Longitud de arco y sólido de revolución

Fórmulas de longitud de arco y revolución alrededor del eje x, evaluadas numéricamente con integración de Simpson.

Ejemplo resuelto — Longitud de arco y sólido de revolución

Método	500

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Longitud de arco y sólido de revolución

Una curva no se puede medir directamente, por lo que la longitud de arco se define como un límite en lugar de una fórmula: reemplaza la curva por una cadena de cuerdas rectas, suma sus longitudes y deja que las cuerdas se reduzcan hasta tender a cero. Todo lo que sigue es esa sola idea más Pitágoras.

Qué significa cada símbolo

f(x): la curva, dada como función de x —una y por cada x. Esa restricción es la razón por la que las opciones predeterminadas ofrecen un semicírculo y nunca un círculo completo: un círculo abarca dos valores de y de altura en la mayor parte de su anchura, por lo que ninguna f por sí sola puede trazarlo.
f'(x): la pendiente, y lo único que consulta el integrando. La altura a la que se sitúa la curva no interviene jamás: la función constante 1 en [0, 2] tiene pendiente 0 en todas partes y una longitud exactamente de 2, la anchura del intervalo y nada más.
[a, b]: el intervalo, que forma parte de la respuesta en lugar de ser un mero detalle de esta. La parábola mide 4.646784 en [0, 2] y 1.478943 en [0, 1] —no la mitad, porque un tramo de curva más empinado acumula más longitud en la misma anchura.
n: el número de subdivisiones que recibe Simpson. Es el único de estos parámetros que no dice nada sobre la curva: solo decide qué tan bien se aproxima la integral, y la fila Estimación de error es la que informa si fue suficiente.

De dónde viene la fórmula

Toma dos puntos de la curva separados por un pequeño paso Δx. La línea recta entre ellos tiene una longitud de √(Δx² + Δy²). Eso es Pitágoras y no hay nada más en ello.
Extrae Δx fuera de la raíz: √(Δx² + Δy²) = Δx·√(1 + (Δy/Δx)²). La forma de la respuesta final ya resulta visible.
Ahora deja que Δx se reduzca. El cociente Δy/Δx se convierte en la derivada f′(x), de modo que cada cuerda que se desvanece aporta √(1 + f′(x)²) dx.
Súmalas todas: L = ∫ₐᵦ √(1 + f′(x)²) dx, la línea que muestra el panel. El paso 1 también está en pantalla, como la fila Longitud de cuerda —y para una línea recta ambos coinciden exactamente. Configura la función como x en [0, 1] y ambas lecturas darán 1.414214, porque ahí una sola cuerda ya representa toda la curva.

Cómo leer lo que ves

La fila Longitud de cuerda es el paso 1 con un solo segmento, por lo que nunca puede ser el mayor de los dos valores: 4.472136 frente a los 4.646784 de la parábola, y la diferencia entre ambos refleja cuánto se curva esta. Lee Estimación de error con atención, porque no es una distancia a la verdad: imprime |L₂ₙ − Lₙ|, el desacuerdo entre n subdivisiones y 2n, de modo que indica si el método se ha estabilizado, no si ha llegado al lugar correcto.

Supone: Que f sea derivable en [a, b], y que sea en primer lugar una función de x. La regla de Simpson asume más que la fórmula de la longitud de arco: que el integrando es lo suficientemente suave como para ser ajustado mediante parábolas en cada par de subdivisiones.
Falla cuando: Elige frac(x) en [0, 3] y fija los pasos de integración en 400. La gráfica consta de tres segmentos crecientes separados por tres caídas verticales, y en cada caída no existe derivada que la fórmula pueda utilizar. La lectura responde de todos modos: 29.23057, que no es ni los 4.242641 que obtienes al ignorar las caídas ni los 7.242641 que obtienes al contarlas —es el integrador calculando diferencias a través de un salto. Lo único que lo delata es la fila Estimación de error situada debajo, 12.49396, casi la mitad del resultado sobre el que informa. Un solo punto anguloso, por el contrario, apenas cuesta nada: |x| en [−1, 1] devuelve 2.827046 frente al valor exacto 2√2 = 2.828427, porque un solo punto defectuoso dentro de una integral no tiene ningún efecto.

La misma curva, la misma n — y una respuesta es once veces mejor 🖖

Las preselecciones semicircle y sphere usan la misma función en el mismo intervalo con las mismas 800 franjas. Aun así, la longitud de arco sale 3,1705 frente a π = 3,1416, un 0,9 % de error, mientras que el área de superficie sale 12,5559 frente a 4π = 12,5664, solo un 0,08 %. La diferencia está en el integrando: √(1 + f′²) se dispara hasta unos 71 en x = ±1, donde la semicircunferencia se vuelve vertical, y la integral de longitud no tiene nada que lo amortigüe. La de superficie lleva un factor |f(x)| que vale exactamente 0 en esos extremos: multiplica la peor parte de la curva por nada.

