Sumar fracciones, y el error

Elige dos fracciones. La herramienta las suma sobre un denominador común y, aparte, suma numeradores y denominadores — el error clásico. Fíjate dónde cae cada respuesta en la recta.

Ejemplo resuelto — Sumar fracciones, y el error

Denominador común	20
Suma	23/20
Fracciones insertadas	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

El error clásico es una operación real, y nunca falla 🖖

Suma 3/4 y 2/5 al revés — numeradores juntos, denominadores juntos — y obtienes 5/9. No es la suma, que es 23/20. Pero mira dónde cae 5/9: en 0,5556, entre 0,4 y 0,75. Ese valor se llama mediante, y cae entre las dos fracciones todas las veces. La demostración es una resta: la mediante menos a/b da (bc − ad) sobre b(b+d), y c/d menos la mediante da ese mismo (bc − ad) sobre d(b+d). Mismo signo las dos veces. Así que la mediante está por encima de una fracción exactamente cuando está por debajo de la otra, y no le queda más sitio que el hueco. Cambia los números como quieras; se queda en la banda sombreada.

Un denominador común no es un ritual, es una unidad 🖖

No se suman tres ovejas y cuatro horas. Los medios y los tercios son unidades igual, y por eso 1/2 + 1/3 no es 2/5 — los trozos tienen tamaños distintos y contarlos no significa nada mientras lo tengan. Los sextos son el primer tamaño en el que un medio y un tercio se cortan exactamente, y el denominador común no es más que eso: 3/6 + 2/6 = 5/6. Esto explica también por qué el error resulta tan natural. Sumar numeradores y denominadores es contar, y contar honestamente — cinco trozos de nueve —, pero cuenta trozos de dos tamaños como si fueran iguales, de modo que lo que sale es una proporción del montón entero en vez de un total.

Repite el error y generas todas las fracciones que existen 🖖

Pulsa Llenar todo el hueco. Empieza con 0 y 1, pon la mediante entre ellos — es 1/2 —, luego otra vez entre cada nueva pareja vecina, y otra. Cuatro rondas dan 15 fracciones. Ninguna se puede simplificar y ninguna aparece dos veces. Sigue y toda fracción entre 0 y 1 aparece exactamente una vez, irreducible, en su propio sitio: es el árbol de Stern-Brocot, publicado en 1858 por un teórico de números alemán y en 1861 por un relojero francés que buscaba relaciones de engranaje. Achille Brocot necesitaba una fracción cercana a una razón que no podía construir, con un número de dientes que sí pudiera cortar — y el árbol se la entrega.

Problema resuelto al detalle

¿Es la mediante la fracción más simple entre las dos? En el hueco cae siempre. Si algo con denominador menor llega antes es otra pregunta, y la respuesta es: no siempre.
1. Empieza por la suma, hecha bien. Veinte es el primer denominador en el que caben cuartos y quintos, así que las fracciones pasan a ser quince veinteavos y ocho veinteavos.
  
  $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$
2. Ahora el error. Cinco novenos, y el panel lo confirma: el valor está en el hueco, como debe.
  
  $\frac{3 + 2}{4 + 5} = \frac{5}{9} = 0.5556, \frac{2}{5} = 0.4 < \frac{5}{9} < 0.75 = \frac{3}{4}$
3. Por qué debe. Resta la mediante de cada extremo y arriba aparece la misma cantidad, bc − ad, las dos veces. Un denominador es b(b+d) y el otro d(b+d), ambos positivos, así que las dos diferencias llevan el mismo signo y la mediante queda apretada entre las fracciones.
  
  $\frac{a + c}{b + d} - \frac{a}{b} = \frac{b c - a d}{b ( b + d )}, \frac{c}{d} - \frac{a + c}{b + d} = \frac{b c - a d}{d ( b + d )}$
4. Pero busca algo más simple. Un medio también está en el hueco, con denominador 2 frente al 9 de la mediante. Para esta pareja, entonces, la mediante no es la fracción más simple entre las dos, y ni de cerca.
  
  $\frac{1}{2} = 0.5 \in (\frac{2}{5}, \frac{3}{4}), q = 2 < 9$
5. Quien lo decide es una cantidad que ya está sobre la mesa. Para tres cuartos y dos quintos vale siete, no uno.
  
  $b c - a d = 4 \times 2 - 3 \times 5 = - 7, ∣ b c - a d ∣ = 7$
6. Prueba una pareja donde valga uno. Un tercio y un medio: la mediante es dos quintos, y nada con denominador menor que cinco queda entre ellos. Esa es toda la condición.
  
  $\frac{1}{3}, \frac{1}{2} : b c - a d = 3 \times 1 - 1 \times 2 = 1, \frac{1 + 1}{3 + 2} = \frac{2}{5}$
Respuesta

La mediante es la fracción más simple entre las dos exactamente cuando |bc − ad| = 1 — cuando la pareja es vecina en una sucesión de Farey. Barrido sobre todas las parejas con denominadores hasta 25: se cumple en las 798 parejas vecinas y falla en 111.992 de las 119.636 restantes. La herramienta nunca muestra bc − ad, y ese único número separa el caso en que el error escolar es la mejor respuesta posible del caso en que solo es una respuesta correcta.

$∣ b c - a d ∣ = 1 ⟺ \frac{a + c}{b + d} = q arg min {\frac{p}{q} \in (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})}$

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Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-07

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

3/4 y 2/5 - La suma es 23/20. Sumar numeradores y denominadores da 5/9, o sea 0,5556 — entre 2/5 y 3/4 en lugar de más allá.
Medios y tercios - Medios y tercios son unidades distintas, y 6 es la primera en la que ambos se escriben — por eso suman 5/6. La mediante 2/5 es la fracción más simple entre un medio y un tercio.
Mismo denominador - 1/5 y 2/5 suman 3/5. Aquí la mediante 3/10 es exactamente la mitad de la suma: con denominadores iguales, sumar numeradores y denominadores promedia.
Cuando no es la más simple - 2/7 y 3/7 dan la mediante 5/14. Está entre las dos, como siempre — pero no es la fracción más simple que lo consigue, y ahí es donde se acaba la regla bonita.
Llenar todo el hueco - Empieza en 0 y 1 e inserta mediantes cuatro veces: aparecen 15 fracciones, todas ya irreducibles, y ninguna dos veces.