Fórmulas del ángulo compuesto

Define A y B en grados o como suelen pedirlo en los exámenes: mediante el valor de una razón trigonométrica y su cuadrante. Luego elige A + B o A − B. El gráfico llega al punto P en dos tramos: cos B a lo largo del eje girado y ±sin B en dirección perpendicular. La tabla calcula las tres fórmulas y halla el seno y el coseno exactos con radicales cuando A y B son múltiplos de 15°, e incluye la tangente siempre que esté definida.

Seno	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
Coseno, signo opuesto	$cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
Tangente	$tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}$

Ejemplo resuelto — Fórmulas del ángulo compuesto

Ángulo compuesto	75°
Seno de A	0,7071
Coseno de A	0,7071
Seno de B	0,5
Coseno de B	0,866
Fórmula del seno	0,9659
Fórmula del coseno	0,2588
Fórmula de la tangente	3,7321

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Fórmulas del ángulo compuesto

Las fórmulas del ángulo compuesto permiten calcular el seno, el coseno y la tangente de A + B y de A − B a partir de los senos y cosenos de A y B.

De dónde viene la fórmula

Gira los ejes un ángulo A. El nuevo eje x apunta en la dirección de (cos A, sin A) y el nuevo eje y en la de (−sin A, cos A). Visto desde este sistema girado, el punto P forma un ángulo B; por tanto, se sitúa a una distancia cos B sobre el primero y sin B sobre el segundo.
$P = cos B (cos A, sin A) + sin B (- sin A, cos A)$
Lee las coordenadas de P. Respecto al eje x original, el ángulo de P es A + B, de modo que sus coordenadas son cos(A + B) y sin(A + B). Cada una surge de dos productos: los catetos naranjas en horizontal y los catetos azules en vertical.
$cos (A + B) sin (A + B) = cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B + cos A sin B$
Sustituye B por −B. Como cos(−B) = cos B y sin(−B) = −sin B, únicamente cambian de signo los términos que contienen sin B.
$cos (A - B) sin (A - B) = cos A cos B + sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B$
Divide el seno entre el coseno. Al dividir cada término entre cos A cos B, los cocientes se transforman en tangentes y aparece un 1; este paso exige que ni cos A ni cos B sean cero.
$tan (A + B) = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B - sin A sin B} = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

Problemas resueltos al detalle

Un valor exacto a partir de la suma de ángulos notables 2 pasos
Halla el valor exacto de sin 75°.

Abre este problema en la herramienta
1. 75° = 45° + 30°, y conocemos los senos y cosenos exactos de ambos. Desarrolla:
  
  $sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
2. Sustituye y escribe ambos términos con común denominador 4:
  
  $= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$
Respuesta

sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0.9659$
Una tangente exacta a partir de una diferencia 2 pasos
Calcula el valor exacto de tan 15° de la forma a + b√3.

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1. 15° = 60° − 45°, con tan 60° = √3 y tan 45° = 1:
  
  $tan 1 5^{\circ} = \frac{tan 6 0 ^{\circ} - tan 4 5 ^{\circ}}{1 + tan 6 0 ^{\circ} tan 4 5 ^{\circ}} = \frac{3 - 1}{1 + 3}$
2. Racionaliza multiplicando numerador y denominador por √3 − 1:
  
  $= \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$
Respuesta

tan 15° = 2 − √3 ≈ 0,2679.

$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3 \approx 0.2679$
Un seno y un coseno en dos cuadrantes 3 pasos
Siendo sin A = 4/5 con A obtuso, y cos B = −5/13 con 180° < B < 270°, calcula sin(A + B), cos(A + B) y tan(A + B), e indica en qué cuadrante queda A + B.

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1. Calcula primero los dos valores que faltan mediante sin² + cos² = 1, asignando a cada uno el signo de su cuadrante: el coseno es negativo en el segundo cuadrante y el seno es negativo en el tercero.
  
  $cos A = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}, sin B = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}$
2. Aplica después las fórmulas de la suma:
  
  $sin (A + B) cos (A + B) = \frac{4}{5} (- \frac{5}{13}) + (- \frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) = \frac{- 20 + 36}{65} = \frac{16}{65} = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} (- \frac{12}{13}) = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}$
3. Ambos resultados son positivos. Como A + B está entre 270° y 450°, y tanto el seno como el coseno son positivos, el ángulo debe situarse entre 360° y 450°, es decir, en el cuadrante I. Su tangente es el cociente:
  
  $tan (A + B) = \frac{16/65}{63/65} = \frac{16}{63}$
Respuesta

sin(A + B) = 16/65 ≈ 0,2462, cos(A + B) = 63/65 ≈ 0,9692, tan(A + B) = 16/63 ≈ 0,254, y A + B queda en el cuadrante I.

$sin (A + B) = \frac{16}{65}, cos (A + B) = \frac{63}{65}, tan (A + B) = \frac{16}{63}$
La suma de dos ángulos a partir de sus tangentes 2 pasos
Con tan A = 1/2 y tan B = 1/3, siendo A y B agudos, halla A + B sin usar calculadora.

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1. Introduce ambas tangentes en la fórmula:
  
  $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{5/6}{5/6} = 1$
2. Como las dos tangentes son menores que 1, A y B miden menos de 45° cada uno, y su suma A + B está entre 0° y 90°. En ese intervalo, el único ángulo con tangente 1 es 45°.
  
  $0^{\circ} < A + B < 9 0^{\circ}, tan (A + B) = 1 \Rightarrow A + B = 4 5^{\circ}$
Respuesta

A + B = 45°, aunque A ≈ 26,5651° y B ≈ 18,4349° no sean ángulos notables.

$A + B = 4 5^{\circ}$
Cuando tan(A + B) no está definida 3 pasos
Con tan A = 2 y tan B = 1/2, siendo A y B agudos, ¿qué ocurre con tan(A + B) y cuánto vale A + B?

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1. El denominador de la fórmula se anula:
  
  $1 - tan A tan B = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$
2. Dicho denominador es cos(A + B)/(cos A cos B), y como cos A cos B es distinto de cero:
  
  $1 - tan A tan B = \frac{cos ( A + B )}{cos A cos B} = 0 \Rightarrow cos (A + B) = 0$
3. A + B se encuentra entre 0° y 180°, y el único ángulo en ese intervalo con coseno 0 es 90°:
  
  $0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ} \Rightarrow A + B = 9 0^{\circ}$
Respuesta

tan(A + B) no está definida, porque A + B = 90°. Para ángulos agudos A y B, la condición tan A tan B = 1 significa siempre que ambos suman 90°.

$A + B = 9 0^{\circ}, cos (A + B) = 0$
Reconducir a un único ángulo compuesto 2 pasos
Halla el valor exacto de cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°.

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1. cos · cos + sin · sin es el desarrollo de cos(A − B), en este caso con A = 80° y B = 20°:
  
  $cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos (8 0^{\circ} - 2 0^{\circ})$
2. y 80° − 20° = 60°:
  
  $= cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Respuesta

cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° = cos 60° = 1/2.

$cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
Demostración de una identidad 3 pasos
Demuestra que sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B y compruébalo con A = 45°, B = 30°.

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1. Desarrolla ambos senos:
  
  $sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B)$
2. Los términos cos A sin B se cancelan:
  
  $= 2 sin A cos B$
3. Con 45° y 30°, el miembro izquierdo es sin 75° + sin 15° y el derecho es 2 sin 45° cos 30°:
  
  $\frac{6 + 2}{4} + \frac{6 - 2}{4} = \frac{6}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}$
Respuesta

sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B para cualesquiera A y B; con 45° y 30°, ambos miembros valen √6/2 ≈ 1,2247.

$sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$
Deducción del ángulo doble 2 pasos
Haz B = A en las fórmulas de la suma para hallar sin 2A y cos 2A, y calcula su valor si sin A = 3/5 y A es obtuso.

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1. Al tomar B = A, los dos productos del seno son iguales y el coseno se convierte en una diferencia de cuadrados:
  
  $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$
2. Como A es obtuso, cos A = −4/5:
  
  $sin 2 A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$
Respuesta

sin 2A = −24/25 = −0,96 y cos 2A = 7/25 = 0,28. El ángulo 2A ≈ 286,2602° queda en el cuadrante IV, donde el seno es negativo y el coseno positivo.

$sin 2 A = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{7}{25}$
Una ecuación con ángulo compuesto 3 pasos
Resuelve sin(x + 30°) = 2 cos x para 0° ≤ x < 360°.

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1. Desarrolla el miembro izquierdo:
  
  $sin x cos 3 0^{\circ} + cos x sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$
2. Agrupa los términos con cos x a la derecha y divide entre cos x. Este no puede ser 0: de serlo, la ecuación obligaría a que sin x también fuera 0, y ningún ángulo anula ambos a la vez.
  
  $\frac{3}{2} sin x = \frac{3}{2} cos x \Rightarrow tan x = 3$
3. La tangente tiene un período de 180°:
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$
Respuesta

x = 60° o x = 240°. En 60°, ambos miembros valen 1, y en 240°, ambos valen −1.

