Visualizador del método de Euler

cambia el tamaño de paso y observa cómo se acumula el error global

Ejemplo resuelto — Visualizador del método de Euler

Euler y(xn)	7.000266
Exacto y(xn)	7.000671
Error global absoluto	0.000405
Error / tamaño de paso	0.002025
Error del punto final con h/2	0.000234
Razón de error	1.731285
Multiplicador de Euler	0.8

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Reducir el paso a la mitad solo reduce el error a la mitad 🖖

Euler avanza por la recta tangente: y_n+1 = y_n + h · f(x_n, y_n). En cada paso comete un error de aproximadamente h²/2 veces la segunda derivada de la solución. Es poco. Sin embargo, reducir h también multiplica el número de pasos: hacen falta 1/h para recorrer un intervalo fijo. Así, esos errores de orden h² se acumulan hasta dar un total proporcional a h, no a h². Esa potencia de h es lo que significa que el método sea de primer orden y determina el precio de la precisión: cada nueva cifra decimal correcta exige diez veces más cálculos.

Seguir la pendiente paso a paso 🖖

El método de Euler es la estimación más sencilla y franca: desde el punto en el que estás, sigue la dirección que la ecuación asigna a la curva, recorre una distancia corta h, detente y corrige el rumbo. La curva exacta continúa curvándose, pero cada tramo recto ignora esa curvatura y se desvía. Además, lo hace siempre en el mismo sentido: queda por debajo si la curva es cóncava hacia arriba y por encima si es cóncava hacia abajo. Los siete casos predefinidos cumplen esta regla. El panel muestra dos veces el error en el extremo, para h y para h/2, y permite leer directamente el cociente entre ambos.

Dónde se esconde el número e en Euler 🖖

Aplica el método de Euler a la ecuación y' = y partiendo de y = 1 y cada paso simplemente multiplica por (1 + h). Da N pasos de tamaño h = 1/N en el intervalo [0, 1] y el resultado es exactamente (1 + 1/N)^N, la fórmula del interés compuesto. A medida que N crece converge a e ≈ 2.71828, así que los toscos pasos rectos de Euler reconstruyen en silencio la capitalización continua y la definición de la exponencial.

MÉTODO DE EULER — EL PASO DECIDE SI LA RESPUESTA SIGNIFICA ALGO

¿En qué caso de tamaño de paso estás?

Euler toma la pendiente donde está parado y camina en línea recta durante h antes de volver a mirar: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Todo lo que sale mal tiene que ver con h. Suficientemente pequeño y el error encoge en proporción; demasiado grande y la respuesta oscila o explota; y ningún h te protege de una solución que se va al infinito mientras los números en pantalla siguen tranquilos.

Un paso sensato — el error está ahí, pero es pequeño y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Paso demasiado grande — la respuesta oscila alrededor de la verdad |1 + hλ| > 1

Un paso fino — pagas en trabajo, no en exactitud ε ∝ h

La solución exacta escapa al infinito — y Euler no se entera y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Un paso sensato — el error está ahí, pero es pequeño

Qué sabes: Una ecuación suave y estable con un paso holgadamente dentro del límite de estabilidad. La curva numérica sigue a la exacta y va ligeramente rezagada.

Paso: y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Ejemplo resuelto: y′ = x − y desde y(0) = 1 con h = 0,2 → en x = 2 Euler da 1,2147 frente al exacto 1,2707, un error de 0,056

Abrir este caso: lineal estable

Un paso sensato — el error está ahí, pero es pequeño. Los pasos rectos se mantienen cerca de la curva verdadera y se desvían siempre hacia el mismo lado. Una ecuación suave y estable con un paso holgadamente dentro del límite de estabilidad. La curva numérica sigue a la exacta y va ligeramente rezagada. — Los pasos rectos se mantienen cerca de la curva verdadera y se desvían siempre hacia el mismo lado.

Paso demasiado grande — la respuesta oscila alrededor de la verdad

Qué sabes: Una ecuación de decaimiento donde h ha pasado el punto en que un paso se salta el equilibrio. La solución exacta nunca cambia de signo; la numérica sí.

