Funciones recíprocas e identidades pitagóricas

Da el valor de una función trigonométrica y un cuadrante, y la página encuentra el ángulo, el valor de su pareja mediante la identidad que liga ambas funciones, y las otras cuatro a partir del punto P. O arrastra el ángulo y observa cómo cambian sec θ, csc θ y cot θ como longitudes en la figura.

Funciones recíprocas	$sec θ = \frac{1}{cos θ}, csc θ = \frac{1}{sin θ} cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}$
Identidad pitagórica	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
Dividida entre cos²θ	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
Dividida entre sin²θ	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

Ejemplo resuelto — Funciones recíprocas e identidades pitagóricas

Ángulo	143,1301°
Por la identidad, con el signo del cuadrante II	−0,8
Seno	0,6
Coseno	−0,8
Tangente	−0,75
Secante	−1,25
Cosecante	1,6667
Cotangente	−1,3333

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Funciones recíprocas e identidades pitagóricas

Las funciones recíprocas son sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ y cot θ = cos θ/sin θ, cada una definida donde su denominador no es cero. Las identidades pitagóricas sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ y 1 + cot²θ = csc²θ se cumplen en todo ángulo donde ambos miembros están definidos.

De dónde viene la fórmula

Parte de la circunferencia. P = (cos θ, sin θ) está a distancia 1 de O en cualquier ángulo, así que cos²θ + sin²θ = 1 en todos los cuadrantes. Los cuadrados no ven los signos, y por eso el triángulo de catetos |cos θ| y |sin θ| da la misma ecuación.
$x_{P}^{2} + y_{P}^{2} = 1 \Rightarrow cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
Divide entre cos²θ, o entre sin²θ. Cada división está permitida exactamente donde las nuevas funciones están definidas.
$\div cos^{2} θ : \div sin^{2} θ : 1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ$
Saca la raíz y después elige el signo. Una identidad da el cuadrado de la incógnita, así que fija su valor absoluto; el cuadrante fija el signo.
$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ, sec θ = \pm 1 + tan^{2} θ$

Supone: Cada identidad se cumple solo donde sus funciones están definidas: la segunda falla en los múltiplos impares de 90°, la tercera en los múltiplos de 180°.

Problemas resueltos al detalle

Dado el seno de un ángulo obtuso 2 pasos
sin θ = 3/5 y θ es obtuso. Halla exactamente las otras cinco funciones.

Abre este problema en la herramienta
1. Un ángulo obtuso está en el cuadrante II, donde el coseno es negativo. A partir de sin²θ + cos²θ = 1:
  
  $cos θ = - 1 - (\frac{3}{5})^{2} = - \frac{16}{25} = - \frac{4}{5}$
2. Las otras cuatro son cocientes y recíprocas:
  
  $tan θ csc θ = \frac{3/5}{- 4/5} = - \frac{3}{4}, = \frac{1}{sin θ} = \frac{5}{3}, sec θ cot θ = \frac{1}{cos θ} = - \frac{5}{4} = \frac{1}{tan θ} = - \frac{4}{3}$
Respuesta

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$cos θ = - \frac{4}{5}, tan θ = - \frac{3}{4}, sec θ = - \frac{5}{4}, csc θ = \frac{5}{3}, cot θ = - \frac{4}{3}$
Dada la tangente, halla la secante 2 pasos
tan θ = −12/5 y 270° < θ < 360°. Halla sec θ, cos θ y sin θ.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. En el cuadrante IV el coseno es positivo, y la secante también. A partir de 1 + tan²θ = sec²θ:
  
  $sec θ = + 1 + (- \frac{12}{5})^{2} = \frac{169}{25} = \frac{13}{5}$
2. Luego cos θ es la recíproca, y sin θ = tan θ · cos θ:
  
  $cos θ = \frac{5}{13}, sin θ = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = - \frac{12}{13}$
Respuesta

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$sec θ = \frac{13}{5}, cos θ = \frac{5}{13} \approx 0.3846, sin θ = - \frac{12}{13} \approx - 0.9231$
Dada la cotangente, halla la cosecante 2 pasos
cot θ = 3/4 y 180° < θ < 270°. Halla csc θ, sin θ y cos θ.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. En el cuadrante III el seno es negativo, y la cosecante también. A partir de 1 + cot²θ = csc²θ:
  
  $csc θ = - 1 + (\frac{3}{4})^{2} = - \frac{25}{16} = - \frac{5}{4}$
2. Luego sin θ es la recíproca, y cos θ = cot θ · sin θ:
  
  $sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{5}$
Respuesta

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$csc θ = - \frac{5}{4}, sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = - \frac{3}{5}$
Valores exactos a 30° 3 pasos
Halla exactamente sec 30°, csc 30° y cot 30°.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. La mitad de un triángulo equilátero de lado 2 tiene lados 1, √3 y 2, así que
  
  $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
2. Invierte y racionaliza el denominador:
  
  $sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$
3. Comprueba con la segunda identidad:
  
  $1 + tan^{2} 3 0^{\circ} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = (\frac{2}{3})^{2}$
Respuesta

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$sec 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3} \approx 1.1547, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1.7321$
Simplificar con dos identidades 2 pasos
Simplifica (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
Mostrar solución
1. Cada paréntesis es un miembro de una identidad; sustitúyelo por el otro miembro:
  
  $(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = sin^{2} θ \cdot csc^{2} θ$
2. y csc θ = 1/sin θ:
  
  $sin^{2} θ \cdot \frac{1}{sin ^{2} θ} = 1$
Respuesta

1, en todo ángulo que no sea múltiplo de 180°, donde cot θ no está definida.

