Laboratorio de integración numérica

Estima el área bajo una curva o entre dos funciones, y visualiza cómo los métodos numéricos aproximan la integral.

Ejemplo resuelto — Laboratorio de integración numérica

Valor definido	2.666667
Integral exacta	2.666667
Forma	1x+0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

duplica las franjas y Simpson multiplica por dieciséis la precisión 🖖

Todos estos métodos convergen; la diferencia está en la rapidez. Si duplicas las franjas para e^x en [0, 1], el error de la suma izquierda se divide por 2; el del punto medio y el del trapecio, por 4; el de Simpson, por 16. Simpson toma tres puntos por franja, mientras que la suma izquierda toma uno, así que exige el triple de operaciones. Con n = 8 para ese integrando, ya se acerca seis órdenes de magnitud más.

acércate y toda curva se endereza 🖖

La integración numérica divide la región bajo una curva en franjas estrechas, aproxima cada una con una figura sencilla, como un rectángulo, un trapecio o un pequeño arco de parábola, y suma las piezas. En una franja suficientemente estrecha, hasta una curva muy irregular parece casi recta; por eso una figura elemental puede ajustarse sorprendentemente bien. Fíjate en el relleno cian: cuanto más estrechas hagas las franjas, menor será el error posible en cada una, sea cual sea la figura utilizada.

La regla de Simpson precede a Simpson 🖖

Johannes Kepler publicó en 1615 la fórmula por panel que esta herramienta aplica en el método de Simpson: S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)). La empleó para calcular el volumen de barriles de vino. En alemán todavía se conoce como Keplersche Fassregel. Thomas Simpson la escribió en 1743, un siglo y cuarto después. Kepler la necesitaba porque el perfil abombado de un barril no tiene una fórmula sencilla para el área.

TEORÍA DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA — CINCO FORMAS DE MEDIR UN ÁREA

Elegir la regla: ¿qué figura colocas bajo la curva?

Todas las reglas parten [a, b] en n franjas y sustituyen la curva dentro de cada franja por algo que se puede medir exactamente. Solo se diferencian en esa figura sustituta — una horizontal en un extremo, una horizontal en el centro, una recta inclinada o una parábola — y esa elección determina tu error y la rapidez con que se reduce al añadir franjas.

Rectángulos por la izquierda — planos en el borde izquierdo h · Σ f(x_i)

Rectángulos por la derecha — planos en el borde derecho h · Σ f(x_i+1)

Rectángulos del punto medio — planos en el centro h · Σ f(x_i + h/2)

Regla del trapecio — una recta de lado a lado (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Regla de Simpson — una parábola por tres puntos (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Rectángulos por la izquierda — planos en el borde izquierdo

Figura usada: Un rectángulo por franja, con la altura tomada en el extremo izquierdo de esa franja.

Regla: h · Σ f(x_i)

Comportamiento del error: En una curva creciente todos los rectángulos quedan por debajo, así que el total se queda corto. Al dividir el ancho entre dos, el error se reduce más o menos a la mitad.

Abrir este caso: Izquierda, 50 franjas

Rectángulos por la izquierda — planos en el borde izquierdo. Cada franja es un rectángulo fijado a su borde izquierdo, dejando sin contar una cuña de curva. Un rectángulo por franja, con la altura tomada en el extremo izquierdo de esa franja. — Cada franja es un rectángulo fijado a su borde izquierdo, dejando sin contar una cuña de curva.

Rectángulos por la derecha — planos en el borde derecho

Figura usada: Un rectángulo por franja, con la altura tomada ahora en el extremo derecho.

Regla: h · Σ f(x_i+1)

Comportamiento del error: En la misma curva creciente cada rectángulo sobresale por encima, pasándose más o menos en lo que la regla izquierda perdía.

Abrir este caso: Derecha, 8 franjas

Rectángulos por la derecha — planos en el borde derecho. Las mismas franjas, con la altura en el borde derecho: el sesgo cambia de signo. Un rectángulo por franja, con la altura tomada ahora en el extremo derecho. — Las mismas franjas, con la altura en el borde derecho: el sesgo cambia de signo.

