Integración por partes

La regla del producto, integrada, dice que ∫u dv = uv − ∫v du: una integral se intercambia por otra. Elige un producto y una opción para u. La página ejecutará el intercambio ronda a ronda junto a la otra alternativa, para que veas cómo una escalera se cierra y la otra empeora. Después, revisa un ejemplo paso a paso e intenta resolver los tuyos.

Integración por partes	$\int u d v = uv - \int v d u$
Definida	$\int_{a}^{b} u v^{'} d x = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v d x$

Ejemplo resuelto — Integración por partes

Potencia de x restante en cada ronda	2 → 1 → 0
Lo mismo, para la otra opción	2 → 3 → 4 → 5
Área de 0 a 1, según la respuesta	0,7183
La misma área, por la regla de Simpson	0,7183

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Integración por partes

La integración por partes es la regla del producto integrada. De (uv)′ = u′v + uv′ se deduce que ∫u dv = uv − ∫v du, donde du = u′(x) dx y dv = v′(x) dx. Intercambia una integral por otra, y ayuda cuando ∫v du es más fácil: u debería simplificarse al derivar, y dv tiene que ser algo que puedas integrar.

Qué significa cada símbolo

u: el factor que se deriva
dv: el resto del integrando con dx, que se integra para obtener v

De dónde viene la fórmula

De dónde sale la fórmula. Integra ambos lados de (uv)′ = u′v + uv′ para obtener uv = ∫v du + ∫u dv, y pasa ∫v du al otro lado.
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} \Rightarrow uv = \int v d u + \int u d v \Rightarrow \int u d v = uv - \int v d u$
Varias rondas. Cada ronda añade un término de frontera, con signos alternos: ∫f dx = B₁ − B₂ + B₃ − … ± ∫g_K dx, donde g_K es la integral restante tras K rondas. Esa es la ecuación en curso que imprime la escalera. Cuando g_K es un múltiplo λ de f, la ecuación contiene ∫f dx en ambos lados y se puede despejar a menos que se anulen.
$\int f d x = B_{1} - B_{2} + \dots \pm \int g_{K} d x, g_{K} = λ f \Rightarrow (1 \mp λ) \int f d x = B_{1} - B_{2} + \dots$

Problemas resueltos al detalle

Una pasada 3 pasos
Calcula ∫x e^2x dx.

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1. Al derivarla, la x se simplifica, así que es u; e^2x se integra fácilmente, de modo que es dv:
  
  $u = x, d u = d x; d v = e^{2 x} d x, v = \frac{1}{2} e^{2 x}$
2. Una pasada con uv − ∫v du:
  
  $\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$
3. La integral que queda está en la tabla:
  
  $= \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$
Respuesta

e^2x(x/2 − 1/4) + C. Si olvidas el segundo ½, el que aparece al volver a integrar e^2x, obtendrás −1/2 donde debe ir −1/4.

$\int x e^{2 x} d x = e^{2 x} (\frac{x}{2} - \frac{1}{4}) + C$
Una potencia por un seno 3 pasos
Calcula ∫x sin 2x dx.

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1. De nuevo, u = x; al integrar dv = sin 2x dx obtienes −½ cos 2x:
  
  $u = x, d u = d x; d v = sin 2 x d x, v = - \frac{1}{2} cos 2 x$
2. Una pasada, arrastrando el signo de v:
  
  $\int x sin 2 x d x = - \frac{1}{2} x cos 2 x + \int \frac{1}{2} cos 2 x d x$
3. La integral que queda está en la tabla:
  
  $= - \frac{1}{2} x cos 2 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$
Respuesta

−(x/2) cos 2x + (1/4) sin 2x + C. El signo menos de v = −½ cos 2x es donde suelen torcerse los signos; si los inviertes todos en la respuesta, la herramienta te avisará justamente de eso: signo incorrecto.

$\int x sin 2 x d x = - \frac{x}{2} cos 2 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$
Dos pasadas 3 pasos
Calcula ∫x² cos x dx.

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1. Primera pasada, con u = x²: la potencia baja a 1.
  
  $u = x^{2}, d v = cos x d x : \int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x - 2 \int x sin x d x$
2. Segunda pasada, sobre ∫x sin x, con u = x: la potencia baja a 0.
  
  $u = x, d v = sin x d x : \int x sin x d x = - x cos x + sin x$
3. Combinamos las dos pasadas:
  
  $x^{2} sin x - 2 (- x cos x + sin x) = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x$
Respuesta

x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C. Cada pasada reduce en uno la potencia de x, de modo que x² necesita dos pasadas y xⁿ necesita n. Mantén los paréntesis hasta el final: en el signo del último término es donde suelen ocurrir los despistes.

