Construcciones con regla y compás

Dos herramientas y nada más: una regla no graduada que traza una recta por dos puntos, y un compás que dibuja una circunferencia con centro en un punto y que pasa por otro. Reproduce las construcciones clásicas paso a paso, comprueba qué polígonos regulares y qué trisecciones son posibles, o construye algo tú mismo. La tabla debajo del dibujo calcula las longitudes y el álgebra.

Ejemplo resuelto — Construcciones con regla y compás

Operaciones con compás	2
Operaciones con regla	1
Operaciones totales	3
Radio de ambas circunferencias	1,0000
Distancia MA	0,5000
Distancia MB	0,5000
Ángulo entre las rectas	90,0000°
Mayor desvío del exacto	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Construcciones con regla y compás

Una construcción utiliza dos operaciones: dibujar la recta que pasa por dos puntos ya construidos, y trazar la circunferencia con centro en un punto construido que pase por otro. Donde las rectas y circunferencias se cruzan, se construyen nuevos puntos. Una longitud es construible cuando una secuencia finita de estos pasos la produce. Empezando por una longitud unitaria, las longitudes construibles son exactamente aquellas que se alcanzan mediante las cuatro operaciones aritméticas y raíces cuadradas, por lo que un número que requiera una raíz cúbica, o cualquier otra cosa, no se puede construir.

Qué significa cada símbolo

n: el número de lados de un polígono regular
φ(n): la indicatriz de Euler, la cantidad de números enteros del 1 al n que no tienen más factor común con n que el 1
F_k: un primo de Fermat, 2^(2^k) + 1. Solo se conocen el 3, 5, 17, 257 y 65537
cos θ: la longitud que construye un ángulo θ. Construir el ángulo y construir este número son el mismo problema
deg: el grado de cos(360°/n) sobre los racionales, φ(n) ÷ 2. El polígono de n lados se puede construir exactamente cuando es una potencia de 2

Gauss construyó el polígono de 17 lados a los 18 años, y nadie construirá jamás el de 7 lados 🖖

Pulsa El de 17 lados y mira cómo se construye: 41 circunferencias y 30 rectas en esta construcción, y los diecisiete vértices quedan espaciados por igual con quince decimales de precisión. Carl Friedrich Gauss descubrió en 1796, a los dieciocho años, que se podía hacer, y se dice que pidió uno para su lápida. Demostró que un polígono regular de n lados se puede construir siempre que n sea una potencia de 2 multiplicada por un producto de primos de Fermat distintos (los que conocemos son 3, 5, 17, 257 y 65537), y Pierre Wantzel probó en 1837 que ningún otro n sirve. Pulsa Por qué no el de 7 lados. El siete es primo pero no de Fermat, y la tabla desplegada enumera todos los n del 3 al 100: solo 24 de ellos se pueden construir. El polígono de 9 lados también falla, porque el 3 aparece dos veces.

Puedes trisecar 90° en cinco movimientos y 60° nunca 🖖

Pulsa Trisecar 90°: 30° es un ángulo del triángulo equilátero, y cinco operaciones dividen el ángulo recto en tres. Ahora pulsa Trisecar 60°. Un tercio es 20°, y el cos 20° es raíz de la cúbica 8c³ − 6c − 1 = 0. El compás y la regla solo producen longitudes alcanzables mediante las cuatro operaciones aritméticas y raíces cuadradas, y una cúbica de coeficientes racionales sin raíces racionales carece de raíces accesibles por raíces cuadradas. La tabla comprueba los ocho candidatos racionales y ninguno funciona. Wantzel publicó esa demostración en el mismo artículo de 1837, cerrando un problema que los griegos habían dejado abierto durante dos mil años. En los ángulos de esta página, múltiplos enteros de 3°, un ángulo se puede trisecar exactamente cuando es múltiplo de 9°.

Un compás que olvida su apertura no pierde nada 🖖

El tercer postulado de Euclides te permite trazar una circunferencia solo con centro en un punto y pasando por otro, un compás que, como se dice ahora, colapsa en cuanto se levanta, por lo que no puede trasladar una distancia de un lugar a otro. Parece una limitación insalvable, y su segunda proposición demuestra que no lo es: cualquier longitud se puede copiar de todos modos, con unas cuantas circunferencias y rectas adicionales. Abre Copiar un ángulo y alterna entre el compás rígido y el colapsable. En esta grabación, el rígido requiere 3 circunferencias y 1 recta, y el colapsable 11 circunferencias y 5 rectas, para hacer exactamente el mismo trabajo. Todo lo que un compás puede construir, el otro también. El compás olvidadizo solo alarga cada construcción.

Problema resuelto al detalle

De dónde sale el cos 72° en el pentágono 5 pasos
Un pentágono regular se inscribe en una circunferencia de radio 1 con la construcción de esta página: toma el punto medio M del radio OH₂, traza la circunferencia con centro en M por A, la parte superior de la circunferencia, y deja que corte el diámetro en N. Halla la longitud ON, el cos 72°, y el lado del pentágono. Pulsa Pentágono regular para comprobarlo.

Abre este problema en la herramienta
1. M es el punto medio de un radio, por tanto:
  
  $O M = \frac{1}{2}$
2. A está en la parte superior de la circunferencia, a un ángulo recto de H₂, así que Pitágoras da MA:
  
  $M A = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{2} = 1.1180$
3. N se encuentra en la circunferencia con centro en M por A, por lo que MN = MA, y N está al otro lado de O:
  
  $O N = M N - O M = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 0.6180$
4. ON es el lado del decágono regular, y su mitad es el coseno del ángulo central del pentágono:
  
  $cos 7 2^{\circ} = \frac{O N}{2} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090$
5. El lado AN del pentágono es la hipotenusa del triángulo rectángulo OAN:
  
  $A N = 1^{2} + O N^{2} = 1 + 0.3820 = 1.1756 = 2 sin 3 6^{\circ}$
Respuesta

ON = 0,6180, cos 72° = 0,3090 = (√5 − 1) ÷ 4, y el lado del pentágono es 1,1756, que es 2 sen 36°. Cada paso empleó solo una circunferencia, una recta y una raíz cuadrada, que es la única razón por la que el pentágono se puede construir: su coseno necesita √5 y nada peor.

$cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090, A N = 1.1756$

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.