Rectángulos del punto medio — planos en el centro

Figura usada: Un rectángulo por franja, con la altura leída en el centro de la franja y no en un extremo.

Regla: h · Σ f(x_i + h/2)

Comportamiento del error: Lo que sobra en media franja compensa lo que falta en la otra media. Al dividir h entre dos, el error baja a una cuarta parte.

Abrir este caso: Arcotangente

Rectángulos del punto medio — planos en el centro. Muestrear en el centro permite que los dos errores de cada franja se cancelen entre sí. Un rectángulo por franja, con la altura leída en el centro de la franja y no en un extremo. — Muestrear en el centro permite que los dos errores de cada franja se cancelen entre sí.

Regla del trapecio — una recta de lado a lado

Figura usada: Cada franja se convierte en un trapecio que une el valor de la curva en ambos extremos de la franja.

Regla: (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Comportamiento del error: exp(x) en [0, 1] con n = 8: las cuerdas quedan por encima de la curva convexa, así que la estimación sale alta.

Abrir este caso: Curva exponencial

Regla del trapecio — una recta de lado a lado. Cuerdas sobre cada franja: por encima de una curva convexa, por debajo de una cóncava. Cada franja se convierte en un trapecio que une el valor de la curva en ambos extremos de la franja. — Cuerdas sobre cada franja: por encima de una curva convexa, por debajo de una cóncava.

Regla de Simpson — una parábola por tres puntos

Figura usada: Las franjas se toman por pares y se ajusta una parábola por los tres puntos que las abarcan. Requiere n par.

Regla: (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Comportamiento del error: sin(x) en [0, π] con solo n = 10 ya coincide con el valor exacto 2 en varios decimales.

Abrir este caso: Simpson suave

Regla de Simpson — una parábola por tres puntos. Una parábola por cada par de franjas, mucho más ceñida a la curva que una cuerda. Las franjas se toman por pares y se ajusta una parábola por los tres puntos que las abarcan. Requiere n par. — Una parábola por cada par de franjas, mucho más ceñida a la curva que una cuerda.

Referencias (1)

Insight block 3 — Simpson's rule, a century before Simpson: J. Kepler, Nova stereometria doliorum vinariorum. Linz, 1615 — the Keplersche Fassregel, derived to gauge the volume of wine barrels.

Problema resuelto al detalle

La regla del trapecio con n = 8 para e x 5 pasos
Integrar e^x de 0 a 1 con ocho trapecios y averiguar exactamente el error de la respuesta antes de compararla con nada. Se trata de la regla del trapecio para n = 8 sobre e^x en [0, 1]: el único integrando para el que la estimación se puede escribir en forma cerrada.
1. La regla del trapecio promedia las dos alturas extremas de cada franja, de modo que cada altura interior se cuenta una vez y las dos exteriores cuentan la mitad. Para e^x en una malla equidistante, esas alturas no son ocho números independientes: cada una es la anterior multiplicada por e^1/8.
  
  $T = h [\frac{f _{0} + f _{8}}{2} + k = 1 \sum 7 f_{k}], h = \frac{1}{8}, f_{k} = e^{k /8} = r^{k}, r = e^{1/8} = 1.133148$
2. Las potencias consecutivas de r se suman como una serie geométrica, de forma que las siete alturas interiores se reducen a un único cociente. La octava potencia de r es exactamente e, que es lo que hace que el intervalo [0, 1] sea el más conveniente para efectuar este cálculo.
  
  $k = 1 \sum 7 r^{k} = \frac{r ^{8} - r}{r - 1} = \frac{e - r}{r - 1} = \frac{1.585134}{0.133148} = 11.905008$
3. Multiplicar el paréntesis por la anchura de la franja completa la estimación. Hasta aquí nada es aproximado, salvo la decisión inicial de colocar bordes superiores rectos sobre franjas curvas.
  
  $T = \frac{1}{8} [\frac{1 + e}{2} + 11.905008] = \frac{1}{8} [1.859141 + 11.905008] = 1.720519$
4. Repitamos ahora las mismas tres líneas sin usar decimales. El promedio de los extremos y el cociente geométrico comparten un factor, y lo que sobrevive a la simplificación es e − 1 —la integral exacta— multiplicado por una cantidad que depende únicamente de h. La regla del trapecio no aproximó e^x aquí; escaló la respuesta exacta por un factor que no sabe nada de la curva.
  
