Elegir una técnica

En las páginas anteriores de este capítulo, sabías qué técnica ibas a usar antes de ver la integral. Aquí los problemas están mezclados y, antes de que se abra la casilla de respuesta, tienes que decidir cómo empezarías. La página ya ha probado las cinco opciones con la integral que tienes delante: te dice si tu elección permite llegar a la tabla en tres pasos como máximo y si hay algún camino más corto.

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Lección

La teoría — Elegir una técnica

Elegir una técnica consiste en decidir cómo empezar una integral sin que te indiquen el método: acudir directamente a la tabla, hacer una sustitución, integrar por partes, descomponer en fracciones simples o aplicar una transformación trigonométrica. En esta página, un paso funciona si, tras aplicar como máximo otros dos, solo quedan integrales de la tabla. Cada aplicación de una técnica cuenta como un paso: si al integrar por partes necesitas una sustitución para integrar dv, esa sustitución cuenta como otro paso. Separar una suma en sus términos no cuenta.

Supone: La búsqueda solo contempla esas cinco opciones. No sabe completar el cuadrado, así que para ∫dx/(x² + 2x + 5) indicaría que no encuentra ningún camino; aquí no se proponen integrales de ese tipo. La transformación trigonométrica recoge lo que aprendiste en la página anterior: si una potencia es impar, reservas un factor para du; si las potencias son pares, usas las identidades de reducción de potencias; tan² se convierte en sec² − 1; a secⁿ le aplicas la fórmula de reducción; y para √(a² − x²), √(x² + a²) y √(x² − a²) haces, respectivamente, x = a sen u, a tan u y a sec u.

Problemas resueltos al detalle

El numerador es la derivada del denominador 2 pasos
Calcula ∫x/(x² + 9) dx.
1. Pista: el numerador es la mitad de la derivada del denominador. Jugada: sustituye el denominador.
  
  $\frac{d}{d x} (x^{2} + 9) = 2 x \Rightarrow u = x^{2} + 9, x d x = \frac{d u}{2}$
2. Un logaritmo, sin barras de valor absoluto porque x² + 9 nunca es negativo:
  
  $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Respuesta

½ ln(x² + 9) + C. Las fracciones simples no sirven aquí: x² + 9 no tiene raíces reales en las que descomponer.

$\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Una potencia de x por una exponencial 2 pasos
Calcula ∫x e^3x dx.
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1. Pista: un factor se simplifica al derivar y el otro es fácil de integrar. Jugada: por partes, con u = x.
  
  $u = x, d v = e^{3 x} d x, v = \frac{1}{3} e^{3 x}$
2. Una sola pasada, y la integral que queda está en la tabla:
  
  $\int x e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{3} \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$
Respuesta

e^3x(x/3 − 1/9) + C. Ningún cambio de variable sirve: la x que acompaña a e^3x no es la derivada de 3x.

$\int x e^{3 x} d x = e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9}) + C$
Un denominador factorizable 2 pasos
Calcula ∫5/((x + 1)(x − 4)) dx.
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1. Pista: una función racional cuyo denominador ya está factorizado. Jugada: fracciones simples por el método del tapado.
  
  $\frac{5}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 1}, A = \frac{5}{5} = 1, B = \frac{5}{- 5} = - 1$
2. Dos logaritmos:
  
  $\int (\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1}) d x = ln ∣ x - 4∣ - ln ∣ x + 1∣ + C$
Respuesta

ln|(x − 4)/(x + 1)| + C. El 5 del numerador es lo que divide el método del tapado: 5/(4 + 1) y 5/(−1 − 4).

$\int \frac{5 d x}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = ln \frac{x - 4}{x + 1} + C$
Una potencia par del coseno 2 pasos
Calcula ∫cos²x dx.
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1. Pista: una potencia par, sin factor impar que reservar para du. Jugada: usa el ángulo mitad.
  
  $cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)$
2. Integra término a término:
  
  $\int \frac{1}{2} (1 + cos 2 x) d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Respuesta

x/2 + sin 2x/4 + C. u = sin x no funciona: un cos x se convierte en du y el otro queda como √(1 − u²), porque la potencia es par.

$\int cos^{2} x d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Parece por partes y es una sustitución 2 pasos
Calcula ∫(ln x)/x dx para x > 0.
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1. Pista: 1/x es la derivada de ln x, que está justo al lado. Paso: sustituye u = ln x.
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Una potencia de u:
  
  $\int \frac{ln x}{x} d x = \int u d u = \frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Respuesta

(ln x)²/2 + C. Por partes también saldría, al reaparecer la propia integral: I = (ln x)² − I; con la sustitución llegas en una sola línea.

$\int \frac{ln x}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Sin raíces reales: completa el cuadrado 2 pasos
Calcula ∫dx/(x² − 6x + 10).
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1. Pista: el discriminante, 36 − 40, es negativo, así que no factoriza. Paso: completa el cuadrado.
  
  $36 - 40 < 0; x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1$
2. La forma del arcotangente, desplazada en 3:
  
  $\int \frac{d x}{( x - 3 ) ^{2} + 1} = arctan (x - 3) + C$
Respuesta

arctan(x − 3) + C. Es el único paso que el buscador de la página no puede dar; por eso vale la pena hacerlo a mano una vez.

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 6 x + 10} = arctan (x - 3) + C$
Una fracción impropia: divide primero 2 pasos
Calcula ∫x³/(x² + 1) dx.
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1. Pista: el numerador tiene mayor grado que el denominador. Paso: divide.
  
