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Tout ballon de football compte douze pentagones, et il ne pourrait en avoir aucun autre nombre
Un ballon de football, une molécule de carbone 60 et la coque d'un virus n'ont rien d'évident en commun. Tous trois satisfont à la même contrainte, et celle-ci impose le même nombre à chaque fois.
Prenez un ballon de football traditionnel. Il est composé de pentagones et d'hexagones, avec trois panneaux qui se rejoignent à chaque sommet. Comptez les pentagones et vous en trouverez douze.
Examinez maintenant le buckminsterfullerène, la molécule de C₆₀ découverte en 1985 : soixante atomes de carbone agencés en pentagones et en hexagones, trois liaisons par atome. Douze pentagones.
Regardez un dôme géodésique. Ses panneaux sont des triangles plutôt que des pentagones, de sorte que le décompte réapparaît à la seule autre place possible : parmi toutes ces jonctions à six branches, il y en a exactement douze où seulement cinq triangles se rejoignent. C'est le même douze, sous une autre forme.
C'est inévitable, et en voici la démonstration.
Les quatre lignes
Soit la cage comptant V sommets, E arêtes et F faces — et soit chaque face un pentagone ou un hexagone, de sorte que F = F₅ + F₆ sans aucune autre possibilité. (Admettez un carré ou un heptagone et la réponse change ; ce n'est pas une faille, c'est l'hypothèse qui fait son travail.)
Trois faces se rejoignent à chaque sommet, et chaque arête est partagée par exactement deux faces. Le décompte des extrémités d'arêtes de deux manières différentes donne 3V = 2E. Le décompte des arêtes des faces de la même manière donne 2E = 5F₅ + 6F₆.
Appliquons maintenant la formule d'Euler, V − E + F = 2, valable pour tout polyèdre convexe. Substituez, éliminez les fractions, et tout s'annule à l'exception d'un seul terme :
F₅ = 12
Le nombre d'hexagones a entièrement disparu. Il n'apparaît pas dans la réponse, ce qui signifie qu'il ne peut pas l'affecter. Vous pouvez utiliser vingt hexagones ou vingt mille ; vous utiliserez toujours douze pentagones.
Le même fait, exprimé en termes de courbure
Il existe une seconde façon de le voir qui explique pourquoi les hexagones disparaissent.
Un cube est plat partout, sauf en huit points. Parcourez une face et rien ne se courbe. Faites le tour d'un sommet et vous trouvez 270° de matière là où une surface plane en aurait offert 360°. Les 90° manquants constituent la courbure, et sur un polyèdre, il n'y a aucun autre endroit où la courbure puisse se trouver : elle est entièrement concentrée aux sommets.
Additionnez ce déficit sur les huit sommets d'un cube : 8 × 90° = 720°. Faites de même pour un icosaèdre : 12 × 60° = 720°. Pour un dodécaèdre : 20 × 36° = 720°. Le total ne varie jamais. Il est de 720° pour tout polyèdre convexe existant, régulier ou non, ce que Descartes a remarqué vers 1630 et qui constitue le théorème de Gauss–Bonnet avec la courbure concentrée en des points au lieu d'être répartie uniformément sur une surface.
Dès lors : trois hexagones réguliers en un sommet totalisent exactement 3 × 120° = 360°. Ils reposent à plat et ne contribuent en rien aux 720° qui doivent s'y trouver.
Sur un ballon de football, chaque sommet réunit deux hexagones et un pentagone : 120° + 120° + 108° = 348°, soit un déficit de 12°. Il existe soixante sommets de ce type — un par atome de carbone, dans la version du C₆₀ — et 60 × 12° = 720°, exactement. Les pentagones portent l'intégralité de la courbure de l'objet et les hexagones ne font qu'accompagner le mouvement, c'est pourquoi vous pouvez ajouter autant d'hexagones que vous le souhaitez sans que le nombre de pentagones ne varie.
Vous pouvez observer la constance de ce total dans le Regular Tilings Lab : passez d'un solide de Platon à l'autre parmi les cinq, et le défaut angulaire par sommet change à chaque fois alors que son produit par le nombre de sommets ne varie pas.
Là où la contrainte s'impose
En 1962, Donald Caspar et Aaron Klug se sont demandé pourquoi tant de virus sont icosaédriques. La pression qui pèse sur un virus est brutale : son génome est minuscule, il ne peut donc coder que très peu de protéines distinctes, et il doit fabriquer un récipient fermé à partir de celles-ci. Le conteneur le plus économique possible consiste en une seule protéine répétée de nombreuses fois.
Mais une coque fermée assemblée à partir d'unités répétées identiques dispose de très peu d'options, pour une raison apparentée : on ne peut pas paver une surface fermée avec une seule unité répétée dans un environnement identique plus de soixante fois. La réponse de Caspar et Klug fut les nombres de triangulation — une famille d'agencements icosaédriques dans lesquels les sous-unités occupent des positions presque équivalentes plutôt qu'identiques. Le décompte diffère de celui du ballon de football (leurs réseaux sont triangulés, et les douze sites particuliers sont des sommets d'ordre 5 plutôt que des panneaux pentagonaux), mais la contrainte est la même, et c'est la raison pour laquelle une micrographie électronique d'un adénovirus ressemble à un dé à vingt faces. Le virus n'imite pas un solide de Platon. Il manque simplement d'alternatives.
Cette même contrainte explique pourquoi les dômes de Buckminster Fuller ont besoin de leurs pentagones, pourquoi le C₆₀ est stable à exactement soixante atomes, et pourquoi un chimiste examinant une structure de fullerène proposée peut la rejeter d'un coup d'œil si elle comporte treize pentagones.
De quoi ceci est un exemple
La généralisation utile ne concerne pas les pentagones. Elle réside dans le fait que certaines propriétés d'un objet sont déterminées par si peu d'informations qu'on peut les déduire sans même inspecter l'objet.
Vous n'avez pas besoin de voir un ballon de football pour savoir qu'il possède douze pentagones. Il vous suffit de savoir qu'il est fermé, que ses faces sont des pentagones et des hexagones, et que trois d'entre elles se rejoignent à chaque sommet. Tout le reste — la taille, le matériau, le nombre d'hexagones, qu'il soit gonflé ou non — n'a aucune importance pour cette question précise.
Les grandeurs de ce type résistent aux déformations et font abstraction des erreurs de mesure, c'est pourquoi ce sont celles qui méritent d'être étudiées.