Funciones trigonométricas inversas

Escribe x en forma decimal, como fracción o con una raíz: obtendrás el único ángulo del rango principal cuyo seno, coseno o tangente es x, o bien la explicación de por qué no existe. También puedes arrastrar θ para observar cómo f⁻¹(f(θ)) se repliega dentro de ese rango.

Seno inverso	$sin^{- 1} x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], - 1 \leq x \leq 1$
Coseno inverso	$cos^{- 1} x \in [0, π], - 1 \leq x \leq 1$
Tangente inversa	$tan^{- 1} x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), x \in R$
Deshacer el seno	$sin (sin^{- 1} x) = x sin^{- 1} (sin θ) = θ ⟺ - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$

Ejemplo resuelto — Funciones trigonométricas inversas

Valor de partida	−0,5
Valor principal, en radianes	−0,5236
En grados	−30°
cos(sin⁻¹ x), según el triángulo	0,866

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas sin⁻¹ x, cos⁻¹ x y tan⁻¹ x (también escritas como arcsin, arccos y arctan) devuelven el único ángulo dentro de un intervalo fijo, llamado valor principal, cuyo seno, coseno o tangente es x. El superíndice −1 indica función inversa, no exponente: sin⁻¹ x no es 1/sin x.

De dónde viene la fórmula

El seno no es inyectivo. Infinitos ángulos comparten un mismo valor de seno; decir «el ángulo cuyo seno vale ½» no define nada concreto hasta fijar un criterio de elección.
$sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = sin (- \frac{7 π}{6}) = \frac{1}{2}$
Restringir y luego invertir. Entre −π/2 y π/2 el seno crece de −1 a 1 pasando por cada valor una sola vez, por lo que en ese tramo sí admite inversa. Por la misma razón, el coseno se restringe a 0 ≤ y ≤ π y la tangente a −π/2 < y < π/2.
$y = sin^{- 1} x ⟺ sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
Solo deshace el seno en un sentido. Se cumple sin(sin⁻¹ x) = x para cualquier x admisible, pero sin⁻¹(sin θ) únicamente devuelve θ si este ya se encontraba en el rango. Si no, devuelve el ángulo de dicho rango que tiene ese mismo seno.
$sin (sin^{- 1} x) = x (- 1 \leq x \leq 1), sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Las composiciones se deducen con un triángulo rectángulo. Tomando y = sin⁻¹ x, resulta sin y = x. El teorema de Pitágoras da el cateto restante y el rango determina su signo.
$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}$

Supone: sin⁻¹ y cos⁻¹ solo admiten −1 ≤ x ≤ 1; tan⁻¹ admite cualquier número real.

Problemas resueltos al detalle

Un seno negativo 2 pasos
Calcula el valor exacto de sin⁻¹(−1/2).

Abre este problema en la herramienta
1. El resultado debe pertenecer al rango de sin⁻¹:
  
  $- \frac{π}{2} \leq sin^{- 1} x \leq \frac{π}{2}$
2. El seno de π/6 vale 1/2 y la función seno es impar, así que el ángulo del rango es −π/6:
  
  $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$
Respuesta

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. Aunque 7π/6 y 11π/6 tienen ese mismo seno, quedan fuera del rango.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} \approx - 0.5236$
Un coseno negativo 2 pasos
Calcula el valor exacto de cos⁻¹(−√3/2).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El rango va de 0 a π, y el ángulo de referencia es π/6:
  
  $0 \leq cos^{- 1} x \leq π, cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
2. Dentro del rango, el coseno solo es negativo a partir de π/2, de modo que el ángulo es π − π/6:
  
  $cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$
Respuesta

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$cos^{- 1} (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6} \approx 2.618$
Una tangente inversa 2 pasos
Calcula el valor exacto de tan⁻¹(−√3).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. tan⁻¹ admite cualquier número real y devuelve valores estrictamente entre −π/2 y π/2:
  
  $- \frac{π}{2} < tan^{- 1} x < \frac{π}{2}, x \in R$
2. Como tan(π/3) = √3 y la tangente es impar:
  
