Campo de pendientes y solucionador de EDO

Lee una ecuación diferencial de primer orden como un campo de pequeñas líneas tangentes. Haz clic en la gráfica para añadir condiciones iniciales y trazar las curvas solución correspondientes.

Ejemplo resuelto — Campo de pendientes y solucionador de EDO

Ecuación	y
Marcas de pendiente	441
Marcas de pendiente (cómo)	441; 441 finite
Mayor \|pendiente\| finita	3
Curvas solución	0
Condiciones iniciales	aún ninguna

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Campo de pendientes y solucionador de EDO

Una ecuación diferencial de primer orden dy/dx = f(x,y) nunca indica qué es y. Indica a qué ritmo cambia y en cada punto. Una solución es cualquier curva cuya pendiente en cada punto sea igual a f en ese punto — y existe toda una familia de ellas, una que pasa por cada punto inicial.

Qué significa cada símbolo

dy/dx: la pendiente de una curva solución — la cantidad que prescribe la ecuación, en lugar de aquella para la que se resuelve.
f(x,y): el lado derecho: una regla que devuelve una pendiente para cualquier punto. Los cinco preajustes aquí son y, x*y, -y/x, y*(1-y) y x^2-y.
(x₀,y₀): una condición inicial — un punto por el que la solución debe pasar. Es lo que selecciona una única curva de entre la familia, y es lo que proporciona un clic en el gráfico.

Cómo leer lo que ves

El panel cuenta lo que se ha dibujado en lugar de describirlo: 21 x 21 = 441 marcas de pendiente en la cuadrícula predeterminada, la mayor pendiente finita actualmente visible, la ventana del gráfico y cuántas curvas solución has iniciado. Cada clic añade una condición inicial, y el resolutor RK4 traza la curva correspondiente tanto hacia adelante como hacia atrás en x.

Supone: Que la ecuación es de primer orden y ya está despejada para dy/dx, y que f devuelve exactamente una pendiente por punto. La cuadrícula es una muestra del campo, no el campo en sí — aumentar la densidad dibuja más marcas sin cambiar ni una sola solución.
Falla cuando: Elige -y/x y el contador cambiará a 421 finite, 20 vertical/singular. Esos son los puntos de la cuadrícula situados sobre el eje y, donde x = 0 deja la pendiente indefinida: allí el campo carece genuinamente de dirección y ninguna curva solución lo cruza. Un campo de pendientes tampoco puede mostrarte dónde una solución se escapa al infinito para un x finito — la imagen permanece perfectamente tranquila mientras que la solución no lo hace.

El dibujo responde a la ecuación sin resolverla nunca 🖖

Un campo de pendientes representa una ecuación diferencial ordinaria de primer orden dy/dx = f(x,y) dibujando segmentos de línea con pendiente f(x,y) en una cuadrícula. Esto proporciona una visualización geométrica del flujo de las curvas de solución sin resolver analíticamente, mostrando equilibrios y nodos.

Seguir las flechas sin resolver nada 🖖

Imagina el campo de pendientes como pequeñas señales: en cada punto, una indica hacia dónde debe dirigirse una solución. Una curva solución simplemente sigue esas direcciones, como una hoja que se desliza en una corriente. Como cada punto tiene una única dirección, elegir un punto de partida (una condición inicial) fija una sola curva: haz clic en cualquier lugar y la herramienta traza ese camino único.

RK4 se convierte en la regla de Simpson 🖖

El método RK4 que usa la herramienta evalúa la pendiente cuatro veces por paso y las combina con pesos 1:2:2:1. Cuando tu ecuación es simplemente dy/dx = f(x), sin y en el lado derecho, esa combinación coincide exactamente con la regla de Simpson para integrar: h/6·(f₀ + 4f_m + f₁). Así que resolver numéricamente una EDO y calcular una integral definida son, en este caso, el mismo cálculo.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

El preajuste hipérbolas resuelve y′ = −y/x e informa de una «mayor |pendiente| finita» de 10. Sube la densidad de rejilla a 30 y vuelve a leer esa fila — y haz lo mismo en los preajustes exponencial y parábolas.

