Explorador de Logaritmos

Observa cómo cambiar la base transforma la curva, compárala en vivo con ln(x) y log₁₀(x), y descubre por qué los logaritmos convierten la multiplicación en suma.

Valores iniciales — Explorador de Logaritmos

ln(x) — logaritmo natural	on
log₁₀(x) — logaritmo decimal	on
Valor de x	2

Cambia cualquier control de arriba y los resultados se recalculan.

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Lección

La teoría — Explorador de Logaritmos

Un logaritmo es un exponente. log_b(x) es la potencia a la que debes elevar b para obtener x. Así que log_b(x) = y y b^y = x son la misma afirmación leída en dos direcciones.

Qué significa cada símbolo

b: la base, que es el número a elevar. Sirve cualquier valor positivo excepto el 1. Elevar 1 a cualquier potencia siempre devuelve 1, de modo que nunca podría alcanzar un x diferente.
x: el argumento: el valor que intentas alcanzar. Debe ser positivo. Ninguna potencia real de una base positiva da cero ni cae por debajo de este.
y: la respuesta, que es el propio exponente. Aquí no hay restricciones. Vale exactamente 0 cuando x es 1, sin importar la base. Para una base por encima de 1, resulta negativo si x no llega a 1 y asume cualquier magnitud positiva al superarlo. Por debajo de la base 1 las dos mitades se invierten, lo que corresponde al caso halfBase.

De dónde viene la fórmula

Empieza por la definición. Si log_b(x) = y, entonces b^y = x.
Calcula el logaritmo natural de ambos lados; lo que hagas en un lado debes hacerlo en el otro: ln(b^y) = ln(x).
Por la regla de las potencias, el exponente pasa adelante, ln(b^y) = y·ln(b), quedando y·ln(b) = ln(x).
Divide por ln(b): y = ln(x) / ln(b). Esta es la regla del cambio de base, la misma que aparece impresa en el panel de arriba; en base 2 con x = 2 dice 0.69 / 0.69 = 1.

Cómo leer lo que ves

Se han trazado tres curvas. Primero tu curva, correspondiente a la base elegida. A esta se suman ln(x) y log₁₀(x) como referencias fijas para comparar. Las tres atraviesan el pequeño punto en (1, 0), dado que cualquier base elevada a 0 da 1. El punto grande se ubica donde el argumento iguala a la base, en (b, 1). Como resultado, resbala a lo largo de la curva cuando arrastras la base. Si pasas el cursor sobre cualquier parte del gráfico, obtendrás los tres logaritmos para ese valor exacto de x.

Supone: b > 0, b ≠ 1 y x > 0. No se trata de meras convenciones teóricas. Son justo las condiciones para que "¿a qué potencia hay que elevar b para obtener x?" tenga una sola respuesta real.
Falla cuando: La base 1 falla de un modo interesante. El paso 4 revela por qué: el desarrollo divide por ln(b), y ln(1) = 0. El valor queda indefinido, no solamente inmenso. No puedes situarte ahí. Escribe 1 en la base y verás que se reemplaza por 0.99; aquí la línea de cambio de base divide por un valor que ronda el −0,01 y la respuesta salta a −68.97 para el mismo x = 2. Por debajo de 1, el divisor sigue siendo negativo y la curva entera vuelca. Es logaritmo, pero decrece.

por qué los logaritmos están en todas partes 🖖

Los logaritmos convierten la multiplicación en suma — ese es todo el truco, y por eso aparecen en cualquier lugar donde los humanos necesitan comprimir rangos enormes en algo legible. La escala de pH es -log₁₀[H⁺]: cada paso entero es un cambio de 10× en la acidez. Los decibelios son 10·log₁₀(razón de potencias): una habitación silenciosa y un motor a reacción difieren en potencia bruta por aproximadamente un billón, pero solo por unos 120 dB. La escala de Richter/magnitud de momento funciona igual — un terremoto de magnitud 7 libera unas 32 veces más energía que uno de magnitud 6, no 7/6 veces más. Antes de las calculadoras, los ingenieros llevaban reglas de cálculo que convertían este truco de suma en una regla física: deslizar dos escalas marcadas logarítmicamente permitía multiplicar dos números con solo sumar longitudes. Y en la teoría de la información, el número de bits necesarios para representar algo es literalmente log₂ del número de posibilidades — cada vez que se duplican las opciones, cuesta exactamente un bit más.