  $tan \frac{π}{3} = 3 \Rightarrow tan (- \frac{π}{3}) = - 3$
Respuesta

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$tan^{- 1} (- 3) = - \frac{π}{3} \approx - 1.0472$
Qué inversas existen 2 pasos
¿Cuáles de las expresiones sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) y tan⁻¹ 1,5 existen? Calcula las que estén definidas.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El seno y el coseno son coordenadas de un punto en la circunferencia unidad, por lo que sin⁻¹ y cos⁻¹ solo admiten valores de −1 a 1:
  
  $sin^{- 1} x, cos^{- 1} x : - 1 \leq x \leq 1; 1.5 \in / [- 1, 1], - 1.2 \in / [- 1, 1]$
2. La tangente toma cualquier valor real, por lo que tan⁻¹ 1,5 sí existe. Al no ser un ángulo notable, se obtiene con calculadora en radianes:
  
  $tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828 \approx 56.309 9^{\circ}$
Respuesta

Solo existe tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828, unos 56,3099°. sin⁻¹ 1,5 y cos⁻¹(−1,2) no están definidas.

$tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828$
Deshacer el seno fuera del rango 2 pasos
Calcula sin⁻¹(sin 5π/6).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Como 5π/6 queda fuera del rango, el resultado no puede ser 5π/6:
  
  $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{2}$
2. π − θ tiene el mismo seno que θ, y π − 5π/6 sí está dentro del rango:
  
  $sin (π - \frac{5 π}{6}) = sin \frac{5 π}{6}, π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
Respuesta

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Deshacer el coseno fuera del rango 2 pasos
Calcula cos⁻¹(cos 4π/3).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. 4π/3 es mayor que π, por lo que queda fuera del rango:
  
  $\frac{4 π}{3} > π$
2. 2π − θ tiene el mismo coseno que θ porque el coseno es par y periódico con periodo 2π, y 2π − 4π/3 sí pertenece al rango:
  
  $cos (2 π - \frac{4 π}{3}) = cos \frac{4 π}{3}, 2 π - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3} \in [0, π]$
Respuesta

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$cos^{- 1} (cos \frac{4 π}{3}) = \frac{2 π}{3}$
Una composición con valor negativo 3 pasos
Calcula el valor exacto de tan(cos⁻¹(−3/5)).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Llamemos y al ángulo. Su coseno vale −3/5, de modo que el rango lo sitúa por encima de π/2:
  
  $y = cos^{- 1} (- \frac{3}{5}) : cos y = - \frac{3}{5}, \frac{π}{2} < y \leq π$
2. Allí el seno es positivo, así que a partir de sin²y + cos²y = 1
  
  $sin y = + 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
3. y como tan y = sin y / cos y:
  
  $tan y = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$
Respuesta

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$tan (cos^{- 1} (- \frac{3}{5})) = - \frac{4}{3} \approx - 1.3333$
Una composición en función de x 3 pasos
Expresa cos(sin⁻¹ x) en función de x y compruébalo para x = −3/5.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Llamemos y al ángulo. El rango de sin⁻¹ mantiene y entre −π/2 y π/2, donde el coseno nunca es negativo:
  
  $y = sin^{- 1} x : sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \Rightarrow cos y \geq 0$
2. por lo que la raíz toma signo positivo:
  
  $cos y = + 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$
3. Para x = −3/5:
  
  $cos (sin^{- 1} (- \frac{3}{5})) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
Respuesta

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), sin ±, para todo x entre −1 y 1.

$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}, - 1 \leq x \leq 1$
Una ecuación con funciones inversas 2 pasos
Resuelve cos⁻¹ x = 2π/3, y después cos⁻¹ x = −π/3.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Tomando el coseno en ambos lados y como 2π/3 está en el rango, esta es la única solución:
  
  $cos^{- 1} x = \frac{2 π}{3} \Rightarrow x = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$
2. cos⁻¹ nunca devuelve −π/3, que queda fuera de su rango:
  
  $- \frac{π}{3} \in / [0, π]$
Respuesta

x = −1/2 para la primera; la segunda no tiene solución. cos(−π/3) = 1/2, pero cos⁻¹(1/2) vale π/3.

$x = - \frac{1}{2}; - \frac{π}{3} \in / [0, π] \Rightarrow \emptyset$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula tan⁻¹(tan 2π/3).

