Lección
La teoría — El teorema de los números pentagonales
Teorema de los números pentagonales de Euler: (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… = 1 − x − x² + x⁵ + x⁷ − x¹² − x¹⁵ + …, una suma sobre cada número entero k, positivo, negativo o cero, de (−1)ᵏ x^(k(3k − 1)/2). Los exponentes son los números pentagonales generalizados, y cada coeficiente vale 0, +1 o −1.
Qué significa cada símbolo
p(n)- el número de particiones de n: maneras de escribirlo como suma de enteros positivos, sin importar el orden
D₊(n), D₋(n)- las particiones de n en partes distintas con un número par, y con un número impar, de partes
k(3k ∓ 1)/2- los números pentagonales generalizados 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, …
De dónde viene la fórmula
- Por qué cada coeficiente es par menos impar. Desarrollar (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… significa elegir, de cada paréntesis, 1 o −xᵏ. Si eliges −xᵏ en varios de ellos, obtienes x elevada a la suma de esos k. Cada elección aporta un signo menos. Así, el coeficiente de xⁿ suma +1 por cada forma de escribir n como suma de enteros positivos distintos con un número par de sumandos. Resta −1 por cada forma con un número impar. El teorema afirma que esta diferencia es cero excepto en los números pentagonales, donde vale (−1)ᵏ.
- Por qué el movimiento de Franklin los empareja. En un diagrama con longitudes de fila distintas, sea s la parte menor y g la pendiente: cuántas filas, contando desde arriba, descienden exactamente de a un punto. Si s ≤ g, tomas la fila inferior y añades un punto al final de cada una de las s filas superiores. Si s > g, retiras un punto del final de cada una de las g filas superiores para formar una nueva fila inferior de longitud g. De cualquier forma las filas siguen siendo distintas, el total se mantiene en n y el número de filas varía en una unidad, por lo que par e impar se intercambian. Si repites el movimiento, desharás el cambio. Solo queda bloqueado cuando la fila inferior y la pendiente comparten un punto y s = g o s = g + 1. Esos diagramas corresponden a k + (k + 1) + … + (2k − 1) y (k + 1) + … + 2k, cuyos totales son k(3k − 1)/2 y k(3k + 1)/2.
- Del teorema a p(n). Cada partición de n, repeticiones permitidas, se cuenta mediante Σ p(n) xⁿ = 1/((1 − x)(1 − x²)(1 − x³)…). Multiplica ambos lados por el producto, que es la serie pentagonal: (1 − x − x² + x⁵ + x⁷ − x¹² − …) × Σ p(n) xⁿ = 1. Para n ≥ 1 el coeficiente de xⁿ en la derecha es 0, así que p(n) − p(n − 1) − p(n − 2) + p(n − 5) + p(n − 7) − … = 0. Esa es la recurrencia de Euler y el número de sus términos crece solo como √n.
Problema resuelto al detalle
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La «ley extraordinaria» de Euler: sumas de divisores a partir de los mismos signos 4 pasos
Los signos que construyen p(n) también forman la suma de los divisores de n. Euler lo llamó una ley de lo más extraordinaria. Úsala para hallar σ(12), la suma de los divisores de 12, con un solo cambio en la recurrencia: donde necesites σ(0), usa el propio n.
Abre este problema en la herramienta
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La recurrencia de la página para p(12), el patrón a seguir:
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Los mismos saltos y signos para σ(12). El último salto es el propio 12, por lo que σ(0) pasa a ser 12:
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Con σ(11) = 12, σ(10) = 18, σ(7) = 8 y σ(5) = 6:
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Comprueba sumando los divisores directamente:
Respuesta
σ(12) = 28. Euler documentó esto en 1747 y se cumple para cada n. La propia aritmética de la página lo verifica hasta n = 500.
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Ruta de aprendizaje
Métodos de demostración
Referencias (3)
- Franklin's involution as stated on this page (compare the smallest part with the slope; move one onto the other; blocked only at the pentagonal diagrams), with Franklin's 1881 paper and his place as Sylvester's student at Johns Hopkins: I. Pak, "Partition bijections, a survey", The Ramanujan Journal 12, 5–75 (2006); preprint, §5.2.
- Euler's paper on the sum of divisors, where the pentagonal signs that give p(n) give σ(n) too, the worked problem: L. Euler, "Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs", Bibliothèque impartiale 3, 10–31 (written 1747, published 1751); Eneström number E175, The Euler Archive.
- The partition numbers, Euler's recurrence over the generalised pentagonal numbers, Hardy and Ramanujan's asymptotic formula, and MacMahon's table of p(n) up to 200: OEIS Foundation, "A000041: a(n) = number of partitions of n" and "A001318: Generalized pentagonal numbers", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.