Comprobador de Ecuaciones Radicales

Eleva al cuadrado ambos lados, resuelve el polinomio resultante y luego verifica cada candidato en la ecuación original.

Ejemplo resuelto — Comprobador de Ecuaciones Radicales

Ecuación original	1x+1
Ecuación al cuadrado	(1x+1)²
Forma cuadrática	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Comprobador de Ecuaciones Radicales

Una raíz extraña es una solución que aparece al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación y que no satisface la original. No es un error aritmético: elevar al cuadrado no es una operación reversible, por lo que la ecuación elevada al cuadrado es realmente una ecuación diferente, satisfecha por más valores que la inicial.

Qué significa cada símbolo

a, b: los números bajo el radical, que dan √(ax + b) — 2 y 3 en los valores por defecto.
c, d: la recta de la derecha, cx + d — ambos son 1 aquí, por lo que la ecuación es √(2x+3) = x+1.
candidate: una raíz de la ecuación elevada al cuadrado. Aquí hay dos, x ≈ −1.4142 y x ≈ 1.4142.
valid: una candidata que sobrevive a la sustitución en la ecuación original. Solo x ≈ 1.4142 lo logra.

De dónde viene la fórmula

El radical √(2x+3) es por definición la raíz cuadrada no negativa. Por tanto, la ecuación original lleva implícita una condición que la notación no muestra: el lado derecho no debe ser negativo.
Elevar ambos lados al cuadrado descarta esa condición. √(2x+3) = x+1 y 2x+3 = (x+1)² no son equivalentes — la segunda también se satisface cuando √(2x+3) = −(x+1), la rama negativa.
Así pues, las raíces de la ecuación elevada al cuadrado son las soluciones de ambas ramas combinadas. Sustituir cada candidata de nuevo no es un mero trámite, es el paso que las separa: en x ≈ −1.4142 el lado derecho es negativo, por lo que satisface la rama negativa y no la original.

Supone: Solo números reales, entendiendo la raíz cuadrada como la principal (no negativa), y un lado derecho lineal. Si se permiten los números complejos, toda la noción de raíz extraña cambia de forma.
Falla cuando: Elevar al cuadrado también puede no descartar nada en absoluto, lo que hace que la costumbre sea fácil de olvidar: si resulta que el lado derecho es no negativo allí donde está definido el radical, cada candidata es válida y comprobar parece un esfuerzo inútil. La comprobación es un seguro, y su prima solo se justifica en las ocasiones en que rinde frutos.

Algunas ecuaciones con radicales se pueden descartar antes de empezar 🖖

La raíz cuadrada principal nunca es negativa — eso forma parte de su definición, no es un convenio que puedas doblar. Así que √(x − 5) = −2 no tiene solución alguna, y puedes afirmarlo sin hacer álgebra: el lado izquierdo no puede alcanzar un valor negativo para ningún x. Eleva al cuadrado ambos lados de todos modos y obtienes x = 9, una respuesta segura y equivocada, sin nada que te avise. La misma comprobación previa vale para el radicando: debe ser al menos 0, así que cualquier candidato que lo haga negativo nunca estuvo en la carrera. Examinar la forma de una ecuación antes de resolverla cuesta un vistazo y atrapa errores que ninguna álgebra cuidadosa atrapará.

Por qué debes verificar cada solución 🖖

Elevar al cuadrado ambos lados es una calle de un solo sentido: como tanto 3 como −3 dan 9, ese paso puede admitir soluciones que la ecuación original nunca permitió. El símbolo de raíz solo devuelve el valor no negativo, así que el lado derecho cx+d debe ser ≥ 0. Conclusión: sustituye cada candidato en la ecuación original intacta — la herramienta lo hace automáticamente y delata a los impostores.

Las soluciones extrañas resuelven la ecuación espejo 🖖

Una raíz descartada no carece de sentido: es la solución exacta de la ecuación gemela con el signo invertido √(ax+b) = −(cx+d). Elevar al cuadrado borra el signo menos, por eso ambas ecuaciones comparten un polinomio, y sus candidatos se separan con nitidez: los que cumplen cx+d ≥ 0 pertenecen a la original, el resto al espejo. Por eso cada punto extraño cae exactamente sobre la rama negativa punteada y = −√(ax+b) de la gráfica.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Los tres preajustes informan de exactamente una raíz extraña. ¿Puedes conseguir que la herramienta no informe de ninguna?

Mostrar la respuesta

Sin problema. Introduce a = 1, b = 0, c = 0.5, d = 0 — eso es √x = x/2 — y el panel lista los candidatos x ≈ 0 y x ≈ 4, coloca ambos bajo las raíces válidas e imprime «None» en las extrañas. √x = x hace lo mismo con 0 y 1. Elevar al cuadrado solo *arriesga* añadir una solución; añade una exactamente cuando un candidato hace negativo el miembro derecho, porque tal punto resuelve y = −√(ax+b), la rama discontinua que la herramienta traza, y no la ecuación de la que partiste. Aquí ningún candidato se vuelve negativo, así que no se pierde nada.
El preajuste por defecto da al cuadrado 1x² + 0x − 2 = 0 y ofrece la pareja simétrica ±1.4142, de la cual la herramienta rechaza −1.4142. Introduce ahora a = 6, b = 12, c = 1, d = 3. Obtienes la misma forma de cuadrática — 1x² + 0x − 3 = 0, candidatos ±1.7321 — pero esta vez la herramienta acepta los dos. ¿Qué lo decide?