Mostrar respuesta

−π/3, que equivale a 2π/3 − π.

$tan^{- 1} (tan \frac{2 π}{3}) = - \frac{π}{3}$
Calcula cos⁻¹(cos(−2π/5)).

Mostrar respuesta

2π/5, ya que el coseno es par.

$cos^{- 1} (cos (- \frac{2 π}{5})) = \frac{2 π}{5}$
Calcula sin⁻¹(sin 4), con 4 en radianes.

Mostrar respuesta

π − 4 ≈ −0,8584, porque 4 está entre π/2 y 3π/2.

$sin^{- 1} (sin 4) = π - 4 \approx - 0.8584$
Calcula el valor exacto de sin(cos⁻¹(−12/13)).

Mostrar respuesta

5/13: el ángulo supera π/2, donde el seno es positivo.

$sin (cos^{- 1} (- \frac{12}{13})) = \frac{5}{13}$
Expresa tan(sin⁻¹ x) en función de x.

Mostrar respuesta

x/√(1 − x²), para −1 < x < 1.

$tan (sin^{- 1} x) = \frac{x}{1 - x ^{2}}, - 1 < x < 1$
Demuestra que sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 para −1 ≤ x ≤ 1 y compruébalo en x = −1/2.

Mostrar respuesta

Si y = sin⁻¹ x, entonces cos(π/2 − y) = sin y = x; como además π/2 − y está entre 0 y π, se deduce que π/2 − y = cos⁻¹ x.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) + cos^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2}$

sin⁻¹(sin θ) retrocede en media circunferencia 🖖

Pulsa sin⁻¹(sin 150°): el resultado es 30°. Ahora arrastra θ de 90° a 270°. A medida que θ sube, sin⁻¹(sin θ) baja de 90° a −90° con una pendiente exacta de −1, ya que en ese tramo equivale a 180° − θ. El seno alcanza 1 en 90° y cambia de sentido, de modo que cualquier función que pretenda deshacerlo debe retroceder con él. El coseno cambia de sentido en 0° y en 180°; por eso, entre −180° y 180°, cos⁻¹(cos θ) coincide con |θ| y forma una V. La tangente jamás da la vuelta. Al ser siempre creciente entre sus asíntotas, tan⁻¹(tan θ) nunca retrocede: cae 180° cada vez que θ rebasa un múltiplo impar de 90°, sin más rodeos. tan⁻¹(tan 135°) da 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ no puede tomar prestado el rango de sin⁻¹ 🖖

Entre −90° y 90°, el coseno jamás es negativo y pasa dos veces por cada valor estrictamente comprendido entre 0 y 1: una en θ y otra en −θ. Una función inversa exige justo lo contrario en ambos sentidos: cubrir cada valor de −1 a 1 exactamente una vez. De ahí que cos⁻¹ responda de 0° a 180°, en la mitad superior de la circunferencia, donde el coseno cae sin descanso desde 1 hasta −1. La consecuencia se hace notar con los valores negativos. Mientras que sin⁻¹(−1/2) da −30°, por debajo del eje x, cos⁻¹(−√3/2) vale 150°: un coseno negativo no produce jamás un ángulo negativo, sino uno situado más allá de 90°.

cos(sin⁻¹ x) nunca necesita un ± 🖖

Al aplicar la identidad pitagórica, √(1 − sin²θ) solo indicaba el valor absoluto de cos θ, y el cuadrante decidía el signo. Aquí el rango zanja la cuestión de antemano. Como sin⁻¹ x está confinado entre −90° y 90°, donde el coseno jamás es negativo, cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) es válida para todo x de −1 a 1. Si x = −3/5, el resultado es +4/5, aunque el ángulo en sí sea negativo. Pasa exactamente igual con sin(cos⁻¹ x), pues el seno nunca resulta negativo entre 0° y 180°. La tangente sí puede quedar negativa porque el rango de cos⁻¹ incluye el segundo cuadrante, pero tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x traslada ese signo directamente en x y tampoco necesita ningún ±. Pulsa tan(cos⁻¹(−3/5)): verás que el ángulo es 126,8699° y su tangente, −4/3.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.