θ, y = r sin θ$
Eleva al cuadrado la integral de Gauss. El producto de dos integrales de una variable es una integral doble sobre el plano, y en forma polar la r le da a e^(−r²) una primitiva con fórmula.
$I^{2} I = \iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{\infty} = π = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Supone: En la región, θ va entre dos ángulos y, a lo largo de cada rayo, r va entre dos curvas r₁(θ) ≤ r₂(θ). La integral sobre todo el plano es impropia; discos crecientes y cuadrados crecientes dan el mismo π, porque cada cuadrado queda entre dos discos.

Problemas resueltos al detalle

El área de un disco 2 pasos
Calcula el área del disco de radio R como integral doble en coordenadas polares, y qué obtienes si olvidas la r.

Abre este problema en la herramienta
1. El disco es 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, y dA = r dr dθ:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{R ^{2}}{2} d θ = π R^{2}$
2. Sin la r:
  
  $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} d r d θ = 2 π R$
Respuesta

πR², que vale 3,1416 para R = 1. Sin la r, 2πR: el perímetro, una longitud.

$A = π R^{2}, R = 1 : A \approx 3.1416$
Dentro de una cardioide 2 pasos
Calcula el área encerrada por la cardioide r = 1 + cos θ.

Abre este problema en la herramienta
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1. Para cada θ en [0, 2π], r va de 0 a 1 + cos θ, y la integral interior es la mitad del cuadrado de ese límite:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 + c o s θ} r d r d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + cos θ)^{2} d θ$
2. En una vuelta completa, la integral de cos θ es 0 y la de cos² θ es π:
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + 2 cos θ + cos^{2} θ) d θ = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2}$
Respuesta

3π/2 ≈ 4,7124.

$A = \frac{3 π}{2} \approx 4.7124$
De x e y a r y θ 2 pasos
Calcula ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx.

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1. y va de 0 hasta la circunferencia x² + y² = 1 y x de 0 a 1: es el cuarto del disco unidad en el primer cuadrante, es decir, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2. Y x² + y² = r²:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x^{2}} (x^{2} + y^{2}) d y d x = \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r d θ$
2. Integra:
  
  $\int_{0}^{π /2} [\frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{1} d θ = \int_{0}^{π /2} \frac{1}{4} d θ = \frac{π}{8}$
Respuesta

π/8 ≈ 0,3927.

$\frac{π}{8} \approx 0.3927$
Un disco que no está centrado en el origen 3 pasos
Calcula ∬ x dA sobre el disco x² + y² ≤ 2x y, a partir de ella, la coordenada x del centroide del disco.

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1. En coordenadas polares el borde es r² = 2r cos θ, así que r = 2 cos θ, y r ≥ 0 exige cos θ ≥ 0. θ va de −π/2 a π/2, una vuelta a la circunferencia; una vuelta completa de θ la recorrería dos veces y duplicaría el resultado.
  
  $x^{2} + y^{2} \leq 2 x ⟺ r \leq 2 cos θ, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$
2. Con x = r cos θ:
  
  $\iint x d A = \int_{- π /2}^{π /2} \int_{0}^{2 c o s θ} r cos θ \cdot r d r d θ = \int_{- π /2}^{π /2} \frac{8}{3} cos^{4} θ d θ = \frac{8}{3} \cdot \frac{3 π}{8} = π$
3. El disco tiene radio 1 y área π:
  
  $\overset{x}{ˉ} = \frac{\iint x d A}{A} = \frac{π}{π} = 1$
Respuesta

∬ x dA = π ≈ 3,1416, así que el centroide está en x = 1, el centro del disco.

$\iint x d A = π \approx 3.1416, \overset{x}{ˉ} = 1$
El volumen de una esfera 2 pasos
Calcula el volumen de una esfera de radio R como integral doble en coordenadas polares.
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1. La mitad superior es el volumen bajo z = √(R² − x² − y²) sobre el disco r ≤ R:
  
  $V = 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} R^{2} - r^{2} r d r d θ$
2. Sustituye u = R² − r², de modo que du = −2r dr; la r del elemento de área es la que hace que la sustitución funcione:
  
  $V = 2 \cdot 2 π \int_{0}^{R^{2}} \frac{1}{2} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} R^{3} = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Respuesta

4πR³/3, el mismo volumen que se obtuvo por secciones antes en este capítulo.

$V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Gauss sobre un disco 2 pasos
Calcula ∬ e^(−(x²+y²)) dA sobre el disco de radio R y halla su límite cuando R → ∞.

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1. En forma polar el integrando es e^(−r²), y la r que lo acompaña hace que la primitiva tenga fórmula:
  
  $\int_{0}^{R} e^{- r^{2}} r d r = [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{R} = \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}})$
2. La integral en θ multiplica por 2π:
  
  $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}}) d θ = π (1 - e^{- R^{2}})$
Respuesta

π(1 − e^(−R²)), que vale 3,0841 para R = 2 y tiende a π.