toda base es la misma curva 🖖

Mueve la base y los gráficos parecen cambiar de forma, pero no lo hacen. El cambio de base da log_b(x) = ln(x) / ln(b), así que cada curva es solo ln(x) multiplicada por un número fijo. El control deslizante únicamente estira en vertical una misma curva universal. Baja la base por debajo de 1 y ese factor se vuelve negativo, volteando la curva; ponla exactamente en 1 y todo se derrumba, porque ln(1) = 0 significa dividir entre cero.

LOGARITMOS — EN QUÉ BASE ESTÁS Y CÓMO PASAR DE UNA A OTRA

¿En qué caso de logaritmo estás?

Un logaritmo hace una sola pregunta —¿qué potencia de b da x?—, pero la base decide para qué sirve la respuesta. La base e aparece siempre que algo crece a un ritmo proporcional a sí mismo; la base 10 cuenta órdenes de magnitud; una base menor que 1 voltea toda la curva; y cualquier base se convierte en cualquier otra con una sola división. El último caso sorprende: cuando la base se acerca a 1, el logaritmo se dispara.

Logaritmo natural — base e, el que prefiere el cálculo ln x = log_e x

Logaritmo común — base 10, contar órdenes de magnitud log₁₀ x

Base menor que 1 — la curva se da la vuelta 0 < b < 1

Cambio de base — todo logaritmo es cualquier otro, reescalado log_b x = ln x / ln b

Base justo por encima de 1 — el logaritmo se dispara b → 1 ⇒ ln b → 0

Logaritmo natural — base e, el que prefiere el cálculo

Qué sabes: La base es e ≈ 2,718. Escrito ln x, es el logaritmo que aparece siempre que una tasa de cambio es proporcional a la cantidad presente.

Base: ln x = log_e x

Ejemplo resuelto: ln 2 = 0,693, porque e^0,693 = 2, y ese 0,693 es el motivo de que "tiempo de duplicación = ln 2 / tasa de crecimiento"

Abrir este caso: logaritmo natural

Logaritmo natural — base e, el que prefiere el cálculo. El logaritmo natural: pendiente exactamente 1/x y el área bajo la curva del recíproco. La base es e ≈ 2,718. Escrito ln x, es el logaritmo que aparece siempre que una tasa de cambio es proporcional a la cantidad presente. — El logaritmo natural: pendiente exactamente 1/x y el área bajo la curva del recíproco.

Logaritmo común — base 10, contar órdenes de magnitud

Qué sabes: La base es 10. Cada paso de 1 en el resultado significa que la entrada se multiplicó por diez.

Base: log₁₀ x

Ejemplo resuelto: log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1000 = 3: multiplicar x por diez suma exactamente 1

Abrir este caso: logaritmo decimal

Logaritmo común — base 10, contar órdenes de magnitud. Cada aumento de diez veces en x recorre la misma distancia en la curva. La base es 10. Cada paso de 1 en el resultado significa que la entrada se multiplicó por diez. — Cada aumento de diez veces en x recorre la misma distancia en la curva.

Base menor que 1 — la curva se da la vuelta

Qué sabes: 0 < b < 1. Elevar una fracción a potencias mayores la hace más pequeña, así que el logaritmo decrece en vez de crecer y se vuelve negativo para x > 1.

Base: 0 < b < 1

Ejemplo resuelto: log₀,₅ 4 = −2, porque 0,5⁻² = 4: el mismo tamaño que log₂ 4 = 2, con el signo cambiado

Abrir este caso: base < 1

Base menor que 1 — la curva se da la vuelta. Con base menor que 1 la curva baja: x mayor da un logaritmo más negativo. 0 < b < 1. Elevar una fracción a potencias mayores la hace más pequeña, así que el logaritmo decrece en vez de crecer y se vuelve negativo para x > 1. — Con base menor que 1 la curva baja: x mayor da un logaritmo más negativo.

