Visualizador del Método de Newton

búsqueda de raíces con pasos tangentes y diagnóstico de convergencia

Ejemplo resuelto — Visualizador del Método de Newton

Raíz estimada	1.52138
Iteraciones	3
Residuo \|f(x)\|	5.894×10⁻⁷

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

0,55 y 0,58 acaban en raíces opuestas 🖖

Newton duplica el número de cifras correctas en cada paso, y el preajuste Raíz rápida permite comprobarlo: desde x₀ = 1 hacia √2, el error toma los valores 0,414, 0,0858, 0,00245, 2,1 × 10⁻⁶ y 1,6 × 10⁻¹². Cuatro pasos, doce cifras. Ese mismo mecanismo también puede hacerlo fallar. Cuando la derivada es casi nula, la tangente apenas se inclina y el salto resulta enorme. En x³ − x, empezar en 0,5774 lleva la primera aproximación a −2210; por eso 0,55 acaba en la raíz negativa, mientras que 0,58 acaba en la positiva.

sigue la tangente hasta el eje 🖖

Para hallar dónde una curva cruza el cero, el método de Newton sustituye la curva por su recta tangente en la estimación actual y salta al punto donde esa recta corta el eje x. Como una curva suave parece casi recta al acercarse, ese cruce suele quedar mucho más próximo a la raíz verdadera. Al repetir, te acercas rápido. La fórmula: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f'(x_n).

los ordenadores dividen sin dividir 🖖

Las CPU modernas suelen calcular a/b hallando primero 1/b, y el método de Newton lo logra sin usar ninguna división. Aplicado a f(x) = 1/x − a da la iteración x_n+1 = x_n(2 − a·x_n), formada solo por multiplicaciones y restas, operaciones baratas para el hardware. El mismo truco sustenta las rutinas rápidas de raíz inversa, incluida la famosa de Quake III.

MÉTODO DE NEWTON — CUÁNDO DUPLICA TUS CIFRAS Y CUÁNDO SE ESCAPA

¿En qué caso de Newton estás?

El método de Newton sigue la tangente hasta el eje y repite: xₖ₊₁ = xₖ − f(xₖ)/f′(xₖ). Cuando funciona es espectacular y duplica aproximadamente el número de cifras correctas en cada paso. Todas sus formas de fallar vienen del mismo sitio: ese denominador. Una f′ casi nula te lanza lejísimos, una f′ que se anula en la raíz te frena hasta el paso de tortuga, y arrancar al otro lado de un punto crítico te entrega una raíz distinta.

Convergencia cuadrática — el caso que dio fama a Newton e_k+1 ∝ e_k²

Pendiente plana en la raíz — la velocidad cae a lineal f′(r) = 0 ⇒ e_k+1 ≈ (1 − 1/m)e_k

Se escapa — el paso crece en vez de encogerse x → −2x

Converge — a una raíz que no pediste f′(x₀) = 0

Convergencia cuadrática — el caso que dio fama a Newton

Qué sabes: f es suave, f′ está cómodamente lejos de cero cerca de la raíz y el punto de partida está bastante cerca. Cada paso eleva el error al cuadrado.

Iteración: e_k+1 ∝ e_k²

Ejemplo resuelto: f(x) = x² − 2 desde x₀ = 1 → 1,5; 1,416667; 1,41421569; 1,41421356237: primero 1 y luego 3, 6 y 12 cifras correctas

Abrir este caso: raíz rápida

Convergencia cuadrática — el caso que dio fama a Newton. Cada tangente cae mucho más cerca de la raíz que la anterior y el error se eleva al cuadrado. f es suave, f′ está cómodamente lejos de cero cerca de la raíz y el punto de partida está bastante cerca. Cada paso eleva el error al cuadrado. — Cada tangente cae mucho más cerca de la raíz que la anterior y el error se eleva al cuadrado.

Pendiente plana en la raíz — la velocidad cae a lineal

Qué sabes: La raíz es múltiple, así que f y f′ se anulan juntas allí. La tangente es casi horizontal exactamente hacia donde te diriges.

Iteración: f′(r) = 0 ⇒ e_k+1 ≈ (1 − 1/m)e_k

Ejemplo resuelto: f(x) = x³ desde x₀ = 0,1 → 0,0667; 0,0444; 0,0296; 0,0198: cada paso multiplica el error por 2/3 en vez de elevarlo al cuadrado

Abrir este caso: pendiente plana

Pendiente plana en la raíz — la velocidad cae a lineal. Una raíz triple aplana la tangente: cada paso solo cubre un tercio de lo que queda. La raíz es múltiple, así que f y f′ se anulan juntas allí. La tangente es casi horizontal exactamente hacia donde te diriges. — Una raíz triple aplana la tangente: cada paso solo cubre un tercio de lo que queda.

Se escapa — el paso crece en vez de encogerse

Qué sabes: f′ se derrumba más deprisa que f al acercarte a la raíz, así que la corrección f/f′ se pasa más en cada iteración.

Iteración: x → −2x

Ejemplo resuelto: f(x) = ∛x desde x₀ = 0,01 → −0,02; 0,04; −0,08; 0,16: la actualización sale exactamente x → −2x, así que la distancia se duplica y el signo se invierte sin parar

Abrir este caso: diverge

Se escapa — el paso crece en vez de encogerse. Cada tangente corta el eje al doble de distancia que la anterior, y del lado opuesto. f′ se derrumba más deprisa que f al acercarte a la raíz, así que la corrección f/f′ se pasa más en cada iteración. — Cada tangente corta el eje al doble de distancia que la anterior, y del lado opuesto.

Converge — a una raíz que no pediste

Qué sabes: La función tiene varias raíces y el inicio queda cerca de un punto crítico, donde f′ es pequeña y el primer paso es enorme.

