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Todas as bolas de futebol têm doze pentágonos, e não poderiam ter nenhum outro número
Uma bola de futebol, uma molécula de carbono-60 e o invólucro de um vírus não têm nada de óbvio em comum. As três estão a resolver a mesma restrição, e esta impõe sempre o mesmo número.
Pegue numa bola de futebol tradicional. É feita de pentágonos e hexágonos, com três painéis a encontrarem-se em cada vértice. Conte os pentágonos e encontrará doze.
Olhe agora para o buckminsterfulereno, a molécula de C₆₀ descoberta em 1985: sessenta átomos de carbono dispostos em pentágonos e hexágonos, três ligações em cada átomo. Doze pentágonos.
Olhe para uma cúpula geodésica. Os seus painéis são triângulos em vez de pentágonos, pelo que a contagem surge no outro lugar onde pode surgir: entre todas aquelas junções de seis vias existem exatamente doze onde se encontram apenas cinco triângulos. Os mesmos doze, sob outra forma.
É inevitável, e eis a demonstração.
As quatro linhas
Suponha que a estrutura tem V vértices, E arestas e F faces — e que cada face é um pentágono ou um hexágono, de modo que F = F₅ + F₆ sem mais nada permitido. (Admita um quadrado ou um heptágono e o resultado muda; isso não é um subterfúgio, é a hipótese a cumprir a sua função.)
Três faces encontram-se em cada vértice, e cada aresta é partilhada por exatamente duas faces. Contar as extremidades das arestas de duas formas diferentes dá 3V = 2E. Contar as arestas das faces da mesma forma dá 2E = 5F₅ + 6F₆.
Aplique agora a fórmula de Euler, V − E + F = 2, válida para qualquer poliedro convexo. Substitua, elimine as frações, e tudo se anula exceto um termo:
F₅ = 12
O número de hexágonos desapareceu por completo. Não surge na resposta, o que significa que não a pode afetar. Pode usar vinte hexágonos ou vinte mil; usará sempre doze pentágonos.
O mesmo facto, contado como curvatura
Existe uma segunda forma de o ver que explica por que razão os hexágonos desaparecem.
Um cubo é plano em toda a parte exceto em oito pontos. Percorra uma face e nada se curva. Dê a volta a um vértice e encontra 270° de material onde uma superfície plana teria oferecido 360°. Os 90° em falta são a curvatura, e num poliedro não há outro lugar onde a curvatura possa estar: está concentrada inteiramente nos vértices.
Some esse defeito ao longo de todos os oito vértices de um cubo: 8 × 90° = 720°. Faça o mesmo para um icosaedro: 12 × 60° = 720°. Para um dodecaedro: 20 × 36° = 720°. O total nunca muda. É de 720° para qualquer poliedro convexo existente, seja regular ou não, algo que Descartes notou por volta de 1630 e que é o teorema de Gauss–Bonnet com a curvatura concentrada em pontos em vez de distribuída suavemente sobre uma superfície.
Agora: três hexágonos regulares num vértice perfazem exatamente 3 × 120° = 360°. Ficam num plano e não contribuem em nada para os 720° que têm de estar lá.
Numa bola de futebol, cada vértice é composto por dois hexágonos e um pentágono: 120° + 120° + 108° = 348°, um defeito de 12°. Existem sessenta vértices desse tipo — um por átomo de carbono, na versão da C₆₀ — e 60 × 12° = 720°, exatamente. Os pentágonos suportam toda a curvatura do objeto e os hexágonos apenas os acompanham, razão pela qual pode adicionar quantos hexágonos quiser sem que a contagem de pentágonos se altere.
Pode observar o total a permanecer constante no Regular Tilings Lab: alterne entre os cinco sólidos platónicos e o defeito por vértice muda de cada vez, enquanto o produto pelo número de vértices permanece inalterado.
Onde a restrição se faz sentir
Em 1962, Donald Caspar e Aaron Klug perguntaram-se por que razão tantos vírus são icosaédricos. A pressão sobre um vírus é brutal: o seu genoma é minúsculo, pelo que pode codificar muito poucas proteínas distintas, e tem de construir um recipiente fechado a partir delas. O recipiente mais económico possível é uma única proteína repetida muitas vezes.
Contudo, um invólucro fechado montado a partir de unidades repetidas idênticas tem muito poucas opções, e por uma razão relacionada: não é possível revestir uma superfície fechada com uma única unidade repetida em ambientes idênticos mais de sessenta vezes. A resposta de Caspar e Klug foram os números de triangulação — uma família de arranjos icosaédricos nos quais as subunidades se encontram em posições quase equivalentes, em vez de idênticas. A contabilidade difere da da bola de futebol (as suas redes são trianguladas, e os doze locais especiais são vértices de ordem cinco em vez de painéis pentagonais), mas a pressão é a mesma, e é por isso que uma micrografia eletrónica de um adenovírus se parece com um dado de vinte faces. O vírus não está a imitar um sólido platónico. Está simplesmente a ficar sem alternativas.
A mesma restrição explica por que razão as cúpulas de Buckminster Fuller precisam dos seus pentágonos, por que razão a C₆₀ é estável com exatamente sessenta átomos, e por que razão um químico a olhar para uma estrutura proposta de fulereno a pode rejeitar num relance se esta tiver treze pentágonos.
O que este caso exemplifica
A generalização útil não diz respeito a pentágonos. Diz respeito ao facto de algumas propriedades de um objeto serem determinadas por tão pouca informação que as pode deduzir sem ter de inspecionar o objeto.
Não precisa de ver uma bola de futebol para saber que ela tem doze pentágonos. Só precisa de saber que é fechada, que as suas faces são pentágonos e hexágonos, e que três se encontram em cada vértice. Tudo o resto — o tamanho, o material, o número de hexágonos, estar ou não cheia — é irrelevante para essa questão em particular.
Grandezas como esta resistem à deformação e ignoram os erros de medição, e é por isso que vale a pena aprendê-las.