Laboratorio de resonancia MAS

Ajusta la masa, la constante del resorte, el amortiguamiento y la frecuencia de excitación para ver la resonancia, el desfase y la amplificación de amplitud en tiempo real.

Ejemplo resuelto — Laboratorio de resonancia MAS

Desfase φ	1.5708 rad≈90.0∘

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un mismo número fija cuánto crece y cuánto tarda 🖖

Las dos configuraciones con excitación son idénticas salvo por el ritmo: la misma masa, el mismo resorte, el mismo amortiguamiento y la misma fuerza de 1,2. Solo cambia la frecuencia de excitación, de 4,00 a 2,2 rad/s. Basta eso para que el valor de amplificación M pase de 6,667 a 1,424, un factor de 4,68. En resonancia, M es exactamente 1/(2ζ); aquí, un desplazamiento estático de 0,0750 m se convierte en una oscilación de 0,5000 m. Ese mismo 1/(2ζ) también determina la espera. La envolvente crece con una constante de tiempo de 3,333 s, frente a un período de 1,571 s, por lo que tarda unas 6,4 oscilaciones en alcanzar el 95% de la amplitud máxima: casi el mismo valor que 6,667. Una resonancia que multiplica la amplitud por cien necesita aproximadamente cien oscilaciones para alcanzarla. Por eso, para hacer vibrar una copa de vino hay que sostener la nota, no gritarla.

La resonancia es cuestión de sincronía 🖖

Esta herramienta trata en el fondo de sincronía. Toda masa en un resorte tiene una frecuencia natural ω₀ a la que 'prefiere' oscilar. Empújala con ese ritmo — como impulsar un columpio en el momento justo — y cada pequeño empujón añade energía, de modo que la amplitud X crece mucho más de lo que lograría una fuerza constante. La magnificación M mide ese aumento, y solo el amortiguamiento evita que se dispare. En resonancia, el movimiento va retrasado 90° respecto a la fuerza.

El pico está por debajo de la frecuencia natural 🖖

Al trazar la curva de resonancia esperarías su punto más alto en ω = ω₀. No es así: la amplitud de desplazamiento alcanza su máximo un poco más abajo, en ω_r = ω₀√(1 − 2ζ²). Y más curioso aún: cuando la razón de amortiguamiento supera ζ = 1/√2 ≈ 0,707 — mucho antes del amortiguamiento crítico en ζ = 1 — ese pico desaparece por completo y la curva solo baja. Un sistema puede estar poco amortiguado y aun así no tener pico resonante.

OSCILADORES — CUÁNTO AMORTIGUAMIENTO Y SI LO EXCITAS EN SU PROPIA FRECUENCIA

¿Cuál es tu caso de oscilador?

Dos preguntas fijan el comportamiento de cualquier masa en un muelle. Primera: ¿cómo se compara el amortiguamiento c con el valor crítico 2√(mk)? Por debajo el sistema oscila, justo en él vuelve al reposo lo antes posible sin pasarse, por encima regresa arrastrándose. Segunda: ¿lo está empujando algo? Un oscilador forzado tiene su propia respuesta, y depende de lo cerca que esté la frecuencia de excitación de ω₀ = √(k/m).

Sin amortiguamiento — oscila para siempre c = 0, ω₀ = √(k/m)

Amortiguamiento crítico — vuelve al reposo lo antes posible sin pasarse c = 2√(mk)

Sobreamortiguado — sin oscilación, pero lento c > 2√(mk)

Excitado en resonancia — empujón pequeño, amplitud grande ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Excitado fuera de resonancia — la misma fuerza hace mucho menos ω ≠ ω₀

Sin amortiguamiento — oscila para siempre

Qué sabes: c = 0 y nada lo excita. La energía solo va y viene entre el muelle y la masa, y la amplitud no cambia nunca.

