Explorador de descomposición SVD

Divide una matriz en direcciones, magnitudes de estiramiento y una reconstrucción de rango bajo.

Ejemplo resuelto — Explorador de descomposición SVD

Energía conservada	88.1%
Energía perdida	11.9%
Error de reconstrucción	34.5%
Rango numérico	3
Σ: magnitudes de estiramiento	3.5915150003.1622780001.760971

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Truncar la SVD es demostrablemente lo mejor que puedes hacer 🖖

Conserva solo los k valores singulares mayores y descarta el resto, y no has encontrado meramente una aproximación de rango k decente — has encontrado la óptima. El teorema de Eckart–Young–Mirsky dice que ninguna otra matriz de rango k se acerca más a la original, ni en la norma de Frobenius ni en la espectral. El error es exacto en lugar de estimado: en la norma espectral es igual a σ_k+1, el primer valor singular que descartaste, y en la de Frobenius es la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de todos los valores descartados. Ese único teorema es la razón de que la compresión de imágenes, el análisis de componentes principales y la indexación semántica latente se reduzcan todos a la misma instrucción: calcula la SVD y luego córtala.

Toda matriz es una pila de capas 🖖

La SVD reescribe cualquier matriz como una suma ponderada de capas simples de rango 1 —cada una formada por un patrón izquierdo y uno derecho— ordenadas de más a menos importante según su valor singular. El cuadrado de cada valor singular indica cuánta de la energía total de la matriz aporta esa capa. Si conservas solo las primeras, reconstruyes la mayor parte de los datos con una fracción mínima de los números; por eso la barra de energía conservada sube tan bruscamente al principio.

Descubierta cinco veces antes de ser útil 🖖

La SVD no es un invento de la era informática. La dedujeron de forma independiente Beltrami (1873), Jordan (1874), Sylvester (1889), Schmidt (1907) y Weyl (1912): teoría de matrices pura, sin aplicación a la vista. Solo en 1965 Golub y Kahan publicaron un método numéricamente estable para calcularla, y eso desató todo lo que ves aquí: compresión de imágenes, eliminación de ruido, motores de búsqueda y sistemas de recomendación.

Problema resuelto al detalle

Tres valores singulares y un error del 34,5% al conservar el 88,1% de la energía 6 pasos
Halle a mano los tres valores singulares de la matriz de esta página —el polinomio característico sí se factoriza— y explique después por qué conservar el 88,1% de la energía sigue dejando un error del 34,5%.
1. Los valores singulares son las raíces cuadradas de los autovalores de AᵀA, de modo que calcule primero ese producto. Es simétrico, lo que garantiza que los autovalores sean reales y no negativos.
  
  $A = 3 - 1 0 130112, A^{⊤} A = 10020104246$
2. El determinante de AᵀA − λI se factoriza, lo cual es la parte afortunada: la primera columna aporta un paréntesis que se extrae limpiamente y deja una ecuación de segundo grado.
  
  $det (A^{⊤} A - λ I) = (10 - λ) [(10 - λ) (6 - λ) - 20] = 0$
3. Un autovalor es exactamente 10; los otros dos son las raíces de la ecuación de segundo grado. Su forma radical es exacta y los decimales vienen a continuación.
  
  $λ = 10; λ^{2} - 16 λ + 40 = 0 \Rightarrow λ = 8 \pm 26 = 12.8990, 3.1010$
4. Calcule las raíces cuadradas. La comprobación es inmediata: los tres valores al cuadrado deben sumar la traza de AᵀA, y 26 es la suma de la diagonal.
  
  $σ = λ : 3.591515, 3.162278, 1.760971; \sum σ^{2} = 26 = tr (A^{⊤} A)$
5. Conservar dos direcciones mantiene su parte de ese 26. El error de Frobenius es la raíz cuadrada de la parte descartada, y esa raíz cuadrada es toda la respuesta.
  
  $kept = \frac{12.8990 + 10}{26} = 88.1%, lost = \frac{3.1010}{26} = 11.9%, \frac{∥ A - A _{2} ∥ _{F}}{∥ A ∥ _{F}} = 0.119 = 34.5%$
6. De los mismos tres números se obtienen gratuitamente otras dos identidades: su producto es el valor absoluto del determinante y su cociente es el número de condición. Con 2,04 esta matriz se comporta perfectamente; el 34,5% no se debe a una cuasi-singularidad, sino a una tercera dirección genuina.
  
  $σ_{1} σ_{2} σ_{3} = 20 = ∣ det A ∣, κ = \frac{σ _{1}}{σ _{3}} = 2.04$
Respuesta

Porque el error es una raíz cuadrada: √0,119 = 0,345. La energía se mide en valores singulares al cuadrado y el error en valores sin elevar al cuadrado, de modo que desechar una octava parte de la energía cuesta una tercera parte de la norma, y los dos números del panel son el mismo hecho expresado en dos escalas distintas. Esta es la trampa de cualquier afirmación del tipo «conservamos el 95% de la varianza»: el 95% de la energía supone un error de reconstrucción del 22%, y el 99% sigue siendo un 10%. Eckart y Young demostraron en 1936 que ninguna matriz de rango 2 lo hace mejor que un 34,5% aquí, por lo que este es un límite inferior fijado por la matriz, no una deficiencia del truncamiento.

$kept 88.1% \Rightarrow error = 1 - 0.881 = 34.5%$

Ruta de aprendizaje

Matrices que mueven cosas

Lleva a Componentes principales

Referencias (2)

The five independent discoveries block 3 lists: G. W. Stewart, "On the Early History of the Singular Value Decomposition." SIAM Review 35(4), 551–566, 1993 — Beltrami, Jordan, Sylvester, Schmidt and Weyl, and what each of them actually proved.
The 1965 algorithm that made it computable: G. Golub and W. Kahan, "Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix." Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series B: Numerical Analysis 2(2), 205–224, 1965.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-23

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

matriz de rango 2 - La descomposición de una matriz pequeña muestra las direcciones y valores singulares principales.
3x3 mixta - Σ devuelve 3,591515, 3,162278 y 1,760971. Son tres magnitudes de estiramiento que difieren como máximo en un factor de 2,04 entre sí, por lo que ninguna dirección domina. Descarta la menor y seguirás conservando el 88,1 % de la energía, aunque la reconstrucción presente un error del 34,5 %. Además, la herramienta te indica que el rango 2 de una 3×3 no ocupa menos espacio que almacenar A. Aquí el truncamiento explica la matriz sin comprimirla.
3x3 diagonal - U y Vᵀ resultan ser la identidad. Una matriz diagonal no tiene direcciones que buscar, así que Σ simplemente repite la diagonal: 5, 2, 0,5. Este es el único ejemplo predeterminado aquí en el que truncar logra algún ahorro. El rango 1 almacena en torno al 77,8 % de los números de la propia A, mientras que el rango 2 de la matriz mixta almacena más. Conservar esa única dirección retiene el 85,5 % de la energía y deja la reconstrucción con un 38,1 % de error.