Explorador de vectores propios 2D
acción de la matriz sobre los vectores base y el círculo unitario transformado
la estructura propia es la huella dactilar de la transformación 🖖
La traza y el determinante restringen los valores propios de forma global, mientras que los vectores propios definen los subespacios invariantes. Juntos forman una huella dinámica mínima de la aplicación lineal.
las flechas que se niegan a girar 🖖
Aplica la matriz a la mayoría de los vectores y saltan a una dirección totalmente nueva. Los vectores propios son los especiales que permanecen sobre su propia recta: la transformación solo los estira o encoge por un número, el valor propio, y puede voltearlos 180°. Idea concreta: coloca un vector sobre una recta verde de vector propio y toda transformación lo mantiene apuntando a lo largo de esa recta, así que esas rectas son el esqueleto fijo del mapa.
Google se construyó sobre un vector propio gigante 🖖
La misma idea impulsa el PageRank original de Google. Trata toda la web como una única matriz enorme de enlaces, y el rango de cada página es en esencia el vector propio dominante: la única dirección invariante que sobrevive a clics aleatorios sin fin. Lo que ajustas aquí en 2D es la versión de juguete de un cálculo que alguna vez se ejecutó sobre miles de millones de páginas. La centralidad de vector propio mide la influencia en redes sociales del mismo modo.
Problemas de ejemplo
- estiramiento simétrico - Una matriz simétrica tiene dos direcciones propias reales y ortogonales.
- solo cizalladura - Una matriz de cizalladura tiene un valor propio repetido con una única dirección propia dominante.
- rotación - Una rotación pura tiene valores propios complejos y ningún vector propio real.
- reflexión - Una reflexión invierte un eje y mantiene el otro.
- estiramiento anisótropo - estiramiento anisótropo
- intercambiar ejes - intercambio de ejes