Laboratorio de integración numérica
Estima el área bajo una curva o entre dos funciones, y visualiza cómo los métodos numéricos aproximan la integral.
por qué Simpson puede parecer casi exacto 🖖
La integración numérica no consiste solo en obtener una estimación, sino en entender el comportamiento del error. Las sumas izquierda y derecha arrastran un sesgo de extremo, el punto medio y el trapecio suelen mejorar con convergencia de segundo orden en funciones suaves, y Simpson a menudo mejora mucho más rápido. Cuando duplicar n apenas cambia la estimación, tu aproximación probablemente se encuentra en un régimen estable.
acércate y toda curva se endereza 🖖
La integración numérica divide la región bajo una curva en tiras finas y rellena cada una con una forma simple — un rectángulo, un trapecio o una pequeña parábola — y luego suma las piezas. El truco está en que, dentro de una tira estrecha, hasta una curva muy irregular parece casi recta, así que una forma tosca encaja sorprendentemente bien. Observa el relleno cian: cuanto más finas hagas las tiras, menos importa la forma elegida, porque queda menos curva por errar.
La regla de Simpson precede a Simpson 🖖
La fórmula de panel que esta herramienta usa para Simpson, S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)), es idéntica a una regla que Johannes Kepler publicó en 1615 para medir el volumen de los toneles de vino — la regla del tonel de Kepler — más de un siglo antes de que Thomas Simpson la escribiera en 1743. Es un caso de manual en que el nombre de un método sobrevive a su verdadero inventor. Kepler la necesitaba porque la pared curva de un tonel no tiene una fórmula de área sencilla.
Problemas de ejemplo
- Izquierda gruesa - Con n alto, los rectángulos izquierdos aún muestran sesgo por el extremo izquierdo en una curva convexa.
- Simpson suave - En la curva suave sin(x), Simpson converge rápidamente al área real.
- Curva exponencial - Para exp(x), el trapecio tiende a sobreestimar porque la curva es convexa hacia arriba.
- Arcotangente - El punto medio capta bien el perfil acotado de 1/(1+x^2) con particiones moderadas.
- Entre parábola y recta - La integración por diferencia sigue el área con signo entre la parábola y la recta.
- Entre seno y coseno - El modo entre curvas integra sin(x)-cos(x) en el intervalo seleccionado.
- Personalizado - Los ajustes personalizados combinan coeficientes de una parábola y una recta transformadas en un mismo escenario.