$\int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C$
ln x es u, lo multiplique lo que lo multiplique 3 pasos
Calcula ∫x² ln x dx para x > 0.

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1. ln x no tiene una primitiva sencilla que sirva de v, así que debe ser u; dv = x² dx:
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}; d v = x^{2} d x, v = \frac{x ^{3}}{3}$
2. Una pasada. El x³ y el 1/x se combinan en una potencia:
  
  $\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{x ^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x$
3. La integral que queda es una potencia:
  
  $= \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{x ^{2}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
Respuesta

(x³/3) ln x − x³/9 + C. LIATE antepone el logaritmo al factor algebraico por el motivo que viste en el primer paso: al derivar ln x obtienes la potencia 1/x, que luego absorbe el x³ de v.

$\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
∫arctan x, que termina en una sustitución 3 pasos
Calcula ∫arctan x dx.

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1. Igual que con ln x, escríbela como 1·arctan x, con u = arctan x y dv = 1·dx:
  
  $u = arctan x, d u = \frac{d x}{1 + x ^{2}}; d v = d x, v = x$
2. Una ronda:
  
  $\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$
3. La integral que queda se resuelve por sustitución: w = 1 + x², dw = 2x dx:
  
  $\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d w}{w} = \frac{1}{2} ln (1 + x^{2})$
Respuesta

x arctan x − ½ ln(1 + x²) + C. No hacen falta barras en el logaritmo, porque 1 + x² nunca es negativo.

$\int arctan x d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C$
Una integral cíclica con dos ritmos distintos 3 pasos
Calcula ∫e^2x sin x dx.

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1. Llámala I. Primera ronda con u = sin x, dv = e^2x dx:
  
  $I = \int e^{2 x} sin x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{2} \int e^{2 x} cos x d x$
2. Segunda ronda con ∫e^2x cos x dx, de nuevo con el factor trigonométrico como u:
  
  $\int e^{2 x} cos x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} I$
3. Reaparece la integral, multiplicada por un cuarto. Despeja I:
  
  $I = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{4} e^{2 x} cos x - \frac{1}{4} I \Rightarrow \frac{5}{4} I = \frac{1}{4} e^{2 x} (2 sin x - cos x)$
Respuesta

e^2x(2 sin x − cos x)/5 + C. El 5 es 2² + 1², que es como intervienen los dos ritmos: para e^ax sin bx el divisor es a² + b². Mantén la u trigonométrica en ambas rondas; cambiar a u = e^2x en la segunda desharía la primera, como muestra el preajuste Deshacer para eˣ sin x.

$\int e^{2 x} sin x d x = \frac{e ^{2 x} ( 2 sin x - cos x )}{5} + C$
Una integral definida con el término integrado evaluado 2 pasos
Evalúa ∫₀^π x sin x dx.
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1. u = x, dv = sin x dx, v = −cos x. El término integrado también se evalúa entre los límites:
  
  $\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x$
2. Ambas partes en los límites:
  
  $= (- π cos π + 0) + [sin x]_{0}^{π} = π + 0$
Respuesta

π. El término integrado aporta todo el resultado, π, y la integral que queda da 0, porque sin π = sin 0 = 0.

$\int_{0}^{π} x sin x d x = π$
Una recurrencia que es exacta, y una aritmética que no lo es 4 pasos
Una ronda de partes en I_n = ∫₀¹ xⁿeˣ dx, con u = xⁿ, da I_n = e − n·I_n−1. Úsala para hallar I₄. Luego ejecútala diez veces desde I₀ = e − 1 redondeado a 1,7183, y mira qué sale para I₁₀. Pulsa La potencia cae: la página halla I₂ = 0,7183 en dos rondas.

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1. Una ronda con u = xⁿ y dv = eˣ dx, entre 0 y 1:
  
  $I_{n} = [x^{n} e^{x}]_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{x} d x = e - n I_{n - 1}$
2. Dos rondas más desde la I₂ de la página:
  
  $I_{3} = e - 3 (e - 2) = 6 - 2 e = 0.5634, I_{4} = e - 4 (6 - 2 e) = 9 e - 24 = 0.4645$
3. Ahora hacia adelante desde el inicio redondeado. Tras nueve rondas, la integral de una función positiva ha salido negativa:
  
  $I_{0} = 1.7183 \Rightarrow \dots I_{9} = - 6.3451, I_{10} = 66.1689$
4. El inicio estaba desviado por 1,8172×10⁻⁵, y cada ronda multiplica el error por n, diez rondas por 10!:
  
  $1.8172 \times 1 0^{- 5} \times 10! = 1.8172 \times 1 0^{- 5} \times 3, 628, 800 = 65.94, 0.2280 + 65.94 = 66.17$
Respuesta

I₄ = 9e − 24 ≈ 0,4645, e I₁₀ en realidad es 0,2280. La recurrencia es exacta; si se ejecuta hacia adelante, multiplica un error de redondeo por n!. Ejecútala hacia atrás, I_n−1 = (e − I_n)/n, y en cambio el error se divide por n en cada paso: empezar con la suposición bruta I₂₀ = 0 da I₁₀ = 0,2280 a cuatro decimales. La página se detiene tras tres rondas.

