See on masintõlge ja originaaltekst on inglise keeles. Loe originaali
Igal jalgpallil on kaksteist viisnurka ega saaks olla ühtegi muud arvu
Jalgpallil, süsinik-60 molekulil ja viiruse kestel ei ole esmapilgul midagi ühist. Kõik kolm lahendavad aga sama kitsendust ning see tingib iga kord ühe ja sama arvu.
Võtke kätte traditsiooniline jalgpall. See koosneb viisnurkadest ja kuusnurkadest ning igas tipus kohtub kolm paneeli. Loendage viisnurgad kokku ja leiate, et neid on kaksteist.
Nüüd vaadake buckminsterfullereeni, 1985. aastal avastatud C₆₀ molekuli: kuuskümmend süsinikuaatomit paigutatud viisnurkadesse ja kuusnurkadesse, igal aatomil kolm sidet. Kaksteist viisnurka.
Vaadake geodeetilist kuplit. Selle paneelid on viisnurkade asemel kolmnurgad, seega ilmneb see arv teises kohas, kus saab: kõigi nende kuueharuliste sõlmpunktide seas on täpselt kaksteist sellist, kus kohtub ainult viis kolmnurka. Seesama kaksteist, lihtsalt teises kuues.
See on paratamatu, ja siin on selle põhjendus.
Neli rida
Olgu karkassil V tippu, E serva ja F tahku — ning olgu iga tahk viisnurk või kuusnurk, nii et F = F₅ + F₆ ja midagi muud pole lubatud. (Lubage ruut või seitsmenurk ja vastus muutub; see pole auk loogikas, vaid eeldus teeb oma tööd.)
Igas tipus kohtub kolm tahku ja iga serv on ühine täpselt kahele tahule. Servade otste loendamine kahel erineval viisil annab 3V = 2E. Tahkude servade loendamine samal viisil annab 2E = 5F₅ + 6F₆.
Nüüd rakendage Euleri valemit V − E + F = 2, mis kehtib iga kumera polüeedri puhul. Asendage, taandage murrud ja kõik taandub välja, välja arvatud üks liige:
F₅ = 12
Kuusnurkade arv on täielikult kadunud. Seda ei esine vastuses, mis tähendab, et see ei saa vastust mõjutada. Võite kasutada kakskümmend kuusnurka või kakskümmend tuhat; viisnurki kasutate ikka kaksteist.
Sama fakt kõveruse kaudu
Selle mõistmiseks on teinegi viis, mis selgitab, miks kuusnurgad välja langevad.
Kuup on tasane kõikjal, välja arvatud kaheksas punktis. Kõndige üle tahu ja miski ei kõverdu. Kõndige ümber tipu ja leiate 270° materjali seal, kus tasane pind oleks andnud 360°. Puuduv 90° on kõverus ning polüeedril pole kõverusel kuskil mujal olla: see on koondunud täielikult tippudesse.
Liitke see puudujääk kokku kuubi kõigi kaheksa tipu kohta: 8 × 90° = 720°. Tehke seda ikosaeedri puhul: 12 × 60° = 720°. Dodekaeedri puhul: 20 × 36° = 720°. Kogusumma ei muutu kunagi. See on 720° iga olemasoleva kumera polüeedri jaoks, olgu see korrapärane või mitte. Seda pani Descartes tähele umbes 1630. aastal ning see on Gaussi-Bonnet' teoreem, kus kõverus on surutud punktidesse, mitte laotatud ühtlaselt üle pinna.
Nüüd: kolm korrapärast kuusnurka tipus annavad kokku täpselt 3 × 120° = 360°. Need asetsevad tasaselt ega panusta midagi sellesse 720°-sse, mis seal peab olema.
Jalgpallil on iga tipp kaks kuusnurka ja üks viisnurk: 120° + 120° + 108° = 348°, mis tähendab 12° puudujääki. Selliseid tippe on kuuskümmend — C₆₀ versioonis üks iga süsinikuaatomi kohta — ning täpselt 60 × 12° = 720°. Viisnurgad kannavad objekti kogu kõverust ja kuusnurgad on lihtsalt kaasas, mistõttu võite lisada kuusnurki nii palju kui soovite, aga viisnurkade arv ei muutu.
Näete selle kogusumma püsimist tööriistas Regular Tilings Lab: lülituge viie Platoni keha vahel ja iga kord muutub tipu nurgadefekt, kuid selle korrutis tippude arvuga jääb samaks.
Kus kitsendus mõjuma hakkab
1962. aastal küsisid Donald Caspar ja Aaron Klug, miks nii paljud viirused on ikosaeedrilised. Surve viirusele on armutu: selle genoom on pisike, seega saab see koodida väga vähe erinevaid valke, ning see peab ehitama neist suletud mahuti. Vähima kuluga mahuti on üks paljukordselt korduv valk.
Kuid identsetest korduvatest ühikutest kokku pandud suletud kestal on väga vähe võimalusi ja seda seotud põhjusel: suletud pinda ei saa katta üheainsa korduva ühikuga identses ümbruses rohkem kui kuuskümmend korda. Caspari ja Klugi vastuseks olid triangulatsiooniarvud — ikosaeedriliste paigutuste pere, milles alamühikud paiknevad identsete asendite asemel peaaegu ekvivalentsetes asendites. Arvepidamine erineb jalgpalli omast (nende võred on trianguleeritud ja kaksteist eriseisundiga kohta on viiekordsed tipud, mitte viisnurksed paneelid), kuid surve on sama ning seepärast meenutabki adenoviiruse elektronmikrofoto 20-tahulist täringut. Viirus ei jäljenda Platoni keha. Tal on lihtsalt alternatiivid otsa saamas.
Sama kitsendus selgitab, miks Buckminster Fulleri kuplid vajavad oma viisnurki, miks C₆₀ on stabiilne täpselt kuuekümne aatomiga ning miks keemik saab pakutud fullereeni struktuuri ühe pilguga tagasi lükata, kui sellel on kolmteist viisnurka.
Mille näide see on
Kasulik üldistus ei puuduta viisnurki. See seisneb selles, et objekti mõned omadused on määratud nii vähese infoga, et saate need välja lugeda ilma objekti ennast kontrollimata.
Te ei pea jalgpalli nägema, et teada, et sel on kaksteist viisnurka. Peate teadma, et see on suletud, selle tahud on viisnurgad ja kuusnurgad ning igas tipus kohtub neist kolm. Kõik muu — suurus, materjal, kuusnurkade arv, see, kas see on täis puhutud — on selle konkreetse küsimuse jaoks ebaoluline.
Sellised suurused elavad üle deformatsiooni ega hooli mõõtevigadest, mistõttu ongi need õppimist väärt.