Paso: |1 + hλ| > 1

Ejemplo resuelto: y′ = −2y con h = 0,6 → 1, luego −0,2; 0,04; −0,008: el primer paso ya salta más allá de cero, mientras el valor exacto en x = 0,6 es 0,301

Abrir este caso: decaimiento, h grande

Paso demasiado grande — la respuesta oscila alrededor de la verdad. Un paso se pasa del eje, así que los números cambian de signo mientras la solución real nunca lo hace. Una ecuación de decaimiento donde h ha pasado el punto en que un paso se salta el equilibrio. La solución exacta nunca cambia de signo; la numérica sí. — Un paso se pasa del eje, así que los números cambian de signo mientras la solución real nunca lo hace.

Un paso fino — pagas en trabajo, no en exactitud

Qué sabes: La misma ecuación con un paso mucho menor. El error cae en proporción a h y el número de pasos sube en proporción inversa.

Paso: ε ∝ h

Ejemplo resuelto: y′ = −2y en x = 0,6: con h = 0,1 el error es 0,039 y con h = 0,05 es 0,019 — la mitad de paso, la mitad de error, el doble de pasos

Abrir este caso: decaimiento, h fino

Un paso fino — pagas en trabajo, no en exactitud. Reducir el paso a la mitad reduce a la mitad la distancia a la curva exacta y duplica los pasos. La misma ecuación con un paso mucho menor. El error cae en proporción a h y el número de pasos sube en proporción inversa. — Reducir el paso a la mitad reduce a la mitad la distancia a la curva exacta y duplica los pasos.

La solución exacta escapa al infinito — y Euler no se entera

Qué sabes: Una ecuación no lineal cuya solución verdadera tiene una asíntota vertical en un x finito. La solución numérica pasa de largo y sigue devolviendo números normales.

Paso: y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Ejemplo resuelto: y′ = y² desde y(0) = 0,18 explota en x = 1/0,18 = 5,56 y, sin embargo, Euler con h = 0,18 informa un cómodo 0,68 en x = 4,32, donde el valor verdadero ya es 0,81

Abrir este caso: crecimiento cuadrático

La solución exacta escapa al infinito — y Euler no se entera. La curva verdadera se vuelve vertical en un x finito; la numérica pasa de largo tan campante. Una ecuación no lineal cuya solución verdadera tiene una asíntota vertical en un x finito. La solución numérica pasa de largo y sigue devolviendo números normales. — La curva verdadera se vuelve vertical en un x finito; la numérica pasa de largo tan campante.

Referencias (1)

The method, as Euler set it out: L. Euler, Institutiones calculi integralis, Volume I. Academia Imperialis Scientiarum, Saint Petersburg, 1768.

Intuición errónea común

Más pasos no garantizan por sí solos mayor precisión. Si h sigue siendo demasiado grande para la curvatura, Euler sigue siendo sesgado.

Problema resuelto al detalle

Respuesta de Euler en x = 8 para y′ = x − y 5 pasos
Escriba la respuesta de Euler en x = 8 en forma cerrada, sin dar un solo paso, y explique después por qué reducir h a la mitad no reduce el error a la mitad. Se trata de y′ = x − y comenzando en (0, 1) con h = 0,2 y 40 pasos.
1. Comencemos con la respuesta a la que aspira Euler. La ecuación es lineal, x − 1 es una solución particular, y la condición inicial fija en 2 el coeficiente de la parte decreciente.
  
  $y^{'} = x - y, y (0) = 1 ⟹ y = x - 1 + 2 e^{- x}, y (8) = 7 + 2 e^{- 8} = 7.000671$
2. La regla de Euler en esta ecuación no es una complicación no lineal general: es una recurrencia afín. Y el mismo x − 1 que resolvió la ecuación diferencial resuelve la recurrencia exactamente, paso a paso. Euler obtiene la parte lineal de la respuesta de forma perfectamente correcta.
  
  $y_{n + 1} = y_{n} + h (x_{n} - y_{n}) = (1 - h) y_{n} + h x_{n}, y_{n} = x_{n} - 1 ⟹ y_{n + 1} = x_{n} - 1 + h = x_{n + 1} - 1$
3. Por tanto, todo el error reside en lo que queda, y lo que queda es una sucesión geométrica con razón 1 − h. Cuarenta factores de 0,8 llegan directamente al punto final del panel sin necesidad de dar paso alguno.
  
