Visualizador de transformaciones matriciales

Introduce una matriz 2×2 y observa cómo transforma el plano de coordenadas.

Ejemplo resuelto — Visualizador de transformaciones matriciales

det(A)	1.0000
tr(A)	2.0000
Valores propios	1.000, 1.000
Escala de área	1.0000

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Un determinante nulo destruye información 🖖

El determinante no es solo un factor de escala de áreas: su valor también te dice si la transformación puede deshacerse. Negativo significa que el plano se dio la vuelta, así que una figura trazada en sentido horario sale en sentido antihorario. Cero significa que todo el plano ha sido aplastado sobre una única recta, y eso es fatal: infinitos puntos de partida distintos acaban en el mismo destino, así que ninguna regla podría devolverlos a donde estaban. Por eso exactamente una matriz con determinante 0 no tiene inversa. El aplastamiento es lo único que puede hacer una aplicación lineal y que no se puede revertir.

Las columnas lo dicen todo 🖖

Una matriz 2×2 no es más que instrucciones para dos flechas. Su primera columna indica dónde acaba la flecha (1, 0) y la segunda dónde acaba (0, 1). Como las rectas siguen siendo rectas y la cuadrícula se mantiene uniforme, esos dos destinos fijan a dónde va cualquier otro punto. Para predecir una transformación, basta con leer sus columnas.

Las rotaciones no tienen dirección favorita 🖖

Los estiramientos y las cizalladuras mantienen al menos una recta apuntando en su dirección original: un vector propio. Una rotación pura, en cambio, inclina todas las direcciones y no tiene ningún vector propio real; sus valores propios son el par complejo cos θ ± i·sin θ. Ese es justo el e^iθ que multiplica números complejos: girar el plano y multiplicar por un número complejo de módulo 1 son la misma operación.

APLICACIONES LINEALES — LEER UNA MATRIZ 2×2 ANTES DE MULTIPLICAR

¿Qué le hace esta matriz al plano?

Toda matriz 2×2 mueve el plano entero de una vez, y sus columnas dicen cómo: la primera columna es donde aterriza (1, 0) y la segunda donde aterriza (0, 1). El determinante informa de lo que pasó con el área y la orientación, y los vectores propios nombran las direcciones que salen apuntando como entraron. Cinco patrones cubren casi todo lo que te van a poner.

Rotación — todas las direcciones giran, nada se estira [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Escalado — cada eje estirado por su propio factor [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Cizalla — una recta se queda quieta y el resto se desliza [1 k; 0 1], det = 1

Reflexión — el plano se voltea sobre un eje espejo det = −1

Singular — el plano se aplasta sobre una recta det = 0

Rotación — todas las direcciones giran, nada se estira

Qué sabes: Las columnas son vectores unitarios perpendiculares, y la segunda es la primera girada un cuarto de vuelta en sentido antihorario. det = +1, así que el área y la orientación quedan intactas.

Matriz: [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Ejemplo resuelto: θ = 45° → [0,707 −0,707; 0,707 0,707] → (1, 0) aterriza en (0,707, 0,707) y todas las longitudes se conservan

Abrir este caso: Rotar 45°

Rotación — todas las direcciones giran, nada se estira. El cuadrado unidad conserva tamaño y forma y llega inclinado 45°. Las columnas son vectores unitarios perpendiculares, y la segunda es la primera girada un cuarto de vuelta en sentido antihorario. det = +1, así que el área y la orientación quedan intactas. — El cuadrado unidad conserva tamaño y forma y llega inclinado 45°.

Escalado — cada eje estirado por su propio factor

Qué sabes: La matriz es diagonal: los dos elementos fuera de la diagonal son cero. Cada eje se multiplica por su número, y det = k₁·k₂ es el factor de área.

Matriz: [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Ejemplo resuelto: [2 0; 0 0,5] → x se duplica e y se reduce a la mitad → det = 2 × 0,5 = 1, así que el área no cambia aunque la forma sí

Abrir este caso: Escalar

Escalado — cada eje estirado por su propio factor. El cuadrado se vuelve rectángulo: el doble de ancho, la mitad de alto, la misma área. La matriz es diagonal: los dos elementos fuera de la diagonal son cero. Cada eje se multiplica por su número, y det = k₁·k₂ es el factor de área. — El cuadrado se vuelve rectángulo: el doble de ancho, la mitad de alto, la misma área.

Cizalla — una recta se queda quieta y el resto se desliza

Qué sabes: Los dos elementos de la diagonal valen 1 y exactamente uno fuera de ella no es cero. det = 1, así que el área se conserva, pero aquí nada es rígido.

