Explorador de vectores propios 2D

acción de la matriz sobre los vectores base y el círculo unitario transformado

Ejemplo resuelto — Explorador de vectores propios 2D

Regla del vector propio	0la resolvemos para λ
Escala de área \|det\|	3

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

la traza y el determinante fijan entre ambos los valores propios 🖖

Dos de los cuatro números que introduces determinan los valores propios. La ecuación característica es λ² − (traza)λ + det = 0, así que la traza y el determinante fijan sus dos raíces. El signo de tr² − 4det indica entonces en cuál de tres mundos vive la transformación: dos direcciones propias reales, una o ninguna. El panel muestra las tres cantidades. Reflexión e Intercambiar ejes tienen la misma traza, 0, y el mismo determinante, −1. Por eso comparten los valores propios 1 y −1, aunque son transformaciones distintas: el resto de la información está en los vectores propios.

las flechas que se niegan a girar 🖖

Al aplicar la matriz a casi cualquier vector, este gira hacia una dirección nueva. Los vectores propios son los que permanecen en su propia recta: la transformación solo los alarga o los acorta multiplicándolos por un número, el valor propio, y puede invertir su sentido mediante un giro de 180°. Coloca un vector sobre una de las rectas propias verdes y esta matriz lo mantendrá en ella tantas veces como la apliques. Esas rectas forman el armazón fijo de la transformación.

Google se construyó sobre un vector propio gigante 🖖

La misma idea sustenta el PageRank original de Google. Considera toda la web como una inmensa matriz de enlaces: el vector que reúne la relevancia de todas las páginas es el vector propio dominante, la única dirección invariante que sobrevive a una sucesión interminable de clics al azar. Lo que ajustas aquí en 2D es una versión de juguete de un cálculo que llegó a realizarse con miles de millones de páginas.

VECTORES PROPIOS — ¿QUÉ DIRECCIONES SOBREVIVEN A LA TRANSFORMACIÓN?

¿En qué caso de vectores propios está?

Un vector propio es una dirección que la matriz se niega a girar: solo la estira, en el valor propio λ. Si existen o no tales direcciones lo decide un único número, el discriminante Δ = tr(A)² − 4·det(A). Positivo da dos, cero da una, negativo no da ninguna en el plano real. La ortogonalidad, los reflejos y la rotación salen de dónde caiga su matriz en esa clasificación.

Δ > 0: dos direcciones reales, y la simetría las pone perpendiculares Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Un valor propio negativo: la dirección sobrevive pero apunta al revés det < 0 ⇒ λ = ±1

Δ = 0: un valor propio dos veces, y solo una dirección que mostrar Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Δ < 0: una rotación, y ningún vector propio real Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Δ > 0: dos direcciones reales, y la simetría las pone perpendiculares

Lo que sabe: El discriminante es positivo, así que hay dos valores propios reales distintos y dos direcciones propias independientes. Si la matriz es simétrica, es decir a₁₂ = a₂₁, esas direcciones forman siempre un ángulo recto.

Prueba: Δ > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ∈ ℝ

Ejemplo resuelto: A = [[2, 1], [1, 2]]: tr = 4, det = 3, Δ = 16 − 12 = 4 → λ = 3 en (1, 1) y λ = 1 en (1, −1)

Abrir este caso: estiramiento simétrico

Δ > 0: dos direcciones reales, y la simetría las pone perpendiculares. Sobreviven dos direcciones perpendiculares, y todo lo demás es arrastrado hacia la más fuerte. El discriminante es positivo, así que hay dos valores propios reales distintos y dos direcciones propias independientes. Si la matriz es simétrica, es decir a₁₂ = a₂₁, esas direcciones forman siempre un ángulo recto. — Sobreviven dos direcciones perpendiculares, y todo lo demás es arrastrado hacia la más fuerte.

Un valor propio negativo: la dirección sobrevive pero apunta al revés

Lo que sabe: Otra vez dos valores propios reales, pero uno es negativo, así que det < 0. Los vectores de esa dirección vuelven invertidos y todo el plano queda volteado.

