Visualizador del Método de Newton
búsqueda de raíces con pasos tangentes y diagnóstico de convergencia
las cuencas de atracción determinan el resultado 🖖
La iteración de Newton es poderosa porque usa información local de la pendiente, así que un buen punto de partida suele duplicar el número de cifras correctas en cada paso. El mismo mecanismo puede fallar cerca de derivadas planas o en los límites de las cuencas de atracción: pequeños cambios en x0 pueden llevar a una raíz distinta, a un ciclo o a la divergencia.
sigue la tangente hasta el eje 🖖
Para hallar dónde una curva cruza el cero, el método de Newton sustituye la curva por su recta tangente en la estimación actual y salta al punto donde esa recta corta el eje x. Como una curva suave parece casi recta al acercarse, ese cruce suele quedar mucho más próximo a la raíz verdadera. Al repetir, te acercas rápido. La fórmula: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n).
los ordenadores dividen sin dividir 🖖
Las CPU modernas suelen calcular a/b hallando primero 1/b, y el método de Newton lo logra sin usar ninguna división. Aplicado a f(x) = 1/x − a da la iteración x_{n+1} = x_n(2 − a·x_n), formada solo por multiplicaciones y restas, operaciones baratas para el hardware. El mismo truco sustenta las rutinas rápidas de raíz inversa, incluida la famosa de Quake III.
Problemas de ejemplo
- raíz rápida - La raíz cuadrática converge rápidamente a sqrt(2).
- pendiente plana - Una derivada cercana a cero provoca un avance lento o inestable.
- diverge - Una derivada no suave puede hacer que los saltos de Newton sean erráticos.
- cuenca incorrecta - La estimación inicial determina hacia qué cuenca de raíz converge el método.
- raíz negativa - raíz negativa
- tolerancia estricta - tolerancia estricta