Cambio de base — todo logaritmo es cualquier otro, reescalado

Qué sabes: Necesitas una base que tu calculadora no tiene. Divide dos logaritmos en una base que sí tenga: log x en base b = ln x / ln b.

Base: log_b x = ln x / ln b

Ejemplo resuelto: log₄ 16 = ln 16 / ln 4 = 2,7726 / 1,3863 = 2, y la misma división funciona con log₁₀ en lugar de ln

Abrir este caso: cambio de base

Cambio de base — todo logaritmo es cualquier otro, reescalado. Una curva, reescalada: dividir por ln b convierte cualquier base en cualquier otra. Necesitas una base que tu calculadora no tiene. Divide dos logaritmos en una base que sí tenga: log x en base b = ln x / ln b. — Una curva, reescalada: dividir por ln b convierte cualquier base en cualquier otra.

Base justo por encima de 1 — el logaritmo se dispara

Qué sabes: b está cerca de 1, así que ln b está cerca de cero. Como log x en base b = ln x / ln b, dividir por ese número diminuto hace enorme el resultado.

Base: b → 1 ⇒ ln b → 0

Ejemplo resuelto: log₁,₀₅ 50 = ln 50 / ln 1,05 = 3,912 / 0,04879 = 80,2: hacen falta 80 pasos de un 5 % de crecimiento para multiplicar por 50

Abrir este caso: cerca de b = 1

Base justo por encima de 1 — el logaritmo se dispara. Cuando la base se acerca a 1 la curva se empina sin límite; en 1 exacto no existe. b está cerca de 1, así que ln b está cerca de cero. Como log x en base b = ln x / ln b, dividir por ese número diminuto hace enorme el resultado. — Cuando la base se acerca a 1 la curva se empina sin límite; en 1 exacto no existe.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Ajusta la base a 0.5 y deja x en 2. Antes de comprobarlo, ¿será la respuesta positiva o negativa, y más o menos de qué tamaño?

Mostrar la respuesta

Negativa y pequeña: da exactamente log₀.₅(2) = −1. Con el cambio de base se convierte en ln(2)/ln(0.5), y ln(0.5) es negativo. Por lo tanto, la curva entera se invierte. El resultado es exactamente −1 porque 0,5 elevado a la potencia −1 da 2. Es como dividir a la mitad una vez, pero a la inversa.
El punto más grande siempre se sitúa en (b, 1). Arrastra la base desde el 2 hasta el 9 y predice qué hará el punto. Piensa también por qué la respuesta se mantiene en 1 todo el tiempo.

Mostrar la respuesta

Se desliza hacia la derecha sobre la curva. Mantiene una altura de 1. Se cumple que log_b(b) = 1 en cualquier base, ya que “¿a qué potencia hay que elevar b para que dé b?” siempre es 1. El punto se mueve en horizontal porque su coordenada x es justamente la base que arrastras.
Escribe 1 en la base. Predice qué ocurrirá antes de pulsar nada. ¿Se volverá vertical la curva, quedará plana, o sucederá otra cosa?

Mostrar la respuesta

Nada de eso. La página rechaza el valor e introduce 0.99. El paso 4 del desarrollo divide entre ln(b), y ln(1) = 0. Por eso la base 1 está indefinida y no solamente muy empinada. En 0,99, la línea de cambio de base divide por una cifra que ronda el −0,01. El resultado marca −68.97, un número negativo gigantesco. Este es el aspecto real de «acercarse a un valor indefinido por un lado».

Problema resuelto al detalle

La razón por la que 2¹⁰ = 1024 y 10³ = 1000 están tan cerca 5 pasos
2¹⁰ = 1024 y 10³ = 1000, y están próximos por una razón que este panel ya muestra. Encuentre la razón y, a continuación, halle la rapidez con la que se degrada esta coincidencia.
1. El cambio de base convierte cualquier logaritmo en el cociente de otros dos. La herramienta muestra ln(2) = 0,693147 y log₁₀(2) = 0,30103, y log₂(10) es el recíproco del segundo: 3,32193.
  