Mostrar la respuesta

En hipérbolas la fila recorre 5 → 10 → 15 para densidades 10, 20 y 30. En exponencial se queda en 3 y en parábolas en 11, hagas lo que hagas. Para un campo singular esa fila describe tu rejilla, no la ecuación: −y/x no tiene pendiente máxima alguna, porque se dispara al infinito cuando x → 0, así que la herramienta solo puede informar de la marca más empinada en la que le tocó caer. La columna más cercana al eje está en 8/densidad, de modo que con densidad 20 es x = 0.4, y 4/0.4 = 10 — el número en pantalla. Las 20 marcas señaladas como verticales son toda la columna x = 0, donde la pendiente no es un número. Los otros dos campos sí están acotados en sus ventanas, así que la rejilla encuentra el mismo máximo siempre.
El preajuste logístico resuelve y′ = y(1−y), cuyo crecimiento es célebremente más rápido en y = 1/2, donde la tasa vale 0.25. El panel informa de una mayor |pendiente| de 0.75. ¿Dónde está encontrando una pendiente tres veces más empinada?

Mostrar la respuesta

Fuera de la población. La ventana del preajuste va de y = −0.5 a 1.5, y en y = −0.5 la tasa es (−0.5)(1.5) = −0.75 — más empinada que nada de lo que hay entre las rectas de equilibrio, y decreciente, ya que la fila informa del valor absoluto. Pon y min en 0 e y max en 1 y la fila cae a 0.25, hallada en y = 0.5, donde la biología la coloca. Ni siquiera hace falta ser tan estricto: de −0.2 a 1.2 también da 0.25, porque (−0.2)(1.2) son solo 0.24. El número famoso describe una población logística; el panel describe el rectángulo que le pediste dibujar.

Problemas resueltos al detalle

La familia de curvas para y′ = −y/x 6 pasos
y′ = −y/x, en −4 ≤ x ≤ 4 y −4 ≤ y ≤ 4, con una densidad de cuadrícula de 20. Antes de dibujar una sola curva solución, cuente a cuántas de las marcas se les puede asignar una pendiente, halle la más empinada y, a continuación, determine de qué familia de curvas consta el campo.
1. La cuadrícula tiene un ancho de 20 intervalos, lo que equivale a 21 líneas de muestreo, no 20 (los extremos cuentan). Por tanto, una ventana de 8 unidades de ancho toma muestras cada 0,4, y el mismo espaciado se aplica en vertical.
  
  $Δ x = Δ y = \frac{8}{20} = 0.4, 21 \times 21 = 441$
2. Como 21 es impar, una línea de muestreo cae exactamente en el centro de la ventana, y el centro de esta ventana es x = 0. En esa columna es donde el miembro derecho tiene un cero en el denominador.
  
  $x_{i} = - 4 + 0.4 i, i = 0, 1, \dots, 20 ⟹ x_{10} = 0$
3. En esa columna, cada punto con y ≠ 0 da un cociente sin valor: una dirección, dibujada en vertical, pero ningún número que ofrecer. Eso ocurre en 20 de los 21 puntos. El último es el origen, donde la razón es 0/0 y la herramienta lo resuelve dibujando la marca en horizontal —una elección, no una consecuencia, y esa es la razón por la que el recuento finito resulta ser 421 en lugar de 420.
  
  $y^{'} = - \frac{y}{x}, x = 0, y \neq = 0 : ∣ y^{'} ∣ = \infty (20), 441 - 20 = 421$
4. La inclinación es |y|/|x|, por lo que la marca más empinada es el punto más alto sobre la columna no nula más estrecha: 4 dividido entre 0,4. Las marcas de valor máximo se sitúan inmediatamente al lado de la línea singular, lo cual es lo único interesante que tienen.
  
