Área entre curvas

El área entre dos curvas es la integral de la curva superior menos la inferior, siempre que no intercambien sus posiciones. Donde se cortan, la diferencia cambia de signo y la integral empieza a restar un área que debería sumar. Esta página localiza los puntos de corte, divide el intervalo en ellos y muestra el área geométrica junto a la integral directa.

Área entre dos curvas	$A = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) d x$
Donde se cortan en c	$\int_{a}^{b} f - g d x = \int_{a}^{c} (g - f) d x + \int_{c}^{b} (f - g) d x$

Ejemplo resuelto — Área entre curvas

Área, dividida en los cortes	0,5
Integral de la diferencia, sin dividir	0
Cortes dentro del intervalo	1

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Área entre curvas

El área entre dos curvas f y g en [a, b] es ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Si una curva se mantiene por encima, es ∫(superior − inferior) dx; donde se cortan, la integral se divide en los puntos de corte y en cada tramo se toma la superior menos la inferior.

Qué significa cada símbolo

f, g: las dos curvas, funciones de x, o bien de y cuando la región se integra en el otro sentido

De dónde viene la fórmula

Halla dónde se cortan. Los puntos de corte son aquellos donde f − g cambia de signo dentro del intervalo, que es donde cambia la curva que queda por encima. Resuelve f = g para encontrarlos; un punto donde las curvas solo se tocan no es un corte.
$f (x) = g (x) \Rightarrow x = c_{1}, \dots, c_{k}$
Integra la superior menos la inferior en cada tramo. Entre dos puntos de corte consecutivos, una curva se mantiene por encima: el integrando es positivo y la integral da el área de ese tramo.
$A = i \sum \int_{c_{i}}^{c_{i + 1}} (f (x) - g (x)) d x$

Problemas resueltos al detalle

Una parábola y una recta 2 pasos
Calcula el área entre y = x² e y = x + 2.

Abre este problema en la herramienta
1. Se cortan donde x² = x + 2:
  
  $x^{2} = x + 2 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = - 1, 2$
2. Entre −1 y 2 la recta queda por encima:
  
  $\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$
Respuesta

9/2 = 4,5. Comprueba el orden con un punto: en x = 0 la recta vale 2 y la parábola 0.

$A = \frac{9}{2} = 4.5$
Curvas que se cortan dentro del intervalo 2 pasos
Calcula el área entre y = x³ e y = x en [−1, 1].

Abre este problema en la herramienta
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1. Se cortan en x = −1, 0 y 1, e intercambian sus posiciones en 0:
  
  $x^{3} = x \Rightarrow x = - 1, 0, 1$
2. En cada tramo se toma primero la curva superior:
  
  $\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x + \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
Respuesta

½. La integral sin dividir de x − x³ en [−1, 1] da 0, tal como advertía la explicación sobre la integral nula.

$A = \frac{1}{2}$
Dos curvas trigonométricas 2 pasos
Calcula el área entre y = sen x e y = cos x en [0, π/2].

Abre este problema en la herramienta
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1. Se cortan donde tan x = 1, en π/4; antes de ese punto, cos x queda por encima:
  
  $sin x = cos x \Rightarrow x = \frac{π}{4}$
2. Ambos tramos:
  
  $\int_{0}^{π /4} (cos x - sin x) d x + \int_{π /4}^{π /2} (sin x - cos x) d x = (2 - 1) + (2 - 1)$
Respuesta

2√2 − 2 ≈ 0,8284. Ambos tramos son iguales, de √2 − 1 cada uno, porque la región es simétrica respecto a x = π/4.

$A = 22 - 2 \approx 0.8284$
Integración respecto a y 2 pasos
Calcula el área entre x = y² y x = y + 2.

Abre este problema en la herramienta
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1. Se cortan donde y² = y + 2, en y = −1 e y = 2; la recta queda a la derecha:
  
  $y^{2} = y + 2 \Rightarrow y = - 1, 2$
2. Una sola integral en y:
  
  $\int_{- 1}^{2} (y + 2 - y^{2}) d y = \frac{9}{2}$
Respuesta

9/2 = 4,5. El mismo resultado que en el primer problema, pues esta región es el reflejo de aquella respecto a la recta y = x.

