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Todo balón de fútbol tiene doce pentágonos, y no podría tener ningún otro número
Un balón de fútbol, una molécula de carbono-60 y la cubierta de un virus no tienen nada obvio en común. Los tres responden a la misma restricción, y esta impone el mismo número en todos los casos.
Tome un balón de fútbol tradicional. Está formado por pentágonos y hexágonos, con tres paneles que convergen en cada vértice. Cuente los pentágonos y encontrará doce.
Observe ahora el buckminsterfullereno, la molécula de C₆₀ descubierta en 1985: sesenta átomos de carbono dispuestos en pentágonos y hexágonos, con tres enlaces en cada átomo. Doce pentágonos.
Fíjese en una cúpula geodésica. Sus paneles son triángulos en lugar de pentágonos, por lo que la cuenta se manifiesta en el único otro lugar posible: entre todas esas uniones de seis vías hay exactamente doce en las que solo convergen cinco triángulos. Los mismos doce, presentados de otra forma.
Es un resultado inevitable, y esta es la demostración de su necesidad.
Las cuatro líneas
Sea una estructura con V vértices, E aristas y F caras, y sea cada cara un pentágono o un hexágono, de modo que F = F₅ + F₆ sin ninguna otra opción permitida. (Admitir un cuadrado o un heptágono cambiaría la respuesta; no es un resquicio legal, sino la hipótesis haciendo su trabajo).
En cada vértice convergen tres caras, y cada arista es compartida por exactamente dos caras. Contar los extremos de las aristas de dos formas distintas da 3V = 2E. Contar los lados de las caras de la misma manera da 2E = 5F₅ + 6F₆.
Aplique ahora la fórmula de Euler, V − E + F = 2, válida para todo poliedro convexo. Al sustituir y despejar las fracciones, todo se simplifica excepto un término:
F₅ = 12
El número de hexágonos se ha desvanecido por completo. No aparece en la respuesta, lo que significa que no puede afectarla. Puede emplear veinte hexágonos o veinte mil; utilizará doce pentágonos.
El mismo hecho, explicado como curvatura
Existe una segunda forma de verlo que explica por qué desaparecen los hexágonos.
Un cubo es plano en todas partes excepto en ocho puntos. Al recorrer una cara nada se curva. Al rodear un vértice se encuentran 270° de superficie allí donde una superficie plana habría ofrecido 360°. Los 90° faltantes constituyen la curvatura, y en un poliedro la curvatura no puede estar en ningún otro sitio: se concentra por completo en los vértices.
Sumemos ese defecto angular en los ocho vértices de un cubo: 8 × 90° = 720°. Hagámoslo para un icosaedro: 12 × 60° = 720°. Para un dodecaedro: 20 × 36° = 720°. El total nunca varía. Es de 720° para cualquier poliedro convexo existente, sea regular o no, algo de lo que Descartes se percató hacia 1630 y que constituye el teorema de Gauss-Bonnet con la curvatura concentrada en puntos en lugar de distribuida suavemente sobre una superficie.
Ahora bien: tres hexágonos regulares en un vértice suman exactamente 3 × 120° = 360°. Quedan planos y no aportan nada a los 720° que deben estar presentes.
En un balón de fútbol, cada vértice está formado por dos hexágonos y un pentágono: 120° + 120° + 108° = 348°, lo que supone un defecto angular de 12°. Hay sesenta vértices de este tipo —uno por cada átomo de carbono en la versión del C₆₀— y 60 × 12° = 720°, exactamente. Los pentágonos soportan toda la curvatura del objeto y los hexágonos son meros acompañantes, motivo por el cual se pueden añadir tantos hexágonos como se desee sin que la cantidad de pentágonos varíe.
Puede comprobar cómo el total se mantiene constante en el Regular Tilings Lab: alterne entre los cinco sólidos platónicos y el defecto angular por vértice cambiará en cada ocasión, mientras que su producto por el número de vértices no lo hará.
Dónde se hace sentir la restricción
En 1962, Donald Caspar y Aaron Klug se preguntaron por qué tantos virus son icosaédricos. La presión sobre un virus es brutal: su genoma es diminuto, de modo que solo puede codificar unas pocas proteínas distintas, y debe construir un recipiente cerrado a partir de ellas. El recipiente más económico posible consiste en una misma proteína repetida muchas veces.
Pero una cubierta cerrada ensamblada a partir de unidades idénticas repetidas tiene muy pocas opciones, y por una razón relacionada: no es posible teselar una superficie cerrada con una única unidad repetida en entornos idénticos más de sesenta veces. La respuesta de Caspar y Klug fueron los números de triangulación, una familia de disposiciones icosaédricas en las que las subunidades se sitúan en posiciones casi equivalentes en lugar de idénticas. El recuento difiere del del balón de fútbol (sus redes están trianguladas y los doce sitios especiales son vértices de simetría quíntuple en vez de paneles pentagonales), pero la presión es la misma, y por eso la micrografía electrónica de un adenovirus se asemeja a un dado de veinte caras. El virus no está imitando un sólido platónico. Sencillamente se está quedando sin alternativas.
Esta misma restricción explica por qué las cúpulas de Buckminster Fuller necesitan sus pentágonos, por qué el C₆₀ es estable con exactamente sesenta átomos y por qué un químico que observe una propuesta de estructura de fulereno puede descartarla de un vistazo si presenta trece pentágonos.
De qué es ejemplo esto
La generalización útil no trata sobre los pentágonos. Trata de que algunas propiedades de un objeto vienen determinadas por tan poca información que es posible deducirlas sin necesidad de inspeccionar el objeto.
No hace falta ver un balón de fútbol para saber que tiene doce pentágonos. Basta con saber que es cerrado, que sus caras son pentágonos y hexágonos, y que tres de ellas se unen en cada vértice. Todo lo demás —el tamaño, el material, el número de hexágonos, si está inflado o no— resulta irrelevante para esa pregunta en concreto.
Las magnitudes de este tipo se conservan tras la deformación e ignoran los errores de medición, motivo por el cual son las que merece la pena aprender.