  $∣ y^{'} ∣ = \frac{∣ y ∣}{∣ x ∣} \leq \frac{4}{0.4} = 10 (∣ y ∣_{m a x} = 4, ∣ x ∣_{m i n \neq = 0} = 0.4)$
5. Pasemos a las curvas en sí. La ecuación es de variables separables, e integrar ambos lados transforma una suma de logaritmos en un producto: xy es constante a lo largo de cada solución, por lo que la familia es la de las hipérbolas equiláteras.
  
  $\frac{d y}{y} = - \frac{d x}{x} ⟹ ln ∣ y ∣ + ln ∣ x ∣ = c ⟹ x y = C$
6. Compruébelo en el punto (1, 2), donde la marca tiene una pendiente de −2. La hipérbola xy = 2 que pasa por ese punto tiene pendiente −2 en él, de modo que encaja. La circunferencia x² + y² = 5 que pasa por el mismo punto tiene pendiente −x/y = −0,5, por lo que no encaja; la condición de perpendicularidad al radio corresponde a la ecuación y′ = −x/y, con la x y la y del revés.
  
  $(1, 2) : y^{'} = - 2; x y = 2 \Rightarrow y^{'} = - \frac{2}{x ^{2}} = - 2; x^{2} + y^{2} = 5 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y} = - 0.5$
Respuesta

421 marcas finitas, 20 verticales y una pendiente máxima de 10. Solo dos de esos tres datos dicen algo sobre la ecuación diferencial. Rehaga este último cálculo dejando la cuadrícula expresada como símbolo y la pendiente más empinada que la cuadrícula puede detectar es 4 dividido entre 8/d, es decir, d/2: el número es simplemente la mitad del valor de densidad fijado. La ecuación no tiene ninguna pendiente máxima; |y′| crece sin límite cuando x → 0, y el panel muestra con qué nivel de detalle ha observado, no lo empinado que llega a ser el campo. Con una densidad de 21, el efecto es aún más marcado: 22 líneas de muestreo por lado se sitúan a ambos lados de x = 0 en lugar de caer encima, de modo que las 484 marcas resultan finitas y la columna singular desaparece del recuento, mientras sigue siendo exactamente igual de singular que antes.

$∣ y^{'} ∣_{m a x} = \frac{∣ y ∣ _{m a x}}{Δ x} = \frac{4}{8/ d} = \frac{d}{2}$
Una solución que pasa por y = 0,1 para y′ = y(1 − y) 6 pasos
y′ = y(1 − y), dibujado en −2 ≤ x ≤ 6 y −0,5 ≤ y ≤ 1,5, con una densidad de cuadrícula de 20. Sin resolver nada, indique dónde el campo es horizontal, hacia dónde debe ir una solución que pasa por y = 0,1 y en qué lugar de esta ventana las marcas son más empinadas. A continuación, ponga cifra a la duración de la subida.
1. Una marca es horizontal exactamente donde el miembro derecho se anula, y un producto se anula solo cuando lo hace alguno de sus factores. Hay dos valores, y cada uno de ellos es una solución por derecho propio: las funciones constantes y ≡ 0 e y ≡ 1 satisfacen la ecuación para todo x.
  
  $y^{'} = y (1 - y) = 0 ⟺ y \in {0, 1}$
2. Ambas caen sobre líneas de muestreo. Los 21 valores de y comienzan en −0,5 y avanzan en pasos de 0,1, de modo que 0 y 1 se encuentran entre ellos y las dos filas horizontales quedan efectivamente dibujadas, en lugar de estar meramente implícitas por las inclinaciones a cada lado.
  
  $y_{j} = - 0.5 + \frac{2 j}{20} = - 0.5 + 0.1 j : y_{5} = 0, y_{15} = 1, 21 \times 21 = 441$
3. Entre las filas horizontales ambos factores son positivos, por lo que todas las marcas se inclinan hacia arriba; fuera de ellas, uno de los factores ha cambiado de signo y las marcas se inclinan hacia abajo. Una solución que comienza en 0,1 asciende y nunca puede alcanzar el 1: para cruzar esa línea tendría que atravesar la solución constante situada sobre ella, y dos soluciones de esta ecuación no pueden cruzarse.
  