Amortiguamiento: c = 0, ω₀ = √(k/m)

Ejemplo resuelto: m = 1 kg, k = 16 N/m → ω₀ = √(k/m) = 4 rad/s, periodo de 1,57 s y la misma amplitud en cada vaivén

Abrir este caso: Libre sin amortiguar

Sin amortiguamiento — oscila para siempre. Sin amortiguar: una sinusoide pura en ω₀, idéntica de un ciclo al siguiente. c = 0 y nada lo excita. La energía solo va y viene entre el muelle y la masa, y la amplitud no cambia nunca. — Sin amortiguar: una sinusoide pura en ω₀, idéntica de un ciclo al siguiente.

Amortiguamiento crítico — vuelve al reposo lo antes posible sin pasarse

Qué sabes: c vale exactamente 2√(mk). El sistema regresa al equilibrio en el menor tiempo posible y nunca lo cruza.

Amortiguamiento: c = 2√(mk)

Ejemplo resuelto: m = 1, k = 16 → c crítico = 2√16 = 8 N·s/m. Con c = 8 el desplazamiento decae a cero sin una sola oscilación

Abrir este caso: Amortiguamiento crítico

Amortiguamiento crítico — vuelve al reposo lo antes posible sin pasarse. Críticamente amortiguado: el retorno más corto que nunca cruza la línea. c vale exactamente 2√(mk). El sistema regresa al equilibrio en el menor tiempo posible y nunca lo cruza. — Críticamente amortiguado: el retorno más corto que nunca cruza la línea.

Sobreamortiguado — sin oscilación, pero lento

Qué sabes: c es mayor que 2√(mk). Ambas soluciones decaen exponencialmente y la más lenta domina el regreso.

Amortiguamiento: c > 2√(mk)

Ejemplo resuelto: Sube c por encima de 8 con m = 1 y k = 16: en c = 20 el sistema tarda varias veces más en asentarse que con c = 8

Abre el caso crítico y sube c por encima de 8

Sobreamortiguado — sin oscilación, pero lento. Sobreamortiguado: no cruza, pero el regreso se alarga mucho más que en el caso crítico. c es mayor que 2√(mk). Ambas soluciones decaen exponencialmente y la más lenta domina el regreso. — Sobreamortiguado: no cruza, pero el regreso se alarga mucho más que en el caso crítico.

Excitado en resonancia — empujón pequeño, amplitud grande

Qué sabes: Una fuerza periódica con ω ≈ ω₀ y amortiguamiento ligero. La amplitud estacionaria la fija solo el amortiguamiento, no la rigidez.

Amortiguamiento: ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Ejemplo resuelto: F₀ = 1,2 N a ω = 4 rad/s con c = 0,6 → amplitud 0,50 m frente a una deflexión estática F₀/k = 0,075 m: una amplificación de 6,7

Abrir este caso: Cerca de la resonancia

Excitado en resonancia — empujón pequeño, amplitud grande. En ω = ω₀ la respuesta se eleva muy por encima de la deflexión estática. Una fuerza periódica con ω ≈ ω₀ y amortiguamiento ligero. La amplitud estacionaria la fija solo el amortiguamiento, no la rigidez. — En ω = ω₀ la respuesta se eleva muy por encima de la deflexión estática.

Excitado fuera de resonancia — la misma fuerza hace mucho menos

Qué sabes: La misma fuerza y el mismo amortiguamiento, pero la frecuencia de excitación está lejos de ω₀. La respuesta cae bruscamente a ambos lados.

Amortiguamiento: ω ≠ ω₀

Ejemplo resuelto: La misma F₀ = 1,2 N a ω = 2,2 en vez de 4 → amplitud 0,107 m, aproximadamente un quinto de la respuesta en resonancia

Abrir este caso: Fuera de resonancia

Excitado fuera de resonancia — la misma fuerza hace mucho menos. Aleja la excitación de ω₀ y la misma fuerza produce una fracción del movimiento. La misma fuerza y el mismo amortiguamiento, pero la frecuencia de excitación está lejos de ω₀. La respuesta cae bruscamente a ambos lados. — Aleja la excitación de ω₀ y la misma fuerza produce una fracción del movimiento.

