Volumen por secciones

Corta un sólido en láminas finas perpendiculares a un eje y su volumen será la suma del área de cada sección por su espesor: V = ∫A(x) dx. Discos, arandelas y secciones de forma prefijada responden a esta misma idea con distinta A(x). La página dibuja la región plana, la sección en x vista de frente y la curva A(x) a lo largo del eje, cuya área bajo la curva es el volumen.

Volumen por secciones	$V = \int_{a}^{b} A (x) d x$
Una arandela	$A (x) = π (R (x)^{2} - r (x)^{2})$

Ejemplo resuelto — Volumen por secciones

Área de la sección en x	0,7854
Volumen, la integral de las áreas seccionales	3,1416

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Volumen por secciones

Si la sección de un sólido en x tiene un área A(x) para a ≤ x ≤ b, su volumen es V = ∫ₐᵇ A(x) dx. Al girar alrededor de un eje, una región genera discos, A = πR², o arandelas, A = π(R² − r²), donde R y r son las distancias al eje.

Qué significa cada símbolo

A(x): área de la sección en x, perpendicular al eje
R, r: radios exterior e interior de la arandela, medidos respecto al eje de giro

De dónde viene la fórmula

Corta y suma las secciones. Una lámina fina de espesor Δx tiene un volumen muy cercano a A(x)Δx. Suma todas y haz que Δx tienda a cero: la suma se convierte en la integral.
$V \approx i \sum A (x_{i}) Δ x ⟶ \int_{a}^{b} A (x) d x$
Discos y arandelas. Al girar una región alrededor de un eje, cada corte es un disco o un disco perforado: resta el área del hueco, no su radio.
$A = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) \neq = π (R - r)^{2}$

Problemas resueltos al detalle

Un disco alrededor del eje x 1 pasos
Calcula el volumen cuando la región bajo y = √x en [0, 4] gira alrededor del eje x.

Abre este problema en la herramienta
1. Cada sección es un disco de radio √x:
  
  $V = \int_{0}^{4} π (x)^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π \cdot 8$
Respuesta

8π ≈ 25,1327.

$V = 8 π \approx 25.1327$
La fórmula del cono a partir de discos 2 pasos
Demuestra que un cono de radio r y altura h tiene un volumen de πr²h/3.

Abre este problema en la herramienta
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1. Oriéntalo a lo largo del eje x con el vértice en 0: el radio en x es rx/h.
  
  $R (x) = \frac{r}{h} x, 0 \leq x \leq h$
2. Integra las áreas de los discos:
  
  $V = \int_{0}^{h} π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} x^{2} d x = π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \cdot \frac{h ^{3}}{3} = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Respuesta

πr²h/3. Con r = 1 y h = 3 la página muestra 3,1416, que es π.

$V = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Una arandela 1 pasos
La región entre y = x e y = x² en [0, 1] gira alrededor del eje x. Halla el volumen.

Abre este problema en la herramienta
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1. Radio exterior x, radio interior x²:
  
  $V = \int_{0}^{1} π (x^{2} - x^{4}) d x = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2 π}{15}$
Respuesta

2π/15 ≈ 0,4189. La integral π∫(x − x²)² dx da 0,1047, la advertencia que señalamos sobre las arandelas.

$V = \frac{2 π}{15} \approx 0.4189$
Una arandela respecto a otra recta 2 pasos
La región bajo y = x² en [0, 1] gira alrededor de la recta y = −1. Halla el volumen.

Abre este problema en la herramienta
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1. Mide los radios desde y = −1: el borde exterior está en x² + 1 y el hueco en 1 (el eje x):
  
  $R = x^{2} + 1, r = 1$
2. Desarrolla e integra:
  
  $V = \int_{0}^{1} π ((x^{2} + 1)^{2} - 1) d x = π \int_{0}^{1} (x^{4} + 2 x^{2}) d x = π (\frac{1}{5} + \frac{2}{3})$
Respuesta

13π/15 ≈ 2,7227. Si olvidas desplazar los radios en 1 obtendrías el volumen de discos alrededor del eje x, π/5, que corresponde a otro sólido.

$V = \frac{13 π}{15} \approx 2.7227$
Secciones transversales cuadradas 1 pasos
La base de un sólido es la región bajo y = √x en [0, 4]. Cada sección perpendicular al eje x es un cuadrado. Halla el volumen.

