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すべてのサッカーボールには12個の五角形があり、それ以外の数になることはない
サッカーボール、炭素60分子、ウイルスの殻には、一見すると明確な共通点はない。しかしこの3つはすべて同じ制約を満たしており、その制約によって毎回必ず同じ数が導かれる。
伝統的なサッカーボールを手にとってみよう。それは五角形と六角形で構成されており、すべての頂点に3つのパネルが集まっている。五角形の数を数えると、12個あるはずだ。
次に、1985年に発見されたC₆₀分子であるバックミンスターフラーレンを見てみよう。60個の炭素原子が五角形と六角形に配置され、各原子には3つの結合がある。ここでも五角形は12個である。
ジオデシック・ドームを見てみよう。そのパネルは五角形ではなく三角形なので、その数値は現れうる別の場所に現れる。多数存在する6方向の接合部のうち、5つの三角形しか集まっていない場所が正確に12箇所あるのだ。装いを変えた、同じ12である。
これは必然であり、以下にその証明を示す。
4行の証明
多面体構造の頂点の数をV、辺の数をE、面の数をFとしよう。そして、すべての面は五角形または六角形のいずれかであり、それ以外は認められないとする。すなわち F = F₅ + F₆ である。（四角形や七角形を認めると答えは変わる。これは穴ではなく、前提条件がその役割を果たしているのである。）
各頂点には3つの面が集まり、それぞれの辺は正確に2つの面によって共有されている。辺の端の数を2通りの方法で数えることで 3V = 2E が得られる。同様に面の辺の数を数えることで 2E = 5F₅ + 6F₆ が得られる。
ここで、任意の凸多面体について成り立つオイラーの公式 V − E + F = 2 を適用する。代入して分母を払うと、1つの項を除いてすべてが相殺される。
F₅ = 12
六角形の数は完全に消失した。答えの中に現れないということは、答えに影響を与ええないことを意味する。六角形を20個使おうが20000個使おうが、使用する五角形は12個である。
曲率で語る同じ事実
六角形がなぜ消え去るのかを説明する、もうひとつの見方がある。
立方体は、8つの点を除いてあらゆる場所が平らである。面の上を進んでも何も曲がらない。頂点の周りを回ると、平らな面であれば360°あるはずの場所に、270°分の面が存在することがわかる。不足している90°が曲率であり、多面体において曲率は頂点以外の場所に存在しえない。すなわち、曲率はすべて頂点に集中しているのである。
立方体の8つの頂点すべてについて、その不足分を足し合わせてみよう: 8 × 90° = 720°。正二十面体の場合: 12 × 60° = 720°。正十二面体の場合: 20 × 36° = 720°。この合計が変化することはない。正多面体であるか否かにかかわらず、存在するあらゆる凸多面体において合計は720°となる。これはデカルトが1630年頃に気づいたことであり、曲率が曲面上に滑らかに広がるのではなく点に凝縮された形でのガウス・ボネの定理そのものである。
ここで、1つの頂点に3つの正六角形が集まると、正確に 3 × 120° = 360° となる。これらは平らに伏し、そこに存在しなければならない 720° に何ひとつ寄与しない。
サッカーボールでは、すべての頂点が2つの六角形と1つの五角形からなる: 120° + 120° + 108° = 348° であり、12°の不足となる。このような頂点は60個存在し（C₆₀分子においては炭素原子1個につき1つの頂点）、60 × 12° = 720° と正確に一致する。五角形が物体の曲率のすべてを担っており、六角形はただそれに付き添っているにすぎない。だからこそ、六角形をいくら追加しても、五角形の数が変わることはないのである。
この合計値が変わらない様子は Regular Tilings Lab で確かめることができる。5つのプラトン立体を切り替えると、頂点あたりの角欠陥はその都度変化するが、頂点数との積は変化しない。
この制約が顕現する場所
1962年、ドナルド・キャスパーとアーロン・クルーグは、なぜこれほど多くのウイルスが正二十面体構造をしているのかという疑問を投げかけた。ウイルスにかかる淘汰圧は非常に厳しい。ゲノムが極めて小さいため、コードできるタンパク質の種類がごくわずかに限られており、その中から閉じた容器を組み立てなければならないからである。最も省コストな容器は、単一のタンパク質を何度も繰り返して使うことである。
しかし、まったく同一の反復単位から組み立てられる閉じた殻には、選べる構造がほとんど存在しない。それには関連する理由がある。同一の周囲環境を持つ単一の反復単位で閉曲面を敷き詰めることができるのは、高々60回までだからである。キャスパーとクルーグが出した答えは「三角分割数」であった。これは、サブユニットが完全に同一の位置ではなく、ほぼ等価な位置に配置される正二十面体構造の配列群である。その計算規則はサッカーボールのものとは異なっているが（彼らの格子は三角形に分割されており、12箇所の特別な部位は五角形パネルではなく5回対称の頂点である）、受けている制約圧力はまったく同じものである。そしてこれこそが、アデノウイルスの電子顕微鏡写真が20面体のサイコロのように見える理由である。ウイルスはプラトン立体を模倣しているのではない。他の選択肢が存在しないのである。
バックミンスター・フラーのドームに五角形が必要な理由、C₆₀が正確に60個の原子で安定する理由、そして化学者が提案されたフラーレン構造を見て五角形が13個あれば一目で却下できる理由は、すべてこの同じ制約によるものである。
これが示している一般的な原意
ここから得られる有益な一般化は、五角形に関するものではない。対象のいくつかの性質はごくわずかな情報によって決定されるため、実物を観察することなくそれを読み取ることができる、ということである。
サッカーボールに12個の五角形があることを知るために、実物のサッカーボールを見る必要はない。それが閉じており、面が五角形と六角形であり、各頂点に3つの面が集まっていることさえ知っていればよい。それ以外のすべてのこと――大きさ、素材、六角形の数、空気で膨らんでいるかどうか――はその特定の問いにとって無関係である。
このような不変量は変形を受けても保たれ、測定誤差の影響を受けない。それこそが、学ぶ価値のある量である理由なのだ。