Estimación de Fermi

Construye una cadena de estimaciones y evalúa el posible margen de error de cada una. La herramienta muestra el valor que todos esperan del resultado frente a su valor real.

Ejemplo resuelto — Estimación de Fermi

Estimación	100
Normalmente dentro de	×2,8
Error típico	×2

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

El peor caso es 729. La realidad es 2,85. 🖖

Asigna ×3 a seis factores. Compara luego el peor escenario con el error típico. Si todas las estimaciones fallan en la misma dirección, nos topamos con el peor caso: 3⁶ = 729. Sin embargo, el error típico se queda en 2,85, y el 86 % de las veces te quedas a menos de un factor de diez. Esa inmensa diferencia es la razón de ser de este método. La cadena del propio Fermi resulta aún más precisa, ya que conocía la población de Chicago mejor que la cantidad de hogares con piano. Su cálculo arroja 100 afinadores con un margen de 2,8, situándose a un factor de diez en el 98 % de las ocasiones. Seis números, ninguno de ellos consultado, y una respuesta lo bastante sólida como para debatir.

Multiplicar es sumar, una vez aplicas logaritmos 🖖

Los errores de un producto no se acumulan. Multiplicar números equivale a sumar sus logaritmos, y los elementos independientes que se suman se combinan en cuadratura. Así, la dispersión de n factores crece en función de √n, no de n. Seis factores presentan una incertidumbre 2,4 veces mayor que uno solo, no seis veces. Esto implica que añadir un séptimo factor mejora la estimación por factor. Modifica la longitud de la cadena en los preajustes para ver cómo el margen crece mucho más despacio que el del peor caso.

Dónde falla y por qué Drake es el ejemplo famoso 🖖

Pulsa Cuándo deja de funcionar. Encontrarás cinco factores a ×3 y uno a ×10 000. Esto equivale, a grandes rasgos, a lo que la ecuación de Drake exige aceptar sobre el tiempo que una civilización emite señales audibles. El margen asciende a ×246, la probabilidad de situarse en un factor de diez cae al 32 % y la columna arroja un 93 % de la duda sobre esa única fila. La anulación mutua necesita errores limitados. Como de verdad conoces la población de Chicago con un margen del 50 %, sobreestimar un factor y subestimar otro te compensa. Nadie conoce el último factor de Drake con una precisión de cuatro órdenes de magnitud. No existe nada con lo que anularlo, de modo que √n carece de utilidad. La página de la ecuación de Drake expone la otra cara de la moneda: un producto se desploma por su eslabón más débil.

Problemas resueltos al detalle

Litros de agua que una ciudad de 500.000 bebe en un año 7 pasos
¿Cuántos litros de agua bebe al año una ciudad de 500.000 habitantes? Estima cada cifra y calcula después cuánto te han costado las aproximaciones.
1. Empieza por la cadena. Solo agua para beber, nada de duchas: unos 2 litros diarios por persona, 365 días, medio millón de habitantes.
  
  $2 \times 365 \times 500, 000 = 365, 000, 000$
2. Trescientos sesenta y cinco millones de litros. ¿Cuánto margen de error admite cada variable? La cifra de población sale de un censo, así que asígnale un ×1,2. Los 2 litros son una pura suposición (hay gente que bebe 3 y gente que bebe 1,3), lo que da un ×1,5. Los días del año son exactos.
  
  $σ_{i} = \frac{ln k _{i}}{3} : \frac{ln 1.5}{3} = 0.234, \frac{ln 1.2}{3} = 0.105$
3. Cada factor con una incertidumbre de ×k aporta ln(k)/√3 a la dispersión del logaritmo. Las contribuciones independientes se suman en cuadratura.
  
  $σ = 0.23 4^{2} + 0.10 5^{2} = 0.257$
4. Una desviación estándar equivale a un factor de 1,3. Por tanto, la respuesta sensata ronda los 365 millones de litros, y sería toda una sorpresa que te desviaras más de un 30 %.
  
  $e^{0.257} = 1.29$
5. Compara esa cifra con el temor más ingenuo. Si ambas suposiciones fallaran en la misma dirección, tu desviación sería de 1,2 × 1,5 = 1,8. La dispersión real es de 1,3. La diferencia entre esos dos valores es el único motivo por el que merece la pena estimar.
  
  $1.2 \times 1.5 = 1.8 vs 1.29$
6. El argumento de la √n exige que los errores sean independientes. Si estimas la población con un dato anticuado y luego usas esa misma cifra para deducir el número de hogares, cometes un mismo error dos veces, y ese fallo no se compensa a sí mismo.
  
  $σ_{tot} = \sum σ_{i}^{2} ⟸ Cov (i, j) = 0$
7. Ese es el tipo de fallo que una estimación de Fermi jamás detectará desde dentro. Por eso el método exige variables sacadas de lugares distintos: un censo, un ritmo fisiológico, un calendario. Tres fuentes capaces de fallar de manera independiente. Si usas una misma fuente tres veces, sobre el papel se verá idéntica, pero te dará un margen de error completamente ficticio.
  