$A = \frac{9}{2} = 4.5$
Curvas que solo se tocan en los extremos 1 pasos
Calcula el área entre y = √x e y = x² en [0, 1].

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Entre 0 y 1, √x queda por encima:
  
  $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$
Respuesta

1/3. Cada curva es el reflejo de la otra respecto a y = x, así que la recta y = x divide esta área en dos mitades de 1/6.

$A = \frac{1}{3}$
Curvas que se cortan en tres puntos 2 pasos
Calcula el área total encerrada por y = x³ − x e y = 3x.
Mostrar solución
1. Se cortan donde x³ − 4x = 0, en x = −2, 0 y 2:
  
  $x^{3} - x = 3 x \Rightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow x = - 2, 0, 2$
2. Las piezas tienen la misma forma girada media vuelta respecto al origen, así que duplica la de la derecha, donde 3x queda por encima:
  
  $A = 2 \int_{0}^{2} (4 x - x^{3}) d x = 2 [2 x^{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{2} = 2 (8 - 4)$
Respuesta

8. La integral sin dividir en [−2, 2] volvería a dar 0.

$A = 8$

La integral de la diferencia puede dar cero en una región con mucha área 🖖

Pulsa x³ y x: cero, pero hay área. En [−1, 1], las dos curvas se cortan en 0. A la izquierda queda por encima x³; a la derecha, x. Los dos lóbulos tienen la misma forma girada media vuelta respecto al origen, y cada uno mide 0,25. La integral de x − x³ cuenta el lóbulo derecho como positivo y el izquierdo como negativo, sumando 0. El área es 0,5. Pulsa sen y cos, una vuelta completa para ver lo mismo a mayor escala: un área de 4√2 ≈ 5,6569 y una integral de exactamente 0. La integral de f − g mide el balance neto de cuánto supera f a g; para el área necesitas |f − g|, y para integrar un valor absoluto divides el intervalo donde el interior cambia de signo.

La misma región puede necesitar una integral o dos, según cómo la cortes 🖖

Pulsa x = y² y x = y + 2. Si cortas en franjas horizontales respecto a y, cada banda va desde la parábola a la izquierda hasta la recta a la derecha, de modo que basta una sola integral: ∫ de −1 a 2 de (y + 2 − y²) dy = 4,5. En cambio, si cortas la misma región según x, la base de cada franja cambia a mitad de camino: para x < 1 ambos bordes apoyan en la parábola, y = ±√x; de 1 a 4, la base pasa a ser la recta. Hacen falta dos integrales con raíces cuadradas para llegar al mismo 4,5. Antes de elegir la variable, mira qué frontera tocaría cada franja.

Arquímedes halló esta área sin integrales: cuatro tercios de un triángulo 🖖

Pulsa Parábola de Arquímedes. La recta x + 2 corta a la parábola en (−1, 1) y (2, 4), y el área entre ambas es 4,5. Traza sobre esa cuerda el triángulo cuyo tercer vértice coincide con el punto donde la tangente a la parábola es paralela a ella, en (½, ¼): su área es 3,375, y 4,5 equivale exactamente a 4/3 de ese valor. Arquímedes demostró esto hacia el 250 a. C., en La cuadratura de la parábola, rellenando el segmento con triángulos donde cada generación sumaba un cuarto de la anterior, con lo que 1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3. La integral llega a ese mismo número en un solo renglón; su método no necesitó cálculo infinitesimal porque sencillamente aún no existía.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (2)

The method as the page uses it: Theorem 6.1 (∫ₐᵇ [f − g] dx when f ≥ g), Theorem 6.2 (∫ₐᵇ |f − g| dx for curves that cross, split at the intersections) and Theorem 6.3 (∫꜀ᵈ [u(y) − v(y)] dy along the y-axis): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.1, “Areas between Curves”.
Insight block 3: Proposition 24, “Every segment bounded by a parabola and a chord Qq is equal to four-thirds of the triangle which has the same base as the segment and equal height” (p. 251), proved through Proposition 23's sum of areas each a quarter of the one before (p. 250): T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press (1897), “Quadrature of the Parabola”, Propositions 23–24, pp. 250–251.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.