Prueba: det < 0 ⇒ λ = ±1

Ejemplo resuelto: A = [[1, 0], [0, −1]]: tr = 0, det = −1, Δ = 4 → λ = 1 en (1, 0) y λ = −1 en (0, 1)

Abrir este caso: reflexión

Un valor propio negativo: la dirección sobrevive pero apunta al revés. Un eje queda intacto y el otro se devuelve sobre sí mismo: un espejo. Otra vez dos valores propios reales, pero uno es negativo, así que det < 0. Los vectores de esa dirección vuelven invertidos y todo el plano queda volteado. — Un eje queda intacto y el otro se devuelve sobre sí mismo: un espejo.

Δ = 0: un valor propio dos veces, y solo una dirección que mostrar

Lo que sabe: El discriminante es exactamente cero, así que los dos valores propios coinciden. Un valor propio repetido no promete dos direcciones: aquí solo hay una y la matriz no se puede diagonalizar.

Prueba: Δ = 0 ⇒ λ₁ = λ₂

Ejemplo resuelto: A = [[1, 1], [0, 1]]: tr = 2, det = 1, Δ = 4 − 4 = 0 → λ = 1 dos veces, con (1, 0) como única dirección propia

Abrir este caso: solo cizalladura

Δ = 0: un valor propio dos veces, y solo una dirección que mostrar. El eje horizontal queda fijo mientras toda otra dirección se inclina, así que no existe un segundo vector propio. El discriminante es exactamente cero, así que los dos valores propios coinciden. Un valor propio repetido no promete dos direcciones: aquí solo hay una y la matriz no se puede diagonalizar. — El eje horizontal queda fijo mientras toda otra dirección se inclina, así que no existe un segundo vector propio.

Δ < 0: una rotación, y ningún vector propio real

Lo que sabe: Un discriminante negativo significa que los valores propios son un par conjugado complejo. Geométricamente la matriz gira el plano, y un giro no deja ninguna dirección apuntando donde empezó.

Prueba: Δ < 0 ⇒ λ ∈ ℂ

Ejemplo resuelto: A = [[0, −1], [1, 0]]: tr = 0, det = 1, Δ = −4 → λ = ±i, un cuarto de vuelta sin vector propio real

Abrir este caso: rotación

Δ < 0: una rotación, y ningún vector propio real. Cada flecha se sale de su propia recta, así que no queda nada que pueda ser un vector propio real. Un discriminante negativo significa que los valores propios son un par conjugado complejo. Geométricamente la matriz gira el plano, y un giro no deja ninguna dirección apuntando donde empezó. — Cada flecha se sale de su propia recta, así que no queda nada que pueda ser un vector propio real.

Referencias (1)

Insight block 3 — the dominant eigenvector Google was built on: S. Brin and L. Page, "The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine." Computer Networks and ISDN Systems 30(1–7), 107–117, 1998.

Problema resuelto al detalle

Aplicación de una transformación diez veces usando los vectores propios derivados 7 pasos
El panel deduce los valores propios por ti: traza, determinante, discriminante, y salen 3 y 1. Sáltate ese camino por completo. Encuentra primero los vectores propios mirando la matriz, y úsalos luego para algo que la herramienta no puede hacer: aplicar la transformación diez veces.
1. La matriz es simétrica, y la simetría indica dónde mirar. Prueba la diagonal: A lleva (1, 1) a (3, 3), la misma flecha tres veces más larga. Así que (1, 1) es una dirección propia y 3 su valor propio. Una multiplicación, ningún polinomio característico.
  
  $A (11) = (2 + 1 1 + 2) = (33) = 3 (11)$
2. Prueba la otra diagonal. A deja (1, −1) exactamente donde estaba, de modo que esa es la segunda dirección propia, con valor propio 1. Dos direcciones independientes es todo lo que tiene una matriz 2×2, así que la búsqueda ha terminado — y el par coincide con lo que imprime el panel.
  