Problemas resueltos al detalle

1 kg en un muelle de 16 N/m forzado a 4 rad/s 5 pasos
1 kg en un muelle de 16 N/m con un amortiguador de 0,6 N·s/m, excitado por una fuerza de 1,2 N a 4 rad/s. Calcule la amplitud en régimen permanente y el desfase; a continuación, indique cuál de los cuatro datos de entrada determina realmente la respuesta.
1. Dos de los cinco datos de entrada fijan la frecuencia propia del sistema. La excitación coincide exactamente con esa frecuencia, por lo que la razón r es exactamente 1, y esta sola coincidencia es la que hace que todo lo demás se comporte de forma peculiar.
  
  $ω_{0} = \frac{k}{m} = \frac{16}{1} = 4 rad/s; r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{4}{4} = 1$
2. El coeficiente de amortiguamiento mide c frente al valor crítico 2√(km) = 8 N·s/m. Con 0,6, el sistema funciona al 7,5% del valor crítico: ligeramente amortiguado, libre para oscilar.
  
  $ζ = \frac{c}{2 k m} = \frac{0.6}{2 16} = \frac{0.6}{8} = 0.075$
3. La amplificación contiene dos términos bajo la raíz: un término de rigidez y un término de amortiguamiento. Con r = 1, el término de rigidez es exactamente cero, porque la fuerza del muelle y la fuerza de inercia se anulan mutuamente por completo. Solo queda el amortiguador para oponerse a la excitación.
  
  $M = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}} r = 1 \frac{1}{2 ζ} = \frac{1}{0.15} = 6.667$
4. Escale la deformación estática F₀/k = 0,075 m por ese factor.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = \frac{1.2}{16} \times 6.667 = 0.075 \times 6.667 = 0.5 m$
5. El desfase equivale a esos mismos dos términos interpretados como un ángulo en lugar de una longitud. Con el término de rigidez en cero, la arcotangente da un cuarto de vuelta sea cual sea ζ: un sistema muy amortiguado y otro apenas amortiguado se desfasan exactamente 90° en este punto.
  
  $ϕ = atan2 (2 ζ r, 1 - r^{2}) = atan2 (0.15, 0) = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 90. 0^{\circ}$
Respuesta

X = 0,5 m, un cuarto de ciclo por detrás de la fuerza, y el dato de entrada que determina toda la respuesta es c. Reescriba la amplitud en resonancia y tanto k como m se cancelan: X = F₀/(cω₀) = 1,2/(0,6 × 4) = 0,5 m. El muelle y la masa se dedican a intercambiarse energía mutuamente, y ninguno de los dos influye en la amplitud de la oscilación. El desfase de 90° es la razón. Una fuerza en fase con la velocidad aporta potencia de forma continua, de modo que el régimen permanente se establece allí donde el amortiguador disipa energía exactamente a la misma velocidad con la que la aporta la excitación: entrada media F₀ωX/2 = 1,2 W frente a la disipación media cω²X²/2 = 1,2 W, y ambas son iguales en X = 0,5 m y en ningún otro sitio. Si se calcula ese mismo balance por ciclo, vuelve a aparecer 6,667 a partir de una definición independiente: el sistema almacena kX²/2 = 2 J y pierde 1,885 J en cada período, y 2π × 2/1,885 = 6,667. La amplificación y el factor de calidad son el mismo número con dos nombres distintos.

$X = \frac{F _{0}}{k} \cdot \frac{1}{2 ζ} = \frac{F _{0}}{c ω _{0}} = \frac{1.2}{0.6 \times 4} = 0.5 m$
Misma masa y mismo muelle forzados a 2,2 rad/s en lugar de 4 5 pasos
Misma masa, mismo muelle, mismo amortiguador, misma fuerza de 1,2 N; excitado ahora a 2,2 rad/s en lugar de 4. Halle la amplitud y el desfase, y decida si el amortiguador sigue siendo relevante.
1. Solo ha cambiado la frecuencia de excitación, por lo que ζ no se altera y r desciende a 0,55.
  