Mostrar la respuesta

El signo del miembro derecho en cada candidato, y nada más. En el caso por defecto la recta es x + 1, que en x = −1.4142 vale −0.4142; una raíz cuadrada no puede ser negativa, así que ese punto está en la rama discontinua. En el segundo la recta es x + 3, que en x = −1.7321 sigue valiendo +1.2679, y √(6(−1.7321) + 12) = √1.6077 = 1.2679 — una solución genuina, con x negativo y todo. El término lineal desaparece en ambos casos porque a = 2cd (2 = 2·1·1 y 6 = 2·1·3); es un hecho del álgebra y no dice absolutamente nada sobre qué raíces sobreviven. Las raíces extrañas no son las que parecen erróneas, ni las que quedan fuera del dominio — son aquellas en las que la recta ha caído por debajo del eje.

Problema resuelto al detalle

El caso de la raíz extraña para √(x − 1) = x − 2 7 pasos
Resuelva √(x − 1) = x − 2 e indique el paso que generó la raíz que no la satisface. Este es el caso de la raíz extraña: a = 1, b = −1, c = 1, d = −2.
1. El símbolo de la izquierda es la raíz cuadrada principal, por lo que su valor nunca es negativo. Eso restringe el miembro derecho antes de realizar cálculo algebraico alguno: solo los valores de x a partir de 2 pueden funcionar.
  
  $x - 1 = x - 2, \cdot \geq 0 ⟹ x \geq 2$
2. Al elevar al cuadrado es donde se pierde información. Cantidades iguales tienen cuadrados iguales, pero cuadrados iguales solo determinan las cantidades salvo el signo. Todo lo que sigue a esta línea responde a una pregunta más amplia que la planteada.
  
  $u = v ⟹ u^{2} = v^{2}, u^{2} = v^{2} ⟺ u = \pm v$
3. Al desarrollar el miembro derecho se obtiene una ecuación de segundo grado, y esa es la razón estructural por la que tiene cabida una segunda raíz: la ecuación original tenía una rama; la elevada al cuadrado tiene dos.
  
  $x - 1 = (x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4 ⟹ x^{2} - 5 x + 5 = 0$
4. El discriminante es 25 − 20 = 5, de modo que ambos candidatos son irracionales. Estos dos números son exactamente los que el panel enumera como candidatos polinómicos, y ambos son raíces auténticas de la ecuación elevada al cuadrado.
  
  $x = \frac{5 \pm 25 - 20}{2} = \frac{5 \pm 5}{2} \approx 1.382, 3.618$
5. Compruebe el candidato mayor. El radicando es 2,618 y su raíz principal es 1,618; el miembro derecho es también 1,618. Ambos miembros coinciden, por lo que 3,618 se conserva.
  
  $3.618 - 1 = 2.618 = 1.618 = 3.618 - 2$
6. Ahora el menor. El miembro izquierdo resulta 0,618 y el derecho −0,618: mismo valor absoluto, signo opuesto. No se trata de un fallo de redondeo: 1,382 es una raíz exacta de √(x − 1) = −(x − 2), la mitad inferior de la parábola horizontal que el signo radical descarta, motivo por el cual acaba en la fila de raíces extrañas.
  
  $1.382 - 1 = 0.382 = 0.618, 1.382 - 2 = - 0.618$
7. Observe lo que habría indicado aquí la comprobación del dominio que probablemente le enseñaron. En cualquier raíz de la ecuación elevada al cuadrado, el radicando es igual a (x − 2)², un cuadrado, por lo que es no negativo en ambos candidatos y no descarta ninguno. En toda esta familia de ecuaciones, la prueba del radicando no aporta nada; solo lo hace el signo del miembro derecho.
  
  $x^{2} - 5 x + 5 = 0 ⟺ x - 1 = (x - 2)^{2} \geq 0$
Respuesta

x ≈ 3,618, y 1,382 no es un fallo por poco: es la solución exacta de una ecuación distinta. Pregúntese cuándo se puede evitar el problema por completo. Mantenga el radicando en x − 1 y sea el miembro derecho x + d, de modo que al elevar al cuadrado se obtiene f(x) = x² + (2d − 1)x + (d² + 1) = 0 con discriminante −4d − 3: por encima de d = −0,75 no hay candidatos reales en absoluto. Un candidato supera la prueba del signo cuando x ≥ −d, y el vértice de la parábola se sitúa siempre a la derecha de −d, de forma que ambas raíces superan el umbral exactamente cuando f(−d) ≥ 0, y f(−d) se reduce a d + 1. Por lo tanto, la familia es auténtica solo en la estrecha ventana −1 ≤ d ≤ −0,75: si sube d por encima de −0,75 las raíces desaparecen, y si lo baja por debajo de −1 una de ellas se vuelve extraña. Con d = −2 se halla muy fuera de esa ventana, motivo por el cual exactamente uno de los candidatos tenía que fallar.

$Δ = - 4 d - 3 \geq 0, f (- d) = d + 1 \geq 0 ⟹ - 1 \leq d \leq - \frac{3}{4}$

Referencias (2)

Why squaring both sides produces solutions the original equation does not have: J. S. Zelkowski, "Making Sense of Extraneous Solutions." The Mathematics Teacher 106(6), 452–458, 2013.
The idea has a longer history than the textbook treatment suggests: K. R. Manning, "Historically Speaking — A History of Extraneous Solutions." The Mathematics Teacher 63(2), 165–175, 1970.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-21

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

caso de una sola solución - Caso con una única solución válida para sqrt(x+4)=x.
caso con solución extraña - Al elevar al cuadrado aparece una solución candidata que no cumple el dominio original.
caso con dos candidatos - Aparecen dos soluciones candidatas antes de filtrar por el dominio del radical.