  $0 < y < 1 : y^{'} > 0; y < 0 \lor y > 1 : y^{'} < 0$
4. Ser creciente y estar acotada no equivale a ser estable, de modo que perturbe ligeramente cada equilibrio y observe el signo. Justo por encima de 0, la pendiente es de aproximadamente +ε y aleja la curva; justo por encima de 1, es de aproximadamente −ε y la empuja hacia atrás. Una ecuación, dos líneas horizontales, conclusiones opuestas.
  
  $y = ε : y^{'} \approx + ε; y = 1 + ε : y^{'} \approx - ε$
5. Las marcas más empinadas no están donde se produce el crecimiento. Dentro de 0 ≤ y ≤ 1, el cambio más rápido se da en y = 0,5 y vale 0,25, pero la ventana se extiende hasta −0,5 y 1,5, donde el producto es −0,75: tres veces más empinado, en valores de población sobre los que el modelo no versa.
  
  $0 \leq y \leq 1 max ∣ y^{'} ∣ = 0.25; y = - 0.5 \lor y = 1.5 : ∣ y^{'} ∣ = 0.75$
6. Hay una magnitud que rectifica la curva. Derive el logaritmo del odds y/(1 − y): la regla de la cadena produce exactamente el factor y(1 − y) que suministra la ecuación, ambos se cancelan y lo que queda crece a un ritmo constante de 1.
  
  $\frac{d}{d x} ln \frac{y}{1 - y} = \frac{y ^{'}}{y ( 1 - y )} = 1$
Respuesta

Dos equilibrios, 0 repulsor y 1 atractor, y un |slope| máximo de 0,75 que queda totalmente fuera de 0 ≤ y ≤ 1. El último paso es el fundamental. El log-odds avanza exactamente a razón de 1 por unidad de x, por lo que el aumento del 10% al 90% requiere ln(9 ÷ 1/9) = ln 81 = 4,394 en x, sea cual sea el valor inicial. Nada en el panel imprime ese dato, y es el número que realmente quiere quien modeliza: no la altura de la curva, sino la longitud de su transición, determinada únicamente por la tasa de crecimiento. Esta ventana tiene un ancho de 8, por lo que una solución que entra cerca de cero por la izquierda pasa algo más de la mitad realizando todo el ascenso y el resto manteniéndose horizontal pegada a y = 1.

$Δ x = ln \frac{9}{1/9} = ln 81 = 4.394$

Referencias (1)

Direction fields, initial-value problems and when a solution is guaranteed to exist: W. E. Boyce & R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 10th ed. John Wiley & Sons, 2012. ISBN 978-0-470-45831-0.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-25

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

y' = y - Hay 441 marcas, horizontales a lo largo de y = 0 y más empinadas en las esquinas, donde la pendiente es 3. Esa fila horizontal es una solución en sí misma y ninguna curva la atraviesa. Por lo tanto, el signo de tu primer clic decide si la curva asciende o desciende. Nada de lo que hagas después podrá cambiarlo.
Logística - Verás marcas horizontales a lo largo de dos rectas, y = 0 e y = 1. Ambas son soluciones. Cualquier curva que inicie entre ellas queda atrapada y debe tender a 1. La mayor pendiente de la cuadrícula, 0,75, no pertenece en absoluto a esa curva en S. Se encuentra en y = −0,5, por debajo de la solución inferior.
Hipérbolas - El contador se divide en 421 marcas finitas y 20 verticales: la columna en x = 0, donde −y/x carece de valor. Ahora ajusta la densidad de 20 a 21. Verás 484 marcas finitas y ninguna singular. La cuadrícula ha dejado de caer sobre el eje. La singularidad no se movió; simplemente el muestreo la pasó por alto.
Parábolas - Las marcas horizontales trazan la parábola y = x². Toda solución la cruza de forma horizontal. La parábola en sí no es una solución. Sobre ella, la ecuación exige una pendiente de 0, pero la curva tiene una pendiente de 2x. La marca más pronunciada, 11, corresponde a la esquina inferior izquierda.