Taller de combinatoria

Lo difícil en combinatoria rara vez es la aritmética, sino clasificar correctamente el enunciado del problema. Dos preguntas de sí/no hacen casi todo el trabajo: ¿importa el orden (ordenar frente a elegir?) y ¿puede elegirse el mismo elemento más de una vez (con o sin repetición)? Esas dos respuestas por sí solas clasifican cada problema en uno de cuatro modelos básicos —permutaciones, combinaciones, permutaciones con repetición y combinaciones con repetición ('estrellas y barras')— por eso un comité, una alineación, un código PIN y un boleto de lotería necesitan cada uno una fórmula distinta pese a parecerse superficialmente. La inclusión-exclusión y los desarreglos existen precisamente porque los problemas reales suelen romper los supuestos limpios de esos cuatro modelos, con conjuntos que se solapan o coincidencias exactas prohibidas de formas que las fórmulas básicas no pueden manejar por sí solas.

El objetivo de la combinatoria es hallar cuántas disposiciones existen sin escribirlas todas. Un PIN de 4 dígitos tiene solo 10⁴ = 10,000 posibilidades que aún podrías imaginar como lista, pero un boleto de lotería de 6 entre 49 tiene C(49,6) = 13,983,816 — nadie las cuenta a mano. Las fórmulas de aquí devuelven el total exacto en un solo paso, convirtiendo una enumeración imposible en un cálculo breve. Por eso la herramienta siempre muestra el recuento, su número de cifras y una notación científica para los valores realmente enormes.

El modelo de desarreglos cuenta las disposiciones en las que nada queda en su propio lugar — el caso del amigo invisible en el que nadie se saca a sí mismo. Sorprendentemente, la fracción de todas las permutaciones que son desarreglos converge casi de inmediato a 1/e ≈ 0.3679: con solo 6 personas ya es correcta hasta tres decimales. Así, la probabilidad de que un amigo invisible al azar deje a todos sin su propio nombre es de un 37% y apenas cambia si el grupo tiene 6 miembros o 600. La constante e, nacida del cálculo y del interés compuesto, surge directamente de un problema puramente combinatorio.