$x = 6 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula el valor exacto de cos 105°.

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(√2 − √6)/4 ≈ −0,2588

$cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$
Calcula el valor exacto de tan 105°.

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−2 − √3 ≈ −3,7321

$tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$
Con sin A = 5/13 y cos B = 3/5, siendo A y B agudos, halla cos(A − B).

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56/65 ≈ 0,8615

$cos (A - B) = \frac{56}{65}$
Expresa sin 3x cos x − cos 3x sin x como una sola razón trigonométrica.

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sin 2x

$sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = sin 2 x$
Con tan A = 3 y tan B = 1/2, siendo A y B agudos, halla A − B.

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A − B = 45°

$A - B = 4 5^{\circ}$
Resuelve cos(x − 60°) = sin x para 0° ≤ x < 360°.

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x = 75° o x = 255°

$x = 7 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$

Las fórmulas son una rotación desarrollada 🖖

Si tomas como referencia el eje girado un ángulo A, el punto P forma con él un ángulo B. Llegas hasta P avanzando cos B a lo largo de ese eje hasta un punto Q, y luego sin B en perpendicular. Cada uno de esos dos tramos se descompone a su vez en una parte horizontal y otra vertical. En horizontal: avanzas cos A cos B y retrocedes sin A sin B. En vertical: sumas sin A cos B y cos A sin B. La coordenada horizontal de P es cos(A + B) y la vertical es sin(A + B). Nada de esto exige que los ángulos sean agudos: los propios productos arrastran sus signos y, si un cateto cambia de sentido, el signo cambia con él. Pulsa sin A = 4/5, cos B = −5/13: A es obtuso, B pertenece al cuadrante III, Q queda detrás de O sobre el eje girado y las mismas sumas conducen exactamente a P en (0,9692; 0,2462). En lenguaje matricial, (cos(A + B), sin(A + B)) resulta de aplicar la matriz de rotación de A sobre (cos B, sin B). Por eso las dos fórmulas y la idea de que girar primero A y luego B equivale a girar A + B expresan lo mismo. Ya en el siglo II, Claudio Ptolomeo trabajaba con cuerdas en vez de senos; sus teoremas para la cuerda de la suma y de la diferencia de arcos corresponden a estas fórmulas del seno, y con ellos calculó su célebre tabla de cuerdas de medio en medio grado.

sin(A + B) casi nunca coincide con sin A + sin B 🖖

Pulsa sin 75° = sin(45° + 30°). Verás que sin 45° + sin 30° = 0,7071 + 0,5 = 1,2071, una cantidad mayor de lo que puede valer cualquier seno, mientras que sin 75° = 0,9659. La fórmula pondera cada seno con el coseno del otro ángulo, y ningún coseno supera el valor 1. Ambas expresiones solo coinciden si A, B o A + B suman un número entero de vueltas completas. La razón se ve al factorizar su diferencia: sin A + sin B − sin(A + B) = 4 sin(A/2) sin(B/2) sin((A + B)/2). La intuición falla en casi cualquier caso. Se cumple, por ejemplo, con 120° y 240°, donde A + B = 360° y ambos miembros valen 0.

La fórmula de la tangente puede fallar aunque la tangente exista 🖖

Pulsa A = 90°, B = 45°. La tangente de 135° vale −1, pero la fórmula tropieza al pedir tan 90°, que no existe. El ángulo no tiene nada de anómalo: lo que ocurre es que al deducir la fórmula se dividió entre cos A cos B, y cos 90° = 0. Si divides numerador y denominador entre tan A (siempre que tan A exista y no sea 0), obtienes (1 + cot A tan B)/(cot A − tan B). Esta variante sí tiene sentido en 90°: como cot 90° = 0, queda 1/(0 − 1) = −1. El otro fallo sí es geométrico. Pulsa tan A = 2, tan B = 1/2: el denominador 1 − tan A tan B se anula. Como ese denominador equivale a cos(A + B)/(cos A cos B), se hace 0 precisamente cuando se anula cos(A + B), y aquí A + B = 90°, donde la tangente no existe. En ángulos agudos, tan A tan B = 1 significa simplemente que B = 90° − A.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (2)

The sum and difference formulae for sine, cosine and tangent, the exact value of cos 75° from 45° + 30°, and the unit-circle distance proof of cos(α − β): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.2, “Sum and Difference Identities”.
Insight block 1: Ptolemy (about AD 85 to 165) “used formulae for the Crd function which are analogous to our formulae for sin(a+b) and sin(a−b)” to build a table of chords “at intervals of 1/2 a degree”, in the first two books of the Almagest: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Claudius Ptolemy”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (April 1999).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.