  $n σ ⟶ n σ (ρ = 1)$
Respuesta

Unos 365 millones de litros, y es poco probable que te equivoques por más de un 30 %. El peor escenario nos daba 1,8, pero el margen real es de 1,3. La distancia entre ambas cifras es la esencia del método. Lo único que ninguna herramienta calculará por ti es si tus estimaciones eran verdaderamente independientes.
Latidos en una vida, y si un ratón recibe de verdad menos 7 pasos
Calcula cuántas veces late un corazón humano a lo largo de una vida y qué anchura tiene la banda de esa respuesta. Decide después si un ratón recibe realmente menos latidos que una persona o solo lo parece.
1. Cinco filas, multiplicadas en el orden que quieras. 70 latidos por minuto durante 78 años dan unos 2,9 × 10⁹.
  
  $70 \times 60 \times 24 \times 365 \times 78 = 2, 869, 776, 000 \approx 2.9 \times 1 0^{9}$
2. Solo dos de las cinco filas pueden estar equivocadas. Los minutos de una hora, las horas de un día y los días de un año son definiciones, y la columna del reparto les asigna a cada una el 0% de la duda, mientras que la frecuencia cardiaca y la esperanza de vida se llevan el 50% cada una. Cinco filas con la incertidumbre de dos.
  
  $σ_{i} = \frac{ln 1.2}{3} = 0.105 (\times 2), σ = 0.105 2 = 0.149$
3. Una desviación típica sale un factor de 1,16, que el panel redondea a ×1,2. Que las dos suposiciones fallen a la vez en el mismo sentido da ×1,4, y como cada una se declaró como cota y no como tendencia, eso es un muro y no una cola.
  
  $e^{0.149} = 1.16, 1.2 \times 1.2 = 1.44$
4. Así que la respuesta está entre 2,0 y 4,1 mil millones, y en ningún otro sitio.
  
  $[\frac{2.87 \times 1 0 ^{9}}{1.44}, 2.87 \times 1 0^{9} \times 1.44] = [1.99 \times 1 0^{9}, 4.13 \times 1 0^{9}]$
5. Ahora las mismas cinco filas para otros dos animales: las tres definiciones sin tocar, dos suposiciones nuevas. Un ratón a 600 latidos por minuto que vive 2 años, un elefante a 30 latidos por minuto que vive 60.
  
  $600 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 2 = 6.3 \times 1 0^{8}, 30 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 60 = 9.5 \times 1 0^{8}$
6. Las dos suposiciones del elefante son más flojas que las humanas, así que concédeles ×1,5 a cada una. Su intervalo llega entonces a 2,1 × 10⁹, y el intervalo humano empieza en 2,0 × 10⁹. Los dos se tocan, y la comparación no resuelve nada.
  
  $k = 1.5 : [\frac{9.5 \times 1 0 ^{8}}{2.25}, 9.5 \times 1 0^{8} \times 2.25] = [4.2 \times 1 0^{8}, 2.1 \times 1 0^{9}]$
7. Aprieta las cotas. Una frecuencia cardiaca y una esperanza de vida son ambas medibles, así que ×1,2 es honesto para un animal que alguien haya estudiado, y el elefante llega entonces como mucho a 1,4 × 10⁹ frente a un suelo humano de 2,0 × 10⁹. Ahora los intervalos se separan.
  
  $k = 1.2 : [\frac{9.5 \times 1 0 ^{8}}{1.44}, 9.5 \times 1 0^{8} \times 1.44] = [6.6 \times 1 0^{8}, 1.4 \times 1 0^{9}]$
Respuesta

Unos 2,9 × 10⁹ latidos, con un intervalo honesto de 2,0 a 4,1 × 10⁹. Tres de las cinco filas son definiciones y no cargan con nada de la duda, y por eso cinco factores se comportan aquí como dos. Una persona sí recibe varias veces más latidos que un ratón o un elefante, pero la estimación solo lo afirma una vez que las suposiciones sobre el animal se aprietan hasta ×1,2. Con ×1,5 los intervalos se solapan y la distancia entre las dos estimaciones puntuales no significa nada, que es la pregunta que hay que hacerle a cualquier par de estimaciones antes de creerse la diferencia entre ellas.

$σ = \sum_{i} σ_{i}^{2}, σ_{i} = 0 ⟺ k_{i} = 1$

Ruta de aprendizaje

Órdenes de magnitud

Referencias (2)

Why independent errors combine in quadrature rather than accumulating Taylor, J. R. (1997). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements (2nd ed.). University Science Books — Chapter 3, on propagation for products and quotients.
The piano-tuner problem itself Weinstein, L. and Adam, J. A. (2008). Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin. Princeton University Press.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-25

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Afinadores en Chicago - La propia cadena de Fermi, sin haber consultado ni una sola cifra. Alcanza los 100 afinadores, y el margen real se sitúa en un factor de 2,8. Una respuesta válida a partir de seis aproximaciones.
Latidos en una vida - Aquí cada factor se conoce con una precisión mínima del 20 %, por lo que la dispersión casi desaparece. El resultado es de 2,9 mil millones de latidos y te encuentras dentro de un factor de 1,2 respecto a él.
Cuándo deja de funcionar - Cinco factores a ×3 y uno a ×10 000. El margen se dispara hasta ×246. La probabilidad de caer dentro de un factor de diez se reduce al 32 %. Este es el problema de la ecuación de Drake, y ninguna media estadística lo va a solucionar.