  $x^{3} = x (x^{2} + 1) - x \Rightarrow \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} = x - \frac{x}{x ^{2} + 1}$
2. Luego, una potencia y una f′/f:
  
  $\int (x - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Respuesta

x²/2 − ½ ln(x² + 1) + C. Dos pasos, el segundo una sustitución, y ninguno se ve hasta dar el primero.

$\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Un área sin pistas 3 pasos
Calcula ∫₀^π²/4 sen √x dx. Pulsa Sin pistas: la página encuentra la primitiva en dos pasos, sustitución e integración por partes, y termina ahí.

Abre este problema en la herramienta
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1. Haz la sustitución u = √x; entonces x = u² y dx = 2u du. Cambia también los límites: x = 0 corresponde a u = 0, y x = π²/4, a u = π/2.
  
  $\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = \int_{0}^{π /2} 2 u sin u d u$
2. Integra por partes, derivando 2u e integrando sen u:
  
  $\int 2 u sin u d u = - 2 u cos u + \int 2 cos u d u = 2 sin u - 2 u cos u$
3. Evalúa entre los nuevos límites, teniendo en cuenta que cos(π/2) = 0 y sen(π/2) = 1:
  
  $[2 sin u - 2 u cos u]_{0}^{π /2} = (2 - 0) - (0 - 0) = 2$
Respuesta

Exactamente 2. Los dos límites contienen π, pero el resultado no: la sustitución transformó π²/4 en π/2, donde el seno vale 1 y el coseno, 0. La regla de Simpson, aplicada al integrando original con 4.000 subintervalos, da 1,999999 y se acerca lentamente a 2 por debajo, porque √x tiene pendiente infinita en 0.

$\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = 2$

Si las pistas de sustitución y de integración por partes coinciden, elige la sustitución 🖖

Pulsa Coinciden ambas pistas. En 2x·e^(x²) tienes una potencia multiplicada por una exponencial, una forma que suele sugerir la integración por partes. Por partes se llega a la tabla en tres pasos: al tomar u = e^(x²) y dv = 2x dx, queda 2x³e^(x²), una expresión más larga que la inicial. Con una sustitución basta un paso, porque x² está dentro de la exponencial y su derivada, 2x, ya aparece como factor. La página ha hecho esta misma comparación con 1.100 problemas generados. Ambas pistas coincidieron en 113; en los 113, la sustitución fue el comienzo más corto, y en ninguno lo fue la integración por partes. En 26, por partes ni siquiera se llegó a la tabla en tres pasos. Cuando aparecía sola, sin la pista de sustitución, la pista de integración por partes acertó en 181 de 188 casos.

La mayoría de estas integrales admiten varias formas de empezar 🖖

Pulsa Dos caminos. La integral de sen x·cos x se resuelve por sustitución, con u = sen x, en un paso. Por partes también basta un paso: u = sen x y dv = cos x dx devuelven la misma integral, I = sen²x − I, de donde I = sen²x/2. La transformación trigonométrica, que reserva un factor para du, también la resuelve en un paso. De los 1.100 problemas, 842 admitían al menos dos de los cinco comienzos posibles que permitían llegar a la tabla en tres pasos como máximo. En 650 había un segundo camino que, como mucho, añadía un paso al más corto. Algunos de esos caminos alternativos dan rodeos que un profesor evitaría, como integrar por partes una función racional. También cuentan, porque llegan a la tabla. Por eso la página acepta cualquier comienzo que permita llegar: la línea bajo los botones te indica si existe uno más corto. Dos caminos pueden dar respuestas de aspecto distinto; la primera página del capítulo, Primitivas, explica por qué ambas son correctas.

La longitud apenas indica cuántos pasos necesita una integral 🖖

Pulsa Breve no significa fácil. arctan x ocupa dos símbolos y requiere dos pasos: una integración por partes con dv = 1·dx, que deja x/(x² + 1), y después una sustitución. Entre las expresiones de aspecto parecido, −6x⁴ − 2/√(1 − x²) ocupa quince símbolos y se integra directamente con la tabla. En los 1.100 problemas, la longitud mediana es de 8 símbolos para las integrales que se resuelven directamente con la tabla, de 10 para las que necesitan un paso y de 9 para las que necesitan dos. La integral de tabla más larga tiene 15 símbolos; la más corta que requiere dos pasos tiene 3. Las pistas dependen de cómo está construida la expresión: qué función está dentro de otra, qué factor se simplifica al derivarlo, si un denominador se puede factorizar o si la potencia de un seno es par o impar.

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (2)

A strategy for picking the technique, with the page's three findings in it: look for a simple substitution before the heavier techniques (u = x² − 1 for x/(x² − 1), which partial fractions would also do), “a polynomial times a trig function, exponential, or logarithm” as the sign that parts may work, “some integrals can be done in more than one way”, and a substitution that leads on to parts or partial fractions: P. Dawkins, “Integration Strategy”, Paul's Online Notes, Calculus II, section 7.7, Lamar University (page last modified 31 July 2026).
The both-cues integral done by parts: ∫t³e^(t²) dt, where the strict LIATE choice fails and dv = t·e^(t²) dt is taken instead, an integral that is itself a substitution (Example 3.4, “When LIATE Doesn't Quite Work”); and ∫sin(ln x) dx with dv = 1·dx, solved after two rounds (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.