Girar una curva hasta formar un sólido 🖖

El segundo modo de esta herramienta actúa como un torno o un torno de alfarero: toma la curva y=f(x) y la hace girar alrededor del eje x para generar una figura 3D. Para hallar su volumen, la herramienta corta el sólido en discos delgados, cada uno un círculo de radio f(x), y los suma. Gira la recta y=x de 0 a 3 y obtienes un cono perfecto de volumen 9π, sin necesidad de ninguna fórmula geométrica, solo la integral.

La trompeta que puedes llenar pero nunca pintar 🖖

Gira y=1/x desde x=1 hasta el infinito alrededor del eje x y obtienes la Trompeta de Torricelli (el Cuerno de Gabriel). Su volumen converge a exactamente π, pero su área de superficie es infinita. Esta «paradoja del pintor» significa que la trompeta contiene π unidades de pintura, pero ninguna cantidad finita podría cubrir jamás su pared interior. Evangelista Torricelli lo descubrió en la década de 1640, antes de que existiera el cálculo formal, y hasta él lo consideró absurdo.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Carga el preajuste esfera y fija el intervalo en a = 0, b = 0.5 — una banda cortada desde el ecuador de la esfera hasta la mitad de su radio. El área de superficie marca 3.141593. Ahora desliza la banda hasta a = 0.4, b = 0.9, manteniendo su altura de 0.5. Predice la nueva área antes de pulsar nada.

Mostrar la respuesta

Sigue siendo 3.141593. Cualquier banda de altura 0.5 encierra exactamente π de superficie, la cortes donde la cortes — [−0.25, 0.25] y [−0.9, −0.4] muestran la misma cifra. El volumen no hace nada parecido: esas bandas contienen 1.439897, 0.87441 y 1.538071. Cerca del polo cada tira de superficie tiene menos perímetro pero más inclinación, y ambos efectos se cancelan exactamente, así que solo sobrevive la altura. Arquímedes lo demostró y pidió una esfera dentro de un cilindro en su tumba — banda a banda, la esfera tiene la misma superficie que el cilindro que apenas la contiene.
La tercera idea de arriba afirma que la trompeta de Gabriel tiene volumen finito y superficie infinita, pero no da ni una cifra. Consíguelas: elige f(x) = 1/x, fija a = 1 y el modo en sólido de revolución, y lee ambos valores en b = 10, luego 100, luego 1000.

Mostrar la respuesta

El volumen recorre 2.827433 → 3.110179 → 3.153626, se acerca a π y gana menos en cada década. La superficie recorre 15.1775 → 29.6451 → 44.1739 — unos 14.5 más cada vez que multiplicas b por diez, y seguirá así para siempre. Lejos, dentro de la trompeta, el integrando de superficie es esencialmente 2π/x, cuya integral es 2π ln b, y 2π ln 10 = 14.47. Lo que gana una cantidad fija por década no tiene límite; lo que gana cada vez menos, sí lo tiene. Desconfía, eso sí, del último volumen: 3.153626 está por encima de π, lo cual es imposible, porque 2000 pasos uniformes no pueden resolver la parte empinada cerca de x = 1 en un intervalo tan largo. El exceso es la malla, no la trompeta.

Problemas resueltos al detalle

La longitud de arco de y = x² de 0 a 2 en forma cerrada 5 pasos
La longitud de arco de y = x² de 0 a 2 es 4,646784. Dedúzcala en forma cerrada y explique después por qué ha tenido suerte. Este es el estado arco de parábola.
1. Plantee la integral. La derivada de x² es 2x, por lo que el integrando contiene 4x² y nada peor.
  
  $L = \int_{0}^{2} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x = \int_{0}^{2} 1 + 4 x^{2} d x$
2. La primitiva de √(1 + 4x²) es estándar: un término algebraico y un seno hiperbólico inverso, que es lo que siempre produce una expresión cuadrática bajo una raíz.
  
  $\int 1 + 4 x^{2} d x = \frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh (2 x) + C$
3. Evalúe en los extremos. El límite inferior no aporta nada, y las dos partes en x = 2 resultan ser 4,1231 y 0,5237.
  
  $L = [\frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh 2 x]_{0}^{2} = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.1231 + 0.5237 = 4.646784$
4. Compare con la recta que une los extremos. La curva es solo un 3,9% más larga que la cuerda en este intervalo, razón por la cual la longitud de arco numérica parece sencilla hasta que deja de serlo.
  
  $chord = (2 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 20 = 4.472136; \frac{L}{chord} = 1.0391$
5. Intente ahora repetir el truco subiendo un grado la potencia. El integrando se convierte en la raíz cuadrada de un polinomio de cuarto grado, y esa es la frontera entre lo elemental y lo elíptico.
  
