Longitud de arco y sólido de revolución
Fórmulas de longitud de arco y revolución alrededor del eje x, evaluadas numéricamente con integración de Simpson.
Integración de distancia curvilínea 🖖
La longitud de arco calcula la distancia 1D exacta a lo largo de una trayectoria 2D deformada. Derivada del teorema de Pitágoras infinitesimal, integra la raíz cuadrada de la derivada al cuadrado, traduciendo trayectorias curvas en métricas lineales.
Girar una curva hasta formar un sólido 🖖
El segundo modo de esta herramienta actúa como un torno o un torno de alfarero: toma la curva y=f(x) y la hace girar alrededor del eje x para generar una figura 3D. Para hallar su volumen, la herramienta corta el sólido en discos delgados, cada uno un círculo de radio f(x), y los suma. Gira la recta y=x de 0 a 3 y obtienes un cono perfecto de volumen 9π, sin necesidad de ninguna fórmula geométrica, solo la integral.
La trompeta que puedes llenar pero nunca pintar 🖖
Gira y=1/x desde x=1 hasta el infinito alrededor del eje x y obtienes la Trompeta de Torricelli (el Cuerno de Gabriel). Su volumen converge a exactamente π, pero su área de superficie es infinita. Esta «paradoja del pintor» significa que la trompeta contiene π unidades de pintura, pero ninguna cantidad finita podría cubrir jamás su pared interior. Evangelista Torricelli lo descubrió en la década de 1640, antes de que existiera el cálculo formal, y hasta él lo consideró absurdo.
Problemas de ejemplo
- arco de parábola - La longitud de arco de y=x^2 en [0,2] es mayor que la de la cuerda recta.
- arco de semicírculo - El arco de la semicircunferencia en [-1,1] se aproxima a pi, como se espera.
- esfera por revolución - Al girar una semicircunferencia alrededor del eje x se obtienen valores tipo esfera de 4pi y 4pi/3.
- cono por revolución - Al girar y=x en [0,3] se obtiene un cono con volumen analítico 9pi.