$I_{4} = 9 e - 24 \approx 0.4645, I_{10} \approx 0.2280$

Elige mal la u y la potencia de x subirá 🖖

Pulsa La potencia cae. La integral es x²eˣ, y u = x² es la opción que elimina la potencia al derivar: la primera ronda deja 2x·eˣ, la segunda deja 2eˣ, que está en la tabla, y la respuesta (x² − 2x + 2)eˣ llega en dos rondas. De 0 a 1 da 0,7183, al igual que la regla de Simpson. La escalera difuminada toma la otra opción, u = eˣ. Derivar eˣ no cambia nada, así que nada se simplifica, y la potencia se integra hacia arriba en su lugar: x³eˣ/3, x⁴eˣ/12, x⁵eˣ/60, mientras la línea discontinua del gráfico sube y la continua cae a cero. ILATE (inversas trigonométricas, logarítmicas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales) es esa prueba escrita como una lista: va primero lo que se simplifica al derivarlo. La tabla debajo de los resultados lo aplica a quince productos, y la elección de ILATE reduce la potencia de x, o elimina el ln o el arctan, en los quince. Si cuentas los símbolos, en cambio, gana en 13, empata en x³eˣ y pierde en x³ sin x por 9 símbolos contra 8, así que la longitud de la integral restante no es lo que debes medir.

∫eˣ sin x regresa como sí misma, y se despeja como ecuación 🖖

Pulsa Regresa. Ni eˣ ni sin x se simplifican al derivar, así que toma u = sin x y mira qué pasa. Una ronda deja ∫eˣ cos x. Una segunda ronda, con u = cos x, deja −∫eˣ sin x: la integral con la que empezaste, llevando un signo menos. La escalera nunca llega a la tabla y no tiene por qué hacerlo. Llama I a la integral; la ecuación en curso ahora dice I = eˣ sin x − eˣ cos x − I, por lo que 2I = eˣ(sin x − cos x) e I = eˣ(sin x − cos x)/2. De 0 a 1 eso da 0,9093, lo cual confirma la regla de Simpson. Ahora pulsa Deshacer: la misma primera ronda, pero luego u = eˣ en la segunda. Esa ronda vuelve a integrar el cos x que produjo la primera, su término de frontera eˣ sin x anula al de la primera, y la ecuación restante es I = I, que es cierta y no te dice nada.

∫ln x necesita un factor 1 que nadie escribió 🖖

Pulsa ln x con dv = 1·dx. ln x parece una sola función, y partes parece necesitar dos. Escríbela como 1·ln x, con u = ln x, que se convierte en 1/x al derivarla, y dv = 1·dx, que se integra como x. Entonces ∫ln x dx = x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − x, en una sola ronda, y de 1 a 2 el área es 2 ln 2 − 1 = 0,3863 por ambos caminos. La otra asignación, u = 1 con dv = ln x dx, necesita v = ∫ln x dx, la misma integral que se pide, y por eso la escalera difuminada se detiene antes de empezar. En el modo de práctica, se ha escrito x ln x: su derivada es ln x + 1, uno más que el integrando en todas partes, el −∫1 dx que se olvidó. El mismo truco sirve para ∫arctan x, y x arctan x muestra dónde cede el control partes: con u = arctan x una ronda deja x²/(2(1 + x²)), una función racional, el trabajo del próximo escalón.

Ruta de aprendizaje

Técnicas de integración

Referencias (2)

The formula from the product rule (Theorem 3.1, ∫u dv = uv − ∫v du), the LIATE order (“Logarithmic Functions, Inverse Trigonometric Functions, Algebraic Functions, Trigonometric Functions, and Exponential Functions”) with the reason given for it, the reduction formula ∫xⁿeˣ dx = xⁿeˣ − n∫xⁿ⁻¹eˣ dx (exercise 48), and the device of taking the constant function 1 as the second factor (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.
Two of the page's cases worked as a teacher works them: ∫ln x dx, where u = 1 with dv = ln x dx “would need to know the answer ahead of time” (Example 6), and ∫e^θ cos θ dθ, where two rounds give “the same integral on both sides … with a minus sign in front of it”, so the integral is added to both sides and the equation divided by 2 (Example 8): P. Dawkins, “Integration by Parts”, Paul's Online Notes, Calculus II, Lamar University (page last modified 31 July 2026).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.