  $A (1 - 1) = (2 - 1 1 - 2) = (1 - 1) = 1 \cdot (1 - 1)$
3. Son perpendiculares, y no por suerte: una matriz simétrica siempre tiene direcciones propias ortogonales. Ese es el hecho que gasta el paso siguiente, porque permite deshacer el cambio de base con una transpuesta en lugar de una inversa.
  
  $(11) \cdot (1 - 1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$
4. Escala ambas a longitud 1 y colócalas como columnas de Q. Con columnas ortonormales, Qᵀ es la inversa de Q, así que A se factoriza en un giro, un estiramiento a lo largo de los ejes y el giro deshecho.
  
  $Q = \frac{1}{2} (11 1 - 1), Λ = (3001), A = Q Λ Q^{T}, Q^{T} = Q^{- 1}$
5. Ahora la recompensa. Multiplica esa factorización por sí misma: cada QᵀQ interior colapsa a la identidad y quedan Q, la n-ésima potencia de una matriz diagonal y Qᵀ. Elevar una matriz diagonal a una potencia es elevar cada entrada, y por eso se diagonaliza.
  
  $A^{n} = (Q Λ Q^{T})^{n} = Q Λ^{n} Q^{T} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1)$
6. Pon n = 10. Solo 3¹⁰ hace trabajo; el otro valor propio es 1, y 1 elevado a cualquier cosa sigue siendo 1, así que aporta lo mismo que al principio.
  
  $n = 10 : 3^{10} = 59049 ⟹ A^{10} = \frac{1}{2} (59050590485904859050) = (29525295242952429525)$
7. La misma factorización dice qué le ocurre a una flecha cualquiera, no solo a la matriz. Descomponla en las dos direcciones propias: cada aplicación multiplica una parte por 3 y deja la otra intacta, de modo que la razón entre ellas cambia por un factor 3 cada vez.
  
  $v = c_{1} (11) + c_{2} (1 - 1) ⟹ \frac{c _{2} \cdot 1 ^{n}}{c _{1} \cdot 3 ^{n}} = \frac{c _{2}}{c _{1}} 3^{- n}, 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$
Respuesta

A¹⁰ tiene 29.525 en la diagonal y 29.524 fuera de ella: una diferencia de 1 entre 29.525. Esa casi igualdad es exactamente la imagen de arriba, contada hacia delante. La componente (1, −1) de cualquier flecha inicial se divide por 3 en cada aplicación, así que tras diez es 1/59.049 de lo que era, y todo acaba tumbado sobre (1, 1). La herramienta muestra una aplicación. Los valores propios la convierten en todas, y dicen a qué velocidad.

$A^{n} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1); A^{10} = (29525295242952429525), 3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$

Ruta de aprendizaje

Matrices que mueven cosas

Lleva a Valores singulares las direcciones que la transformación no gira, junto con el factor por el que estira cada una de ellas.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

estiramiento simétrico - Valores propios 3 y 1, en las direcciones (1, 1) y (1, -1). Una matriz simétrica siempre tiene direcciones propias perpendiculares; el problema resuelto de abajo eleva esta matriz a la décima potencia.
solo cizalladura - El discriminante es 0, así que los dos valores propios son 1 y solo hay una dirección propia: la del eje x. Una cizalladura no puede diagonalizarse.
rotación - Un cuarto de vuelta: tr² - 4det = -4, los valores propios son ±i y ninguna flecha real termina apuntando en la dirección de partida.
reflexión - Traza 0, determinante -1 y valores propios 1 y -1 en las direcciones de los dos ejes. El determinante negativo delata el reflejo: el área se conserva, pero la orientación se invierte.
estiramiento anisótropo - Valores propios 3 y 0.5: el estiramiento en la dirección x es seis veces mayor que en la dirección y. Como el determinante es 1.5, todas las áreas aumentan a razón de la mitad de su valor original.
intercambiar ejes - Tiene la misma traza, 0, y el mismo determinante, -1, que Reflexión; por tanto, también tiene los valores propios 1 y -1. Intercambiar los ejes también es una reflexión, respecto de la recta y = x.

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3Blue1Brown·Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra