Resolución de ecuaciones trigonométricas

Escribe una ecuación y un intervalo. La página halla el valor principal de la calculadora, el otro valor de esa misma vuelta (para el seno y el coseno) y todas las soluciones que contiene el intervalo. Además, muestra cada una dos veces: en el corte de la curva con la recta horizontal y donde la espiral del argumento cruza un radio solución en la circunferencia.

sin x = k, \|k\| ≤ 1	$x = α + 2 nπ, x = π - α + 2 nπ α = arcsin k$
cos x = k, \|k\| ≤ 1	$x = \pm α + 2 nπ, α = arccos k$
tan x = k, cualquier k	$x = α + nπ, α = arctan k$

Ejemplo resuelto — Resolución de ecuaciones trigonométricas

Valor principal (calculadora)	17,46°
Otro valor de la misma vuelta	162,54°
Solución general, con n entero	162,54° + 360°n
Soluciones en el intervalo	17,46°, 162,54°
Número de soluciones	2

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Resolución de ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica pide hallar todos los ángulos de un intervalo dado en los que una expresión trigonométrica alcanza cierto valor. Su solución general prescinde del intervalo y recopila todos los ángulos que la resuelven en familias de la forma x = x₀ + n × periodo, con n perteneciente a los enteros: una o dos familias por cada valor que deba tomar la función.

De dónde viene la fórmula

Halla el valor principal. α = arcsin k es el único valor que devuelve la calculadora, dentro de un rango prefijado. Aunque quede fuera del intervalo, sigue siendo el punto de partida para resolver la ecuación.
$arcsin k arccos k arctan k \in [- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}] \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}] \in (- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$
Halla el otro valor de la misma vuelta a partir de las simetrías de la circunferencia: la recta y = k corta a la circunferencia en α y 180° − α; la recta x = k, en α y −α; y la recta que pasa por el origen con pendiente k, en α y α + 180°.
$sin x = k : cos x = k : tan x = k : α, 18 0^{\circ} - α α, - α α, α + 18 0^{\circ}$
Suma periodos enteros hasta cubrir el intervalo del argumento y despeja x. Para f(ax + b), el argumento u = ax + b recorre desde a·x₁ + b hasta a·x₂ + b, y cada valor de u proporciona x = (u − b)/a.
$u = u_{0} + 36 0^{\circ} n (tan : u_{0} + 18 0^{\circ} n), x = \frac{u - b}{a}$
¿Dos funciones distintas o un término al cuadrado? Reduce a una sola y obtén una ecuación de segundo grado. Sustituye cos²x por 1 − sin²x, resuelve para s = sin x y quédate únicamente con las raíces comprendidas entre −1 y 1.
$cos^{2} x = 1 - sin^{2} x, s = sin x, - 1 \leq s \leq 1$

Supone: sin x = k y cos x = k solo tienen solución si −1 ≤ k ≤ 1; tan x = k tiene solución para cualquier valor de k.

Problemas resueltos al detalle

sin x = k, en grados 3 pasos
Resuelve sin x = 0,3 para 0° ≤ x ≤ 360°, con dos decimales.

Abre este problema en la herramienta
1. El valor principal es el que da la calculadora:
  
  $α = arcsin 0.3 = 17.4 6^{\circ}$
2. El seno es positivo en los cuadrantes I y II, y el otro valor de la vuelta es 180° − α:
  
  $x = 18 0^{\circ} - 17.4 6^{\circ} = 162.5 4^{\circ}$
3. Al sumar o restar 360° ambos salen del intervalo, por lo que no hay más:
  
  $17.4 6^{\circ} + 36 0^{\circ} = 377.4 6^{\circ} > 36 0^{\circ}, 162.5 4^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 197.4 6^{\circ} < 0^{\circ}$
Respuesta

x = 17,46° o x = 162,54°.

$x = 17.4 6^{\circ}, x = 162.5 4^{\circ}$
cos x = k, en un intervalo centrado en 0 3 pasos
Resuelve cos x = −0,6 para −180° ≤ x ≤ 180°.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. arccos devuelve un valor de 0° a 180°, aquí en el cuadrante II, donde el coseno es negativo:
  
  $α = arccos (- 0.6) = 126.8 7^{\circ}$
2. El otro valor es −α, su simétrico respecto al eje x:
  
  $x = - α = - 126.8 7^{\circ}$
3. Ambos quedan dentro del intervalo, y sumar o restar otro periodo deja a ambos fuera:
  
  $126.8 7^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 233.1 3^{\circ} < - 18 0^{\circ}, - 126.8 7^{\circ} + 36 0^{\circ} = 233.1 3^{\circ} > 18 0^{\circ}$
Respuesta

x = ±126,87°.

