Explorador de Ondas Estacionarias

Una cuerda de 1 m, fija en ambos extremos, por la que se propagan ondas a 343 m/s. Halla su nota más grave; a continuación, calcula en sentido inverso la tensión que produce esa velocidad de onda y el tono que ninguna cuerda de acero de esta longitud podrá alcanzar jamás. Esto es Fijo-Fijo con L = 1 m, v = 343 m/s y n = 1.

1. Ambos extremos se mantienen inmóviles, de modo que cualquier patrón que perdure debe situar un nodo en ellos. Eso admite un número entero de semilongitudes de onda y ningún valor intermedio, razón por la cual la cuerda posee una lista de notas permitidas en lugar de un intervalo continuo.

   $$L=n\frac{{\lambda }_n}{2}⟹{\lambda }_n=\frac{2L}{n}=\frac{2\times 1}{1}=2.0000\mathrm{m}$$

2. La frecuencia es la velocidad dividida entre la longitud de onda, y ninguno de estos dos factores es un dato nuevo aquí. La condición de contorno fija la longitud de onda y el medio proporciona la velocidad.

   $$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{343}{2.0000}=171.50\mathrm{Hz}$$

3. El período es el inverso de la frecuencia, pero también es 2L/v: el tiempo que tarda un pulso en ir hasta el extremo opuesto y volver. Una onda estacionaria es un viaje de ida y vuelta que regresa en fase consigo misma, por lo que su período es la duración de ese trayecto.

   $$T=\frac{1}{f_1}=5.831\times 10^{-3}\mathrm{s}=\frac{2L}{v}=\frac{2}{343}$$

4. La velocidad de onda en una cuerda no se establece directamente; proviene de dividir la tensión entre la masa por unidad de longitud. Para un hilo de acero de 0,30 mm, la densidad lineal se obtiene a partir de la densidad del material y de la sección transversal, y al invertir v = √(F_T/μ) se obtienen 65 N sobre el hilo: 6,7 kilogramos de tiro, lo cual es el orden de magnitud adecuado para una cuerda lisa de guitarra de acero.

   $$\mu =\rho \frac{\pi d^2}{4}=7850\times \frac{\pi (3.0\times 10^{-4}{)}^2}{4}=5.549\times 10^{-4}kg/m,v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}⟹F_T=\mu v^2=65.3\mathrm{N}$$

5. Ahora divide esa tensión entre la sección transversal para obtener el esfuerzo, y observa cómo desaparece el diámetro. Tanto μ como A contienen d², de modo que, para una velocidad de onda dada, el esfuerzo es ρv² y depende únicamente del material. El alambre de música de alto carbono rompe cerca de 2,2 × 10⁹ Pa, por lo que un límite superior en el esfuerzo representa asimismo un límite superior en la velocidad.

   $$\sigma =\frac{F_T}{A}=\frac{\rho A{v}^2}{A}=\rho v^2=9.24\times 10^8\mathrm{Pa};{\sigma }_{\max }\approx 2.2\times 10^9⟹v_{\max }=\sqrt{\frac{{\sigma }_{\max }}{\rho }}=529m/s,f_{\max }=\frac{v_{\max }}{2L}=265\mathrm{Hz}$$