  $r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{2.2}{4} = 0.55, ζ = \frac{0.6}{8} = 0.075$
2. Escriba por separado los dos términos bajo la raíz, ya que sus tamaños relativos son la respuesta a la pregunta. El término de amortiguamiento aporta 0,00681 frente a 0,48651, un 1,4% del total.
  
  $(1 - r^{2})^{2} = (1 - 0.3025)^{2} = 0.697 5^{2} = 0.48651; (2 ζ r)^{2} = 0.082 5^{2} = 0.00681$
3. Súmelos e invierta el resultado.
  
  $M = \frac{1}{0.48651 + 0.00681} = \frac{1}{0.49331} = \frac{1}{0.70236} = 1.424$
4. Misma deformación estática, mucha menos amplificación.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = 0.075 \times 1.424 = 0.1068 m$
5. El desfase depende de los mismos dos términos y, al volver a predominar el término de rigidez, se reduce de 90° a 6,7°: la masa ahora se mueve casi al mismo tiempo que la fuerza, en lugar de ir un cuarto de ciclo por detrás.
  
  $ϕ = atan2 (0.0825, 0.6975) = 0.1177 rad = 6. 7^{\circ}$
Respuesta

0,1068 m, 6,7° por detrás de la fuerza, y no, el amortiguador ha dejado de ser relevante. Elimínelo: fije c = 0 y M pasa a ser 1/(1 - r²) = 1,4337, lo que da 0,1075 m. Eso supone un error de 0,7 mm en una oscilación de 107 mm, o un 0,7%. La magnitud que determinaba toda la respuesta a 4 rad/s es un error de redondeo a 2,2; y con r = 1 la misma eliminación habría llevado la amplitud al infinito. En su lugar predomina el término de rigidez, y conviene ser precisos sobre lo que eso significa: la deformación estática F₀/k = 0,075 m se queda un 30% por debajo de la oscilación real de la masa. Excitar lentamente no es lo mismo que excitar de forma estática. Para que 1/(1 - r²) se mantenga a menos de un 5% de 1 se necesita que r esté por debajo de 0,22, lo que en este muelle significa mantener la excitación por debajo de 0,873 rad/s; y solo ahí el muelle por sí solo determina la respuesta.

$M (c = 0) = \frac{1}{1 - r ^{2}} = \frac{1}{0.6975} = 1.4337 (+ 0.7%); r = 1 : M (c = 0) \to \infty$

Ruta de aprendizaje

De un resorte a una onda estacionaria

Lleva a Interferencia lo que estas dos magnitudes le hacen a un reloj.

Referencias (2)

The textbook example of resonance that is not resonance: K. Y. Billah and R. H. Scanlan, "Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks." American Journal of Physics 59(2), 118–124, 1991 — the bridge failed by aeroelastic flutter, a self-excited instability, not by a periodic gust matching a natural frequency.
The driven oscillator, its phase lag and its Q, worked through: A. P. French, Vibrations and Waves, Chapter 4: Forced vibrations and resonance. W. W. Norton, 1971.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-29

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Libre sin amortiguar - Sin amortiguamiento, ζ = 0, así que la oscilación a ω₀ = 4 rad/s nunca decae. El período es de 1,571 s y la energía pasa indefinidamente del resorte a la masa y viceversa.
Amortiguamiento crítico - c = 8 es exactamente 2√(km), por lo que ζ = 1: amortiguamiento crítico. El sistema vuelve al reposo sin sobrepasar la posición de equilibrio y en el menor tiempo posible, con una constante de tiempo de 0,250 s.
Cerca de la resonancia - La excitación tiene exactamente la frecuencia ω₀ = 4 rad/s y ζ = 0,075, por lo que M = 6,667, es decir, 1/(2ζ). Así, un desplazamiento estático de 0,0750 m se convierte en una oscilación de 0,5000 m, con un desfase de 90° respecto de la fuerza.
Fuera de resonancia - El mismo sistema, excitado a 2,2 rad/s en lugar de 4: M baja de 6,667 a 1,424 y el desfase, de 90° a 6,7°. Solo ha cambiado el ritmo.