Hasta dónde puede acercarse una fracción

Elige un número y cuántos términos conservar. La tarjeta de la izquierda es la fracción que te da la fracción continua; la línea inferior busca entre todas las fracciones con un denominador menor y te muestra la más cercana que puede encontrar.

Ejemplo resuelto — Hasta dónde puede acercarse una fracción

Mejor fracción	17 / 12
Error	2,5 × 10⁻³
Cifras significativas	2
q² × error	0,353

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La mejor fracción de su tamaño, comprobada en lugar de afirmada 🖖

Configura √2 con cuatro términos y la herramienta te devuelve 17/12. Luego hace la parte por la que vale la pena tener una herramienta: toma cada denominador por debajo de 12, encuentra el numerador más cercano para cada uno y te muestra la fracción más próxima que logra construir. Esa es 7/5, y está 5,8 veces más lejos de √2 que 17/12. Truncar una fracción continua no solo te da una buena fracción, te da la mejor disponible para ese tamaño. Por eso, la página prefiere mostrarte la búsqueda antes que nombrar el teorema. Pulsa La sorpresa de 355/113 y el mismo barrido se ejecutará sobre cada denominador hasta 112. El mejor de ellos es 333/106, que queda 312 veces más lejos.

Un término grande significa que la fracción anterior ya era muy buena 🖖

π es [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], y el término que importa es 292. Un término grande indica que, en ese punto, el resto estaba muy cerca de cero; dicho de otro modo, la fracción que ya tenías era casi exacta. Por eso 355/113, el convergente inmediatamente anterior, alcanza siete cifras significativas con tres cifras en el numerador y tres en el denominador, mientras que 22/7, seguido de un modesto 15, solo alcanza tres. El tamaño del término siguiente revela hasta qué punto es buena la fracción que tienes. También explica por qué mereció la pena hallar 355/113 en la China del siglo V y por qué sigue siendo la fracción a la que todo el mundo recurre.

El número áureo es el más difícil de aproximar, y eso es una medición 🖖

Multiplica cada error por el cuadrado de su denominador y podrás comparar fracciones de distintos tamaños. Hazlo con √2 y la columna se estabiliza en 0,354. Hazlo con φ y se fija en 0,447. Ese número es 1/√5, y ningún irracional puede mantenerse por encima de él para siempre. φ es el número que presiona con más fuerza contra ese límite. La razón reside en su desarrollo: cada término es 1, lo más pequeño que se le permite ser a un término, así que cada convergente es la menor mejora posible sobre el anterior. Llamar a φ el número más irracional parece un adorno retórico. En realidad es una medición, y habita en esta columna.

Problema resuelto al detalle

Demostrar que 355/113 es la fracción más cercana a π con un denominador menor a 1000 7 pasos
Demuestra que 355/113 es la fracción más cercana a π con un denominador menor a 1000, y descubre hasta dónde llega realmente su reinado.
1. Calcula primero el desarrollo. Como π = [3; 7, 15, 1, 292, …], los convergentes son 3, luego 22/7, luego 333/106, y después 355/113.
  
  $π = [3; 7, 15, 1, 292, \dots]$
2. Cada convergente proviene de los dos anteriores: multiplicas por el nuevo término y sumas el que está más atrás. Nada en ese paso necesita al propio π, solo a sus términos.
  
  $\frac{p _{n}}{q _{n}} = \frac{a _{n} p _{n - 1} + p _{n - 2}}{a _{n} q _{n - 1} + q _{n - 2}}$
3. 355/113 da 3,1415929204, frente a 3,1415926536 para π. El error es 2,7 × 10⁻⁷: siete cifras significativas con tres cifras en el numerador y tres en el denominador.
  
  $\frac{355}{113} = 3.1415929204 \dots, π = 3.1415926536 \dots$
4. Ahora la búsqueda. Toma cada denominador del 1 al 112, elige el numerador más cercano para cada uno y conserva el resultado más próximo. El ganador es 333/106, desviado por 8,3 × 10⁻⁵. Es decir, 312 veces más lejos que 355/113.
  
  $q \leq 112 min π - \frac{p}{q} = π - \frac{333}{106} \approx 8.3 \times 1 0^{- 5}$
5. Amplía la búsqueda hasta 1000 y no aparece nada nuevo. 355/113 sigue siendo la fracción más cercana que existe.
6. Entonces, ¿hasta dónde se mantiene? Al barrer hacia arriba, la primera fracción que la supera es 52163/16604. Eso significa que 355/113 es la fracción más cercana a π para cualquier denominador hasta 16.603.
  
  $\frac{52163}{16604} first beats it : q \times 147, error - 0.2%$
7. Y fíjate en lo que se consigue al superarla. 52163/16604 tiene un denominador 147 veces mayor y reduce el error en un 0,2%. Esa es la esencia de todo este tema. Las buenas fracciones son enormemente mejores que sus vecinas, y la siguiente mejora real queda muy arriba.
Respuesta

355/113, desviada por 2,7 × 10⁻⁷, y la fracción más cercana a π para todo denominador hasta 16.603. Dónde se detiene esto es la parte que vale la pena conocer. √2 sigue con 2, 2, 2, … para siempre y e sigue con 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …, así que ambos patrones pueden enunciarse y demostrarse. Nadie conoce un patrón en los términos de π. Nadie sabe si se mantienen acotados, o si algún término inmenso aguarda más adelante y con él una fracción mucho mejor que 355/113. El 292 no se explica por nada. Es simplemente lo que hace π.

Ruta de aprendizaje

Escribir un número

Lleva a Redondeo la mejor fracción de un tamaño dado, buscada y no afirmada.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

√2 en cuatro términos - √2 es [1; 2, 2, 2, …], y detenerse tras cuatro términos da 17/12. Toda fracción con un denominador por debajo de 12 está más lejos; la más cercana de ellas, 7/5, queda 5,8 veces más apartada.
La sorpresa de 355/113 - 355/113 coincide con π en siete cifras significativas, con tres cifras en el numerador y tres en el denominador. La fracción más próxima cuyo denominador es menor, 333/106, se desvía 312 veces más.
El más difícil de todos - φ es [1; 1, 1, 1, …]. Que todos sus términos tengan el menor valor posible es precisamente lo que lo convierte en el número más difícil de aproximar. q² × error se estabiliza en 0,447, es decir, 1/√5, el valor más alto en el que puede estabilizarse para cualquier número irracional.
e mantiene un patrón - e es [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …]: el patrón de 1, 1, número par continúa para siempre. Un desarrollo que nunca termina es lo que significa ser irracional, así que el propio patrón es la demostración de que e no es una fracción.