  $y_{n} = x_{n} - 1 + 2 (1 - h)^{n} ⟹ y_{40} = 7 + 2 (0.8)^{40} = 7 + 2.658456 \times 1 0^{- 4} = 7.000266$
4. Pongamos ahora las dos partes decrecientes frente a frente: la verdadera es e^−x y la de Euler es (1 − h)^x/h. Ambas son exponenciales en x, y δ representa la diferencia completa entre sus ritmos. Su serie comienza en xh/2: esa h inicial constituye todo el contenido de la expresión “primer orden”.
  
  $(1 - h)^{x / h} = e^{- x - δ}, δ = x (\frac{- ln ( 1 - h )}{h} - 1) = \frac{x h}{2} + \frac{x h ^{2}}{3} + \dots = 0.925742$
5. El error es lo que sobrevive al restar ambas exponenciales. El primer orden predice que reducir h a la mitad reduce el error a la mitad, por lo que la razón debería ser 2.
  
  $E_{h} = 2 e^{- x} (1 - e^{- δ}) : E_{0.2} = 0.000405, E_{0.1} = 0.000234, \frac{E _{0.2}}{E _{0.1}} = \frac{1 - e ^{- 0.925742}}{1 - e ^{- 0.428841}} = \frac{0.603763}{0.348737} = 1.731285$
Respuesta

Euler termina en 7,000266 frente a un valor exacto de 7,000671, lo que supone un error global de 0,000405; si se reduce el paso a la mitad, desciende únicamente a 0,000234, una razón de 1,731285 cuando el primer orden prometía 2. La promesa no se ha roto: es que aún no se cumple. Requiere que δ ≈ xh/2 sea pequeño, y en x = 8 con h = 0,2 ese número vale 0,8, de modo que el término lineal del error sigue compitiendo con cada uno de los términos que le siguen; elevar la razón observada hasta 1,9933 requiere h = 0,005, lo que equivale a 1600 pasos a lo largo de las mismas ocho unidades. La forma cerrada revela la lectura más profunda: Euler no está aproximando esta solución, sino resolviendo exactamente una ecuación diferente, donde la amortiguación geométrica 0,8ⁿ sustituye a e^−x, y 0,8 es el multiplicador 1 + hλ que el panel ya muestra. Medido únicamente sobre esa parte decreciente, Euler se equivoca en un 60%. El error global parece diminuto solo porque la parte en la que se equivoca casi se ha extinguido para cuando x alcanza el 8.

$\frac{E _{h}}{E _{h /2}} = \frac{1 - e ^{- δ_{h}}}{1 - e ^{- δ_{h /2}}} ⟶ 2 (δ ≪ 1), δ_{h} \approx \frac{x h}{2} = 0.8$

Ruta de aprendizaje

Tres métodos numéricos y dónde falla cada uno

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

lineal estable - La única ecuación de esta colección cuya aproximación de Euler tiene forma cerrada: 7 + 2(0,8)⁴⁰. No hace falta avanzar paso a paso, así que puedes comprobar el error hasta la última cifra.
decaimiento, h grande - Con h = 0,6, el multiplicador de Euler es -0,2. La aproximación cambia de signo en cada paso, aunque la solución exacta nunca deja de ser positiva.
logística, h medio - Crecimiento logístico desde 0,2: la pendiente aumenta, alcanza un máximo y luego se extingue. Euler se pasa y da 0,9993 frente a 0,9987, porque la curva es cóncava hacia abajo y la tangente no acompaña esa curvatura.
decaimiento, h fino - La misma ecuación de decaimiento con h = 0,05: el multiplicador es 0,9 y desaparecen los cambios de signo. Dar doce veces más pasos aporta estabilidad, además de precisión.
curva de enfriamiento - Un café a 90 grados se enfría en una habitación a 20 grados. Al final, Euler da 20,06 frente al valor exacto de 20,12: seis centésimas de diferencia tras un descenso de setenta grados.
forzamiento senoidal - En y' = cos(x), el miembro derecho no contiene y. Por eso, Euler coincide aquí con la suma de Riemann izquierda del coseno: 1,079, mientras que la integral exacta da 0,970.
crecimiento cuadrático - La solución de y' = y² tiende a infinito en x = 5,56. El panel se detiene en 4,32 y marca 0,68, cuando el valor exacto es 0,81. Parece más tranquila justo donde menos confianza merece.