  $f = x^{3} : \int 1 + 9 x^{4} d x — elliptic, not elementary$
Respuesta

√17 + ¼ arsinh 4, y la suerte es que la parábola es uno de los poquísimos casos que funcionan. Para calcular la longitud de arco hay que integrar √(1 + f′²), y la raíz cuadrada de un polinomio solo es elemental en unos pocos casos. Si se sube una potencia a y = x³, el integrando pasa a ser √(1 + 9x⁴), que es elíptico y no admite expresión en funciones elementales. Lo mismo ocurre con la longitud de arco de una elipse: de ahí proviene el nombre de las integrales elípticas, y por eso el perímetro de una elipse no tiene fórmula mientras que su área tiene una trivial. La parábola se libra porque su derivada es lineal, de modo que 1 + f′² es una expresión cuadrática, y las expresiones cuadráticas bajo una raíz cuadrada son precisamente para lo que se inventó la sustitución por arsinh.

$L = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.646784$
Superficie de 12,55591 y volumen de 4,18879 del semicírculo unitario 6 pasos
Al hacer girar la semicircunferencia unidad, el panel proporciona una superficie de 12,55591 y un volumen de 4,18879. Uno de ellos es exacto hasta seis cifras y el otro tiene un error del 0,083%. Determine cuál es cuál y por qué. Este es el estado esfera por revolución.
1. Escriba la función y su derivada. De la derivada es de donde van a venir los problemas, y ya salta a la vista: el denominador se anula en ambos extremos.
  
  $f (x) = 1 - x^{2}, f^{'} (x) = \frac{- x}{1 - x ^{2}}, 1 + (f^{'})^{2} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$
2. Forme ahora el integrando de la superficie. El factor que tiende a infinito y el factor que se anula son inversos, y se simplifican por completo.
  
  $2 π f 1 + (f^{'})^{2} = 2 π 1 - x^{2} \cdot \frac{1}{1 - x ^{2}} = 2 π — a constant$
3. Integrar una constante en un intervalo de longitud 2 no requiere cálculo. La respuesta es 4π, y no depende de cómo se haya cortado la esfera, que es el contenido del resultado de Arquímedes.
  
  $S = \int_{- 1}^{1} 2 π d x = 4 π = 12.566371 (Archimedes: sphere = its cylinder’s side)$
4. El volumen es una integral polinómica ordinaria, y es la que la regla de Simpson calcula bien hasta el último dígito que muestra.
  
  $V = \int_{- 1}^{1} π (1 - x^{2}) d x = π [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{4 π}{3} = 4.18879$
5. Compare la superficie mostrada con 4π. La diferencia por defecto es pequeña, pero no es un redondeo: es un defecto sistemático concentrado en los dos polos.
  
  $printed S = 12.55591 : \frac{4 π - 12.55591}{4 π} = 0.083% low, while V is exact to 6 figures$
6. La causa está en el paso 1. La simplificación exacta no está al alcance de una rutina que solo evalúa valores.
  
  $f^{'} (\pm 1) \to \infty : the integrand is constant only in exact arithmetic; sampled, the poles misbehave$
Respuesta

El volumen es exacto y la superficie se queda corta en un 0,083%, porque el integrando de la superficie es una constante que el integrador no puede ver. Al calcularlo a mano ocurre algo sorprendente: √(1 + f′²) es 1/√(1 − x²), y se simplifica exactamente con el √(1 − x²) que tiene delante, dejando 2π. El integrando es constante, la integral es 4π, y ese es el teorema de Arquímedes: una esfera tiene la misma superficie que la cara lateral del cilindro que la circunscribe, el cual mandó grabar en su tumba. Sin embargo, desde el punto de vista numérico, f′ tiende a infinito en x = ±1, y la regla de Simpson evalúa una función que vale 2π en todas partes excepto en dos puntos donde la aritmética se desmorona. El integrando del volumen es π(1 − x²), un polinomio en toda regla, y Simpson integra los polinomios exactamente. La propia estimación del error del panel, 0,005, indica de cuál de las dos respuestas hay que fiarse.

$S = 4 π exactly, because the integrand is 2 π; V = \frac{4 π}{3}$

Referencias (1)

Insight block 3 — Gabriel's Horn, and how strange it looked at the time: P. Mancosu and E. Vailati, "Torricelli's Infinitely Long Solid and Its Philosophical Reception in the Seventeenth Century." Isis 82(1), 50–70, 1991.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-15

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

arco de parábola - La longitud de arco de y=x^2 en [0,2] es mayor que la de la cuerda recta.
arco de semicírculo - El arco de la semicircunferencia en [-1,1] se aproxima a pi, como se espera.
esfera por revolución - Al girar una semicircunferencia alrededor del eje x se obtienen valores tipo esfera de 4pi y 4pi/3.
cono por revolución - Al girar y=x en [0,3] se obtiene un cono con volumen analítico 9pi.