Iteración: f′(x₀) = 0

Ejemplo resuelto: f(x) = x³ − x desde x₀ = 0,7 se asienta en +1, pero desde x₀ = 0,5 el primerísimo paso aterriza en −1: una raíz al otro lado de otras dos

Abrir este caso: cuenca incorrecta

Converge — a una raíz que no pediste. Dos inicios vecinos, dos raíces distintas: la frontera está en el punto crítico. La función tiene varias raíces y el inicio queda cerca de un punto crítico, donde f′ es pequeña y el primer paso es enorme. — Dos inicios vecinos, dos raíces distintas: la frontera está en el punto crítico.

Problema resuelto al detalle

La raíz de x³ − x − 2 mediante el método de Newton 5 pasos
El método de Newton encuentra la raíz de x³ − x − 2 en tres iteraciones. La bisección necesita unos veinte pasos solo para alcanzar 10⁻⁶, un umbral que Newton supera en el segundo. Averigua de dónde sale esa rapidez y qué precio tiene.
1. El método se basa en una sola idea: sustituir la curva por su tangente y resolver esta en su lugar, ya que una recta se puede resolver de forma exacta. La siguiente aproximación es el punto donde la tangente cruza el cero.
  
  $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}, f (x) = x^{3} - x - 2, f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$
2. Desde 1,5, el primer paso recorre casi todo el camino. La función vale allí solo −0,125, la pendiente es 5,75, y su cociente desplaza la aproximación en unos 0,022.
  
  $x_{0} = 1.5 : x_{1} = 1.5 - \frac{- 0.125}{5.75} = 1.52173913$
3. Dos pasos más y los dígitos dejan de cambiar. La herramienta indica tres iteraciones porque la cuarta movería la respuesta en menos que la tolerancia.
  
  $x_{2} = 1.52137981, x_{3} = 1.52137971$
4. La cantidad interesante no es la aproximación, sino el error. Síguelo y verás un patrón inconfundible: cada error es aproximadamente el cuadrado del anterior, de modo que el número de cifras correctas se duplica en cada paso: 2, luego 4, después 7 y finalmente 14.
  
  $e_{n} = ∣ x_{n} - r ∣ : 2.14 \times 1 0^{- 2}, 3.59 \times 1 0^{- 4}, 9.92 \times 1 0^{- 8}, 7.55 \times 1 0^{- 15}$
5. Y la constante que lo acompaña no es arbitraria. Al desarrollar f en torno a la raíz, se observa que el cociente de errores al cuadrado consecutivos tiende a |f″/2f′| evaluado allí, que para esta cúbica es 0,768. Los cocientes observados son 0,786, 0,768, 0,768.
  
  $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} ⟶ \frac{f ^{''} ( r )}{2 f ^{'} ( r )} = \frac{3 r}{2 ( 3 r ^{2} - 1 )} = 0.768$
Respuesta

La herramienta muestra una raíz de 1,52138 después de 3 iteraciones. La razón es la convergencia cuadrática: la bisección reduce el intervalo a la mitad en cada paso y necesita unos veinte para llegar a 10⁻⁶; Newton eleva el error al cuadrado y ya ha rebasado ese umbral en el segundo paso. El precio es que no ofrece garantías. Una vez que la bisección ha acotado una raíz, no puede fallar. Newton no parte de un intervalo que la encierre, y si el punto inicial está donde la pendiente es casi nula, la siguiente aproximación se dispara. En esta disyuntiva se basa todo el cálculo numérico de raíces. Por eso, los algoritmos de uso profesional primero acotan la raíz y solo después pasan a Newton.

$e_{n + 1} \approx 0.768 e_{n}^{2} : correct digits DOUBLE each step$

Ruta de aprendizaje

Tres métodos numéricos y dónde falla cada uno

Lleva a Integración numérica

Referencias (1)

Insight block 2 draws the tangent. Neither the tangent nor the derivative is Newton’s, which this traces: T. J. Ypma, "Historical Development of the Newton–Raphson Method." SIAM Review 37(4), 531–551, 1995 — Newton’s own procedure used no derivative and no geometric tangent; the form taught today is closer to Simpson’s.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

raíz rápida - Desde x0 = 1, el error baja a 0,414, 0,0858, 0,00245, 2,1 × 10⁻⁶ y 1,6 × 10⁻¹². Cada valor es aproximadamente el cuadrado del anterior, así que cuatro pasos dan doce cifras correctas de √2.
pendiente plana - x³ tiene una raíz triple en 0. Allí Newton avanza con lentitud en vez de elevar el error al cuadrado: cada paso se limita a multiplicar x por 2/3. Después de seis, se detiene en 0,0088 e indica que ha convergido. La raíz es 0.
diverge - Para la raíz cúbica, Newton se reduce exactamente a x → -2x. Las aproximaciones son 0,01, -0,02, 0,04 y -0,08: duplican su magnitud y cambian de signo indefinidamente. El método diverge desde cualquier punto inicial salvo la propia raíz.
cuenca incorrecta - x0 = 0,55 está en el lado positivo, pero converge a -1. La primera tangente lo lanza hasta -3,60 porque la derivada casi se anula en 1/√3 = 0,5774. En cambio, 0,58 lleva a +1.
raíz negativa - Es la misma x² - 2 que en Raíz rápida, pero se empieza en -1,2 en vez de 1 y se converge a -1,414 en tres pasos. Newton encuentra la raíz hacia la que lo diriges, no la que querías.
tolerancia estricta - Partiendo de 1,6, x³ - x - 2 llega a 1,5213797 en tres iteraciones incluso con una tolerancia de 10⁻⁸. Para igualarlo, la bisección necesitaría unas veintisiete divisiones por la mitad.