  $lo g_{2} 10 = \frac{ln 10}{ln 2} = \frac{2.302585}{0.693147} = 3.32193 = \frac{1}{0.30103}$
2. Así pues, diez duplicaciones, expresadas en potencias de diez, equivalen a 10 × 0,30103.
  
  $2^{10} = 1 0^{10 l o g_{10} 2} = 1 0^{3.0103}$
3. El exponente es 3,0103 en lugar de 3. Ese 0,0103 es toda la discrepancia, y elevado a una potencia de diez da 1,024.
  
  $1 0^{3.0103} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.0103} = 1000 \times 1.024 = 1024$
4. La diferencia se acumula, ya que el exceso se multiplica en lugar de sumarse. Un kibibyte está un 2,4 % por encima de mil, un mebibyte un 4,9 % por encima de un millón y un gibibyte un 7,4 % por encima de mil millones.
  
  $\frac{2 ^{20}}{1 0 ^{6}} = 1.048576, \frac{2 ^{30}}{1 0 ^{9}} = 1.073741824$
5. Ese mismo 0,30103 es la razón por la que a una duplicación de potencia se le llama 3 dB. La cifra exacta es 3,0103 dB, y el número redondo es una conveniencia con un error de una parte entre trescientas.
  
  $10 lo g_{10} 2 = 3.0103 dB$
Respuesta

La herramienta muestra ln(2) = 0,693147 y log₁₀(2) = 0,30103. Vale la pena memorizar el segundo directamente, pues permite convertir entre las dos bases que todo el mundo utiliza en la práctica: bits y dígitos decimales. Un número necesita unos 3,32 bits por dígito decimal, una clave de 2048 bits equivale a unos 617 dígitos decimales y cualquier proceso de duplicación supera un factor de mil cada diez pasos. Los pasos 4 y 5 son la advertencia asociada: 2¹⁰ ≈ 10³ es una aproximación que empeora cada vez que se aplica, razón por la cual los fabricantes de discos y los sistemas operativos llevan treinta años discrepando sobre el tamaño de un terabyte: en un 10 %, y aumentando.

$lo g_{10} 2 = 0.30103 : ten doublings are three decades, and 2.4%$

Ruta de aprendizaje

Órdenes de magnitud

Lleva a Escala del universo el principio de que un logaritmo es un exponente, y el cambio de base.

Referencias (5)

pH as −log₁₀[H⁺]: R. P. Buck et al., "Measurement of pH. Definition, standards, and procedures (IUPAC Recommendations 2002)." Pure and Applied Chemistry 74(11), 2169–2200, 2002.
The decibel as 10·log₁₀ of a power ratio: L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens & J. V. Sanders, Fundamentals of Acoustics, 4th ed. Wiley, 2000. ISBN 978-0-471-84789-2.
Why one magnitude step is about 32× the energy — the scale is defined so that energy goes as 10^1.5 per unit: T. C. Hanks & H. Kanamori, "A moment magnitude scale." Journal of Geophysical Research: Solid Earth 84(B5), 2348–2350, 1979.
The slide rule, and the seventeenth-century instruments it came from: Florian Cajori, On the History of Gunter’s Scale and the Slide Rule during the Seventeenth Century. University of California Press, Berkeley, 1920.
Bits as log₂ of the number of possibilities: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27(3), 379–423, 1948.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

logaritmo natural - Caso de logaritmo natural: ln(2) ≈ 0.693.
logaritmo decimal - Caso de logaritmo decimal: log10(100) = 2.
base < 1 - Una base menor que 1 invierte la curva: log0.5(4) = -2.
cambio de base - Comprobación de cambio de base: log4(16) = 2.
cerca de b = 1 - Base apenas mayor que 1: la curva cae casi vertical, ya que dividir entre ln(1.05) ≈ 0.049 dispara el resultado.