Abre este problema en la herramienta
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1. El cuadrado en x tiene lado √x:
  
  $V = \int_{0}^{4} (x)^{2} d x = \int_{0}^{4} x d x = 8$
Respuesta

8. Sin giros ni π: la geometría de la sección fija A(x), y no hace falta nada más.

$V = 8$
Secciones transversales semicirculares 1 pasos
La base de un sólido es el disco x² + y² ≤ 1. Las secciones perpendiculares al eje x son semicírculos apoyados en cuerdas. Halla el volumen.

Abre este problema en la herramienta
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1. La cuerda en x mide 2√(1 − x²), de modo que el radio del semicírculo es √(1 − x²):
  
  $A (x) = \frac{1}{2} π (1 - x^{2}), V = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} π (1 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} π \cdot \frac{4}{3}$
Respuesta

2π/3 ≈ 2,0944. La mitad del volumen de la esfera unidad, que tiene círculos enteros donde este sólido tiene semicírculos.

$V = \frac{2 π}{3} \approx 2.0944$
La esfera 1 pasos
Demuestra que una esfera de radio r tiene un volumen de 4πr³/3.
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1. Gira el semicírculo y = √(r² − x²) alrededor del eje x: el disco en x tiene radio √(r² − x²).
  
  $V = \int_{- r}^{r} π (r^{2} - x^{2}) d x = π (2 r^{3} - \frac{2 r ^{3}}{3})$
Respuesta

4πr³/3. Arquímedes lo dedujo como dos tercios del cilindro circunscrito, 2πr³.

$V = \frac{4 π r ^{3}}{3}$

Un cono mide exactamente un tercio de su cilindro, y las secciones explican por qué 🖖

Pulsa Un cono, un tercio. La sección en x es un disco de radio x/3, así que su área crece como x²: diminuta cerca del vértice y π en la base. El volumen es el área bajo A(x) entre 0 y 3. El área bajo una curva proporcional a x² es un tercio del rectángulo que la contiene, ya que ∫x² dx = x³/3. Ese rectángulo mide π por 3, que es el cilindro. Por tanto, el cono mide π: un tercio exacto, válido para cualquier cono sin importar su radio ni su altura. Demócrito enunció este tercio y Arquímedes atribuyó la demostración a Eudoxo; con las secciones transversales basta una sola integral.

Una arandela es la diferencia de dos áreas, no el área de una diferencia 🖖

Pulsa Áreas, no radios. Cada sección es un disco de radio x al que se le vacía otro de radio x², lo que deja un área de π(x² − x⁴) y un volumen de 2π/15 ≈ 0,4189. Un atajo tentador consiste en elevar al cuadrado la resta de los radios, π(x − x²)². La página también integra esa expresión: da 0,1047, exactamente una cuarta parte. En cada corte, ambas opciones discrepan en 2πr(R − r), una diferencia que nunca es negativa y que hace que el atajo se quede siempre corto. El agujero es un disco entero de radio r, y su área es lo que debes restar.

El volumen depende solo del área de las secciones, no de su disposición 🖖

Pulsa Secciones cuadradas y luego Secciones semicirculares. Ninguno de estos cuerpos gira en torno a un eje: uno levanta cuadrados sobre una región plana y el otro apoya semicírculos sobre un disco. La página los resuelve exactamente igual, integrando A(x), porque ninguna otra propiedad geométrica influye en el volumen. Empuja una pila de monedas para ladearla y verás que el volumen no cambia: cada moneda conserva su superficie. Bonaventura Cavalieri formalizó este principio en 1635. En China, Zu Geng, hijo de Zu Chongzhi, ya lo aplicaba con soltura hacia el año 500.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (4)

The method as the page computes it: the slicing method, V = ∫ₐᵇ A(x) dx, derived from Riemann sums, the disk method (equation 6.3) and the washer method (equation 6.5, π[(f(x))² − (g(x))²]): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: the cone as one third of the cylinder, first stated by Democritus, the proof attributed to Eudoxus by Archimedes in On the Sphere and Cylinder: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Eudoxus of Cnidus”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).
Insight block 3: Cavalieri's principle in his Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Bonaventura Francesco Cavalieri”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated July 2014).
Insight block 3: Zu Geng's principle, “a generalisation of what is often called Cavalieri's principle”; Zu Geng born about 450, died about 520: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.