  $T = h [\frac{1 + e}{2} + \frac{e - r}{r - 1}] = \frac{h ( e - 1 ) ( r + 1 )}{2 ( r - 1 )} = (e - 1) \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2}$
5. Dicho factor es x coth x para x = h/2, y es una función par en x, por lo que su serie comienza por 1 + x²/3 y no tiene término lineal del que preocuparse. En x = h/2 esto se convierte en 1 + h²/12, y el 1/12 que todos los libros de texto citan en la cota de error del trapecio es este coeficiente de la serie y nada más. El siguiente término, −h⁴/720, es solo 3,4 × 10⁻⁷, de modo que el término principal por sí solo fija el error con seis cifras de precisión.
  
  $x coth x = \frac{x cosh x}{sinh x} = \frac{1 + \frac{x ^{2}}{2} + \dots}{1 + \frac{x ^{2}}{6} + \dots} = 1 + \frac{x ^{2}}{3} + \dots, x = \frac{h}{2} ⟹ T - I = \frac{I h ^{2}}{12} = \frac{1.718282}{768} = 0.0022373$
Respuesta

La herramienta muestra una estimación de 1,720519 frente a un valor real de 1,718282, y la diferencia de 0,0022368 es lo que I·h²/12 = 0,0022373 predecía basándose únicamente en el espaciado de la malla. Ambas cifras estaban disponibles antes de evaluar e^x en ningún punto, que es la verdadera lección: el error del trapecio en esta integral es una propiedad de h, no un misterio sobre el integrando. El precio de una ley de orden h² es elevado. Alcanzar los seis decimales que la herramienta muestra como exactos requiere 462 franjas —463 alturas de e^x—, mientras que la regla de Simpson de la herramienta, que asigna a las alturas izquierda, central y derecha de cada panel los pesos 1 : 4 : 1, da 1,718282 con seis paneles, o trece alturas. Ese factor de treinta y cinco no aporta nada nuevo matemáticamente; es un promedio distinto de alturas que la regla del trapecio ya tenía al alcance de la mano.

$T = I \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2} = I (1 + \frac{h ^{2}}{12} - \frac{h ^{4}}{720} + \dots)$

Ruta de aprendizaje

Tres métodos numéricos y dónde falla cada uno

Lleva a Método de Euler

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Izquierda, 50 franjas - Con cincuenta rectángulos izquierdos, la aproximación de x² aún queda 0,0795 por debajo. El sesgo de los extremos no desaparece al aumentar n; disminuye en proporción inversa.
Derecha, 8 franjas - Ocho rectángulos derechos dan 3,1875, mientras que ocho izquierdos dan 2,1875. La diferencia es exactamente 1: h multiplicado por f(2) - f(0), sin importar qué haga la curva entre ambos extremos.
Simpson suave - sin(x) en [0, π] con diez paneles de Simpson: 2,00000678 frente al valor exacto 2. Diez franjas bastan para obtener seis cifras correctas.
Curva exponencial - Ocho trapecios para e^x dan 1,720519 frente a 1,718282. El problema resuelto de abajo expresa esta estimación en forma cerrada y explica con precisión por qué queda por encima.
Arcotangente - 1/(1+x²) es par, así que en [-2, 2] las sumas izquierda y derecha coinciden en 2,211342, y ninguna de las dos acota el valor. La regla del punto medio da 2,215772 frente al valor exacto 2,214297.
Entre parábola y recta - x² y x se cortan dos veces dentro de [-1, 2], por lo que el área con signo es menor que el área comprendida entre ambas curvas. Simpson da exactamente 1,5 porque la diferencia es un polinomio cuadrático.
Entre seno y coseno - sin(x) menos cos(x) en [0, π] con dieciocho trapecios: 1,994920 frente al valor exacto 2.
Personalizado - La diferencia entre un polinomio cuadrático y una recta sigue siendo cuadrática, y Simpson es exacto en ese caso; por eso el panel muestra 9,25 sin error alguno.