Dies ist eine maschinelle Übersetzung; das englische Original ist maßgeblich. Original lesen
Jeder Fußball hat zwölf Fünfecke, und er könnte keine andere Anzahl haben
Ein Fußball, ein Kohlenstoff-60-Molekül und eine Virushülle haben offensichtlich nichts gemeinsam. Alle drei unterliegen jedoch derselben Bedingung, und diese erzwingt jedes Mal dieselbe Zahl.
Betrachtet man einen klassischen Fußball: Er besteht aus Fünfecken und Sechsecken, wobei an jeder Ecke drei Flächen aufeinandertreffen. Zählt man die Fünfecke, findet man genau zwölf.
Nun zu Buckminsterfulleren, dem 1985 entdeckten C₆₀-Molekül: sechzig Kohlenstoffatome, angeordnet in Fünfecken und Sechsecken, drei Bindungen an jedem Atom. Zwölf Fünfecke.
Betrachtet man eine geodätische Kuppel: Ihre Flächen sind Dreiecke statt Fünfecke, sodass die Zahl an der anderen Stelle auftaucht, an der sie es kann: Unter all diesen Sechsfach-Knotenpunkten gibt es genau zwölf, an denen nur fünf Dreiecke aufeinandertreffen. Dieselbe Zwölf, nur in anderem Gewand.
Das Ergebnis ist zwingend, und hier ist die Herleitung.
Die vier Zeilen
Die Struktur habe V Ecken, E Kanten und F Flächen – und jede Fläche sei ein Fünfeck oder ein Sechseck, sodass F = F₅ + F₆ gilt und nichts anderes erlaubt ist. (Lässt man ein Viereck oder ein Siebeneck zu, ändert sich das Ergebnis; das ist kein Schlupfloch, sondern die Voraussetzung, die ihre Arbeit tut.)
An jeder Ecke treffen drei Flächen aufeinander, und jede Kante wird von genau zwei Flächen geteilt. Zählt man die Kantenenden auf zwei verschiedene Arten, erhält man 3V = 2E. Zählt man die Flächenkanten auf dieselbe Weise, erhält man 2E = 5F₅ + 6F₆.
Wendet man nun den Eulerschen Polyedersatz V − E + F = 2 an, der für jedes konvexe Polyeder gilt: Setzt man ein und löst die Brüche auf, kürzt sich alles bis auf einen Term weg:
F₅ = 12
Die Anzahl der Sechsecke ist vollständig verschwunden. Sie taucht im Ergebnis nicht auf, was bedeutet, dass sie das Ergebnis nicht beeinflussen kann. Man kann zwanzig Sechsecke verwenden oder zwanzigtausend; man wird stets zwölf Fünfecke verwenden.
Dieselbe Tatsache, ausgedrückt durch Krümmung
Es gibt einen zweiten Weg, dies zu sehen, der erklärt, warum die Sechsecke herausfallen.
Ein Würfel ist überall eben, außer an acht Punkten. Geht man über eine Fläche, krümmt sich nichts. Geht man um eine Ecke, findet man 270° an Material, wo eine ebene Fläche 360° geboten hätte. Die fehlenden 90° sind die Krümmung, und bei einem Polyeder gibt es keinen anderen Ort, an dem Krümmung sein könnte: Sie ist vollständig in den Ecken konzentriert.
Addiert man dieses Defizit über alle acht Ecken eines Würfels auf: 8 × 90° = 720°. Tut man dies für ein Ikosaeder: 12 × 60° = 720°. Für ein Dodekaeder: 20 × 36° = 720°. Die Summe ändert sich nie. Sie beträgt 720° für jedes existierende konvexe Polyeder, ob regelmäßig oder nicht. Dies bemerkte Descartes um 1630, und es ist der Satz von Gauß-Bonnet, bei dem die Krümmung in Punkte gepresst ist, anstatt gleichmäßig über eine Fläche verteilt zu sein.
Nun: Drei regelmäßige Sechsecke an einer Ecke ergeben genau 3 × 120° = 360°. Sie liegen eben und tragen nichts zu den 720° bei, die vorhanden sein müssen.
Bei einem Fußball besteht jede Ecke aus zwei Sechsecken und einem Fünfeck: 120° + 120° + 108° = 348°, was einem Defizit von 12° entspricht. Es gibt sechzig solcher Ecken – eine pro Kohlenstoffatom in der C₆₀-Variante – und 60 × 12° = 720°, exakt. Die Fünfecke tragen die gesamte Krümmung des Objekts, und die Sechsecke laufen nur mit. Deshalb kann man beliebig viele Sechsecke hinzufügen, ohne dass sich die Anzahl der Fünfecke ändert.
Man kann das Gleichbleiben der Summe im Regular Tilings Lab beobachten: Wechselt man zwischen den fünf platonischen Körpern, ändert sich das Winkeldefizit pro Ecke jedes Mal, während das Produkt mit der Eckenanzahl gleich bleibt.
Wo die Bedingung greift
Im Jahr 1962 fragten Donald Caspar und Aaron Klug, warum so viele Viren ikosaedrisch sind. Der Druck auf ein Virus ist brutal: Sein Genom ist winzig, sodass es nur sehr wenige verschiedene Proteine kodieren kann, und es muss daraus einen geschlossenen Behälter bauen. Der sparsamste mögliche Behälter besteht aus einem einzigen, vielfach wiederholten Protein.
Doch eine geschlossene Hülle, die aus identischen, wiederholten Einheiten aufgebaut ist, hat nur sehr wenige Möglichkeiten, und zwar aus einem verwandten Grund: Man kann eine geschlossene Fläche mit einer einzelnen wiederholten Einheit in identischer Umgebung nicht öfter als sechzigmal parkettieren. Die Antwort von Caspar und Klug waren die Triangulationszahlen – eine Familie ikosaedrischer Anordnungen, bei denen Untereinheiten in nahezu äquivalenten Positionen sitzen statt in identischen. Die Buchführung unterscheidet sich von der des Fußballs (ihre Gitter sind trianguliert, und die zwölf besonderen Stellen sind fünfzählige Ecken statt fünfeckiger Flächen), aber der Druck ist derselbe, und das ist der Grund, warum eine Elektronenmikroskop-Aufnahme eines Adenovirus wie ein zwanzigseitiger Würfel aussieht. Das Virus imitiert keinen platonischen Körper. Ihm gehen schlicht die Alternativen aus.
Derselbe Zwang ist der Grund dafür, dass Buckminster Fullers Kuppeln ihre Fünfecke benötigen, warum C₆₀ bei genau sechzig Atomen stabil ist und warum ein Chemiker eine vorgeschlagene Fulleren-Struktur auf einen Blick ablehnen kann, wenn sie dreizehn Fünfecke aufweist.
Wofür dies ein Beispiel ist
Die nützliche Verallgemeinerung betrifft nicht Fünfecke. Sie besteht darin, dass manche Eigenschaften eines Objekts durch so wenige Informationen bestimmt werden, dass man sie ablesen kann, ohne das Objekt zu untersuchen.
Man muss einen Fußball nicht sehen, um zu wissen, dass er zwölf Fünfecke hat. Man muss wissen, dass er geschlossen ist, dass seine Flächen Fünfecke und Sechsecke sind und dass an jeder Ecke drei aufeinandertreffen. Alles andere – die Größe, das Material, die Anzahl der Sechsecke, ob er aufgepumpt ist – ist für diese spezielle Frage unerheblich.
Größen wie diese überstehen Verformungen und ignorieren Messfehler, weshalb es sich lohnt, sie zu lernen.