$π (1 - e^{- R^{2}}) R \to \infty π, R = 2 : \approx 3.0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 pasos
Demuestra que la integral de e^(−x²) sobre toda la recta es √π.

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1. Sea I(b) la integral de −b a b. Su cuadrado es una integral doble sobre el cuadrado |x|, |y| ≤ b:
  
  $I (b)^{2} = \int_{- b}^{b} e^{- x^{2}} d x \int_{- b}^{b} e^{- y^{2}} d y = \iint_{∣ x ∣, ∣ y ∣ \leq b} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A$
2. El cuadrado contiene el disco de radio b y está dentro del disco de radio b√2. El integrando es positivo, así que, por el problema 6:
  
  $π (1 - e^{- b^{2}}) \leq I (b)^{2} \leq π (1 - e^{- 2 b^{2}})$
3. Las dos cotas tienden a π cuando b → ∞, así que I(b)² también, e I(b) es positiva:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = b \to \infty lim I (b) = π$
Respuesta

√π ≈ 1,7725. Con b = 2 las cotas son 3,0841 y 3,1405, e I(2)² ≈ 3,1123 queda entre ellas.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π \approx 1.7725$
La constante de la distribución normal 2 pasos
Calcula la integral de e^(−x²/2) sobre toda la recta y explica el factor 1/√(2π) de la densidad normal estándar.
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1. Sustituye x = √2 u, de modo que dx = √2 du:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = 2 \cdot π = 2 π$
2. Divide entre √(2π) y el total es 1:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} d x = \frac{2 π}{2 π} = 1$
Respuesta

√(2π). Así, (1/√(2π)) e^(−x²/2) tiene área total 1, como debe tenerla una densidad de probabilidad.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π$

Olvida la r y el área del disco sale igual a su perímetro 🖖

Pulsa Disco unidad. Con la r, la integral es π ≈ 3,1416; sin ella, los mismos límites dan 2π ≈ 6,2832, el perímetro, que es una longitud. ∫∫ dr dθ mide el rectángulo en que se convierte el disco en el plano rθ, de 1 por 2π, y en ese plano todas las celdas tienen la misma área Δr Δθ, mientras que en el disco las celdas cercanas al centro son astillas y las del borde son anchas. Una celda entre los radios r₁ y r₂ es la diferencia de dos sectores, ½(r₂² − r₁²)Δθ, que se factoriza como ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ: el radio medio por Δr por Δθ, exactamente. Marca una celda en el borde y luego otra en el centro, y compara las dos filas de celda de los resultados. Como no se ha aproximado nada, la suma sobre la malla da π para este disco incluso con n = 1, una sola celda.

La r que es tan fácil olvidar es la que permite calcular ∫e^(−x²) dx 🖖

e^(−x²) no tiene primitiva elemental, ninguna construida con potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas: Liouville lo demostró en la década de 1830, y la página de integrales no elementales aplica su criterio. Aun así, su integral sobre toda la recta vale exactamente √π. Llama I a esa integral. Entonces I² es ∫e^(−x²) dx por ∫e^(−y²) dy, que es la integral de e^(−(x²+y²)) sobre todo el plano, y en coordenadas polares el integrando e^(−r²) llega con una r al lado. Y r e^(−r²) sí tiene primitiva: −½e^(−r²). Así que la integral interior vale ½, la integral en θ la multiplica por 2π, e I² = π. Pulsa Gauss en un disco: la fila de la integral interior muestra ese corchete. La biografía de Kelvin que escribió Silvanus Thompson (1910) cuenta que Kelvin escribió una vez este resultado en la pizarra y dijo a sus alumnos: «Un matemático es aquel para quien esto es tan evidente como para vosotros que dos por dos son cuatro. Liouville era un matemático».

Todo el plano es un límite de cuadrados, y los discos siguen dando la respuesta correcta 🖖

I² se definió sobre cuadrados, |x|, |y| ≤ b, y se calculó sobre discos. Pulsa Gauss en un cuadrado. El cuadrado contiene el disco de radio b y está dentro del disco de radio b√2, y e^(−(x²+y²)) es positiva, así que su integral sobre el cuadrado está entre π(1 − e^(−b²)) y π(1 − e^(−2b²)). Las dos cotas tienden a π, así que el valor del cuadrado también. Con b = 2, los tres números son 3,0841, 3,1123 y 3,1405. Pulsa Gauss, b = 1: 1,9859, 2,231 y 2,7164, y las esquinas que quedan fuera del disco interior aportan el 11% del valor del cuadrado. Por eso el argumento da la integral sobre toda la recta y, sobre un intervalo finito, solo la acota: ∫e^(−x²) dx de −1 a 1 vale 1,4936, y los discos la sitúan entre √1,9859 ≈ 1,4092 y √2,7164 ≈ 1,6482.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.