$x = \pm 126.8 7^{\circ}$
tan x = k, cuando el valor de la calculadora queda fuera del intervalo 2 pasos
Resuelve tan x = −2 para 0° ≤ x ≤ 360°.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. La calculadora da un ángulo negativo, fuera del intervalo:
  
  $α = arctan (- 2) = - 63.4 3^{\circ}$
2. La tangente se repite cada 180°, así que sumamos 180° una y dos veces; sumarlo tres veces daría 476,57°, sobrepasando los 360°:
  
  $x = - 63.4 3^{\circ} + 18 0^{\circ} = 116.5 7^{\circ}, x = - 63.4 3^{\circ} + 36 0^{\circ} = 296.5 7^{\circ}$
Respuesta

x = 116,57° o x = 296,57°. El valor −63,43° de la calculadora no es ninguno de los dos.

$x = 116.5 7^{\circ}, x = 296.5 7^{\circ}$
Solución exacta en radianes 3 pasos
Resuelve sin x = −√3/2 para 0 ≤ x ≤ 2π, dando soluciones exactas.

Abre este problema en la herramienta
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1. Como sin(π/3) = √3/2, el valor principal es su negativo:
  
  $α = arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}$
2. El otro valor de la vuelta es π − α:
  
  $x = π - (- \frac{π}{3}) = \frac{4 π}{3}$
3. Como α es negativo, sumamos 2π para situarlo dentro del intervalo:
  
  $x = - \frac{π}{3} + 2 π = \frac{5 π}{3}$
Respuesta

x = 4π/3 o x = 5π/3.

$x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}$
Un argumento compuesto cambia el número de soluciones 3 pasos
Resuelve sin(2x − 30°) = √3/2 para 0° ≤ x ≤ 360°.

Abre este problema en la herramienta
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1. Llamamos u = 2x − 30°. Al recorrer x de 0° a 360°, u abarca dos vueltas completas:
  
  $u = 2 x - 3 0^{\circ} : 2 \cdot 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = - 3 0^{\circ} \leq u \leq 2 \cdot 36 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 69 0^{\circ}$
2. En una vuelta sin u = √3/2 en 60° y 120°; otra vuelta más suma 360° a cada uno:
  
  $u = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 42 0^{\circ}, 48 0^{\circ}$
3. Deshacemos el argumento, x = (u + 30°)/2:
  
  $x = \frac{u + 3 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Respuesta

Cuatro soluciones: x = 45°, 75°, 225° y 255°. Si hubiésemos resuelto para u solo de 0° a 360°, habríamos hallado dos.

$x = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Ecuación de segundo grado en cos x con una raíz que se descarta 3 pasos
Resuelve 2cos²x + 3cos x − 2 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Hacemos s = cos x y factorizamos:
  
  $2 s^{2} + 3 s - 2 = (2 s - 1) (s + 2) = 0$
2. s = −2 es raíz de la cuadrática, pero el coseno nunca baja de −1; solo queda una ecuación:
  
  $s = \frac{1}{2}, s = - 2 < - 1$
3. cos x = 1/2 da α = 60°, y el otro valor, −60°, pasa a ser 300° dentro del intervalo:
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$
Respuesta

x = 60° o x = 300°.

$x = 6 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
Uso de sin²x + cos²x = 1 para reducir a una sola función 3 pasos
Resuelve 2cos²x + 3sin x − 3 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. La ecuación tiene coseno y seno. Sustituimos cos²x por 1 − sin²x para que solo quede sin x:
  
  $2 (1 - sin^{2} x) + 3 sin x - 3 = 0 \Rightarrow 2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$
2. Factorizamos con s = sin x:
  
  $(2 s - 1) (s - 1) = 0, s = \frac{1}{2}, s = 1$
3. sin x = 1/2 da 30° y 150°; sin x = 1 solo da 90°, donde α y 180° − α coinciden:
  
  $x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}; x = 9 0^{\circ}$
Respuesta

Tres soluciones: x = 30°, 90° y 150°.

$x = 3 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$
Dividir para obtener tan x 2 pasos
Resuelve √3 sin x = cos x para −π ≤ x ≤ π.

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1. Donde cos x = 0 se tiene sin x = ±1 y el primer miembro vale ±√3, distinto de 0; ninguna solución tiene cos x = 0 y dividir entre él no descarta nada:
  
  $\frac{3 sin x}{cos x} = \frac{cos x}{cos x} \Rightarrow tan x = \frac{1}{3}$
2. α = arctan(1/√3) = π/6, y la tangente se repite cada π:
  
  $x = \frac{π}{6}, x = \frac{π}{6} - π = - \frac{5 π}{6}$
Respuesta

x = −5π/6 o x = π/6.

$x = - \frac{5 π}{6}, x = \frac{π}{6}$
La solución general 3 pasos
Halla la solución general de cos 2x = −1/2 en radianes y lista las soluciones entre 0 y 2π.