$(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = 1, θ \neq = k \cdot 18 0^{\circ}$
Una demostración con la identidad factorizada 3 pasos
Demuestra que 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ y compruébalo en θ = 60°.

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1. Multiplica numerador y denominador por sec θ + tan θ:
  
  $\frac{1}{sec θ - tan θ} = \frac{sec θ + tan θ}{sec ^{2} θ - tan ^{2} θ}$
2. Por 1 + tan²θ = sec²θ, el denominador es 1:
  
  $= \frac{sec θ + tan θ}{1} = sec θ + tan θ$
3. A 60°, sec θ = 2 y tan θ = √3:
  
  $\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3$
Respuesta

Ambos miembros son iguales allí donde están definidos; a 60° los dos valen 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{sec 6 0 ^{\circ} - tan 6 0 ^{\circ}} = 2 + 3 \approx 3.7321$
Un valor que ningún ángulo alcanza 2 pasos
Halla todos los ángulos con sec θ = 1/2.

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1. sec θ = 1/2 significaría
  
  $cos θ = \frac{1}{sec θ} = 2$
2. pero cos θ es una coordenada de un punto de una circunferencia de radio 1, así que |cos θ| ≤ 1 y, por tanto,
  
  $∣ sec θ ∣ = \frac{1}{∣ cos θ ∣} \geq 1$
Respuesta

No hay ninguno: sec θ y csc θ nunca toman un valor estrictamente entre −1 y 1. El ejemplo rechaza 1/2 y deja θ en 60°, donde la recíproca va en sentido contrario: cos θ = 1/2 y sec θ = 2.

${θ : sec θ = \frac{1}{2}} = \emptyset$
Eliminar el parámetro 2 pasos
Una curva viene dada por x = 3 sec t, y = 2 tan t. Halla su ecuación cartesiana.
Mostrar solución
1. Despeja las dos funciones:
  
  $sec t = \frac{x}{3}, tan t = \frac{y}{2}$
2. y sustitúyelas en sec²t − tan²t = 1:
  
  $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$
Respuesta

x²/9 − y²/4 = 1, una hipérbola. Como |sec t| ≥ 1, todo punto de ella tiene |x| ≥ 3.

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1, ∣ x ∣ \geq 3$

Tres identidades son un triángulo a tres tamaños 🖖

El triángulo OMP tiene catetos |cos θ| y |sin θ| e hipotenusa 1, y Pitágoras en él es sin²θ + cos²θ = 1. Amplíalo con factor 1/|cos θ| y sus lados pasan a ser 1, |tan θ| y |sec θ|: los del triángulo OAT, apoyado en la tangente x = 1. Pitágoras en OAT dice 1 + tan²θ = sec²θ. Amplía en cambio con factor 1/|sin θ| y los lados pasan a ser 1, |cot θ| y |csc θ|, los de OBS sobre la recta y = 1, lo que da 1 + cot²θ = csc²θ. En álgebra, la ampliación es dividir la primera identidad entre cos²θ o entre sin²θ; basta recordar una identidad, y las otras dos son una línea de cálculo. La figura muestra también dónde falla cada una: a 90° la recta OP es paralela a x = 1 y OAT se queda sin tercer vértice. Thomas Fincke introdujo los términos tangente y secante en su Geometriae rotundi de 1583; en latín significan que toca y que corta, y AT está sobre una recta que toca la circunferencia mientras que OT está sobre una que la atraviesa.

√(1 − sin²θ) no es cos θ 🖖

Pulsa sin θ = 3/5, cuadrante II. La identidad da cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, y 0,64 tiene dos raíces cuadradas. El signo radical indica la positiva, así que √(1 − sin²θ) es |cos θ|, y escribir cos θ = √(1 − sin²θ) es un error para cualquier ángulo de los cuadrantes II y III. Aquí cos θ = −0,8. La identidad fija el valor absoluto y solo el cuadrante fija el signo; por eso el enunciado tiene que decir dónde está θ, como hace «θ es obtuso». Con el valor todavía en 0,6, haz clic en I: θ pasa a 36,8699° y cos θ se vuelve +0,8. Haz clic en III y la página se niega, porque ahí el seno es negativo.

Cerca de 90°, sec θ y tan θ son enormes y casi iguales 🖖

Pulsa θ = 89°: tan θ = 57,29 y sec θ = 57,2987, a solo 0,0087 una de otra. Tan cerca de 90° no pueden separarse, y la razón es la segunda identidad. Escrita como sec²θ − tan²θ = 1 y factorizada, dice (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1, de modo que la diferencia es exactamente 1 dividido entre la suma, y 1/114,5887 ≈ 0,0087. Acerca θ a 90° y la suma crece sin límite mientras la diferencia se encoge hacia 0; en los 90° mismos, ninguna de las dos funciones está definida. La forma factorizada es también el paso clave de una demostración clásica: 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, porque al multiplicar numerador y denominador por sec θ + tan θ el denominador queda en 1.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.