Abre este problema en la herramienta
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1. arccos(−1/2) = 2π/3, y las soluciones del coseno vienen en parejas ±α, repitiéndose cada 2π:
  
  $2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$
2. Dividimos entre 2, lo que reduce también el periodo a la mitad:
  
  $x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$
3. Entre 0 y 2π, con n = 0, 1 y 2 se obtiene
  
  $x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$
Respuesta

x = ±π/3 + nπ para todo entero n; entre 0 y 2π son π/3, 2π/3, 4π/3 y 5π/3.

$x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Resuelve cos x = 0,25 para 0° ≤ x ≤ 360°, con dos decimales.

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x = 75,52° o x = 284,48°. La calculadora da 75,52° y el otro valor es −75,52°, que da 284,48° en el intervalo.

$x = 75.5 2^{\circ}, x = 284.4 8^{\circ}$
Resuelve tan(x/2) = 3 para 0° ≤ x ≤ 360°. ¿Cuántas soluciones hay?

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Una: x = 143,13°. El argumento x/2 solo va de 0° a 180°, media vuelta, y en esa media vuelta la tangente vale 3 únicamente en x/2 = 71,57°.

$x = 143.1 3^{\circ}$
Resuelve 3sin²x − sin x − 2 = 0 para 0° ≤ x ≤ 360°, con dos decimales.

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(3sin x + 2)(sin x − 1) = 0. sin x = 1 da 90°; sin x = −2/3 da 221,81° y 318,19°. Tres soluciones.

$x = 9 0^{\circ}, 221.8 1^{\circ}, 318.1 9^{\circ}$
Resuelve 2sin²x = cos x + 1 para 0 ≤ x ≤ 2π, de forma exacta.

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Con sin²x = 1 − cos²x se tiene 2cos²x + cos x − 1 = 0, así que cos x = 1/2 o cos x = −1: x = π/3, π y 5π/3.

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$
Halla la solución general de sin 3x = 1/2, en grados.

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3x = 30° + 360°n o 3x = 150° + 360°n, de modo que x = 10° + 120°n o x = 50° + 120°n.

$x = 1 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 5 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n$

Tres reglas, tres simetrías de la circunferencia 🖖

El seno mide la altura del punto en la circunferencia goniométrica. Los dos puntos a altura k son simétricos respecto al eje y, razón por la cual sin x = k da α y 180° − α. El coseno es la coordenada horizontal, con sus dos puntos simétricos respecto al eje x: α y −α. La tangente es la pendiente de la recta que pasa por el origen. Como esa recta corta a la circunferencia en dos puntos opuestos, α y α + 180°, la tangente se repite cada media vuelta, mientras que el seno y el coseno necesitan una vuelta entera. Pulsa cos x = −0,6 y verás que la recta vertical x = −0,6 corta la circunferencia en ±126,87°; pulsa tan x = −2 y la recta de pendiente −2 la cortará en 116,57° y 296,57°, a media vuelta de distancia.

Contar las soluciones antes de hallarlas 🖖

Pulsa sin(2x − 30°) = √3/2. Cuando x va de 0° a 360°, el argumento 2x − 30° recorre desde −30° hasta 690°, exactamente dos vueltas. La espiral cruza cada uno de los dos radios de solución una vez por vuelta: cuatro soluciones, contadas antes de despejar ninguna. Si resolvieses sin u = √3/2 solo entre 0° y 360°, hallarías u = 60° y 120°, con lo que x = 45° y 75°, quedándote dos respuestas corto. En vueltas completas, contando un extremo y no el otro, el recuento da exactamente dos soluciones por vuelta para el seno y el coseno cuando −1 < k < 1, y lo mismo para la tangente con cualquier k, pues su periodo es de media vuelta. En k = ±1 los dos puntos coinciden en uno solo; y si una solución cae justo en un extremo del intervalo, solo cuenta si ese extremo está incluido con ≤ en lugar de <.

Dividir entre sin x elimina soluciones 🖖

2 sin x cos x = sin x parece simplificarse a 2 cos x = 1, que da 60° y 300° entre 0° y 360°. Pero dividir entre sin x presupone que sin x ≠ 0. En 0°, 180° y 360° ambos miembros valen 0, de modo que esos tres ángulos resuelven la ecuación y la división los ha borrado. Factorizar los conserva: sin x (2 cos x − 1) = 0 da sin x = 0 o bien cos x = 1/2, cinco soluciones en vez de dos. Dividir solo es seguro cuando los ceros del divisor no pueden ser soluciones. En √3 sin x = cos x no lo son: donde cos x = 0 se tiene sin x = ±1 y el primer miembro vale ±√3, así que dividir entre cos x para llegar a tan x = 1/√3 no pierde nada.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (1)

Solving trigonometric equations on an interval and in general (adding 2πk to an initial solution), with multiple angles such as sin 2x, equations in quadratic form, and fundamental identities used first: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.5, “Solving Trigonometric Equations”.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.