Matriz: [1 k; 0 1], det = 1

Ejemplo resuelto: [1 1; 0 1] → (1, 0) se queda y (0, 1) se desliza a (1, 1) → el cuadrado se inclina hasta ser un paralelogramo de la misma área

Abrir este caso: Cizalladura

Cizalla — una recta se queda quieta y el resto se desliza. Base fija, parte superior desplazada: misma base, misma altura, misma área. Los dos elementos de la diagonal valen 1 y exactamente uno fuera de ella no es cero. det = 1, así que el área se conserva, pero aquí nada es rígido. — Base fija, parte superior desplazada: misma base, misma altura, misma área.

Reflexión — el plano se voltea sobre un eje espejo

Qué sabes: det = −1. El tamaño, 1, dice que el área se conserva; el signo menos dice que la orientación se invierte.

Matriz: det = −1

Ejemplo resuelto: [−1 0; 0 1] → (1, 0) pasa a (−1, 0) y (0, 1) se queda → todo punto se refleja respecto al eje y

Abrir este caso: Reflejar

Reflexión — el plano se voltea sobre un eje espejo. El cuadrado cae al otro lado del espejo, con sus vértices en orden invertido. det = −1. El tamaño, 1, dice que el área se conserva; el signo menos dice que la orientación se invierte. — El cuadrado cae al otro lado del espejo, con sus vértices en orden invertido.

Singular — el plano se aplasta sobre una recta

Qué sabes: det = 0: las dos columnas son múltiplos una de otra, así que apuntan a lo largo de una sola recta. La matriz no tiene inversa.

Matriz: det = 0

Ejemplo resuelto: [1 2; 0,5 1] → det = 1·1 − 2·0,5 = 0 → todo el plano cae en la recta y = x/2, y la dirección (2, −1) queda aplastada en el origen

Abrir este caso: Singular

Singular — el plano se aplasta sobre una recta. Al cuadrado no le queda área: cada punto está sobre una recta por el origen. det = 0: las dos columnas son múltiplos una de otra, así que apuntan a lo largo de una sola recta. La matriz no tiene inversa. — Al cuadrado no le queda área: cada punto está sobre una recta por el origen.

Problema resuelto al detalle

La matriz identidad y un cizallamiento con autovalores idénticos 5 pasos
La matriz identidad y una cizalladura muestran el mismo determinante, la misma traza y el mismo par de autovalores. Las cuatro filas superiores son idénticas para ambas. Demuestre que las matrices difieren de todos modos —utilizando la misma maquinaria de autovalores que acaba de fallar al separarlas.
1. Ambas tienen determinante 1 y traza 2. Para la identidad esto es evidente. Para la cizalladura expresa algo real: deslizar el plano lateralmente en proporción a la altura conserva todas las áreas, motivo por el cual el paralelogramo de la imagen cambia de forma sin cambiar de tamaño.
  
  $I = (1001), S = (1011) : det = 1, tr = 2$
2. El polinomio característico se construye precisamente a partir de esos dos números, por lo que tampoco puede separarlas. Ambas dan (λ − 1)², una raíz doble en 1. Dos matrices distintas, un mismo espectro.
  
  $λ^{2} - (tr A) λ + det A = λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2} ⟹ λ = 1, 1$
3. Los autovalores son el punto donde se detienen la mayoría de los cursos. Los autovectores son el punto donde estas dos se separan. Para la identidad, A − λI es la matriz nula, de modo que la ecuación se cumple para todo vector del plano.
  
  $(I - λ I) v = 0 : 0 v = 0 for every v ⟹ ker = R^{2}$
4. Para la cizalladura, A − λI tiene una única entrada no nula y obliga a que y = 0. Solo el eje horizontal permanece fijo: una recta, no un plano.
  
  $(S - λ I) v = (0010) (x y) = (y 0) = 0 ⟹ y = 0$
5. Esa diferencia tiene un nombre y una consecuencia. El autovalor de la cizalladura tiene multiplicidad algebraica 2 pero multiplicidad geométrica 1, lo que convierte a la matriz en defectiva: no existe una base de autovectores, por lo que no se puede diagonalizar. Sus potencias crecen linealmente mientras que las de la identidad permanecen inmóviles.
  
  $dim ker (I - λ I) = 2 \neq = dim ker (S - λ I) = 1, S^{n} = (10 n 1)$
Respuesta

Cada valor que muestra la herramienta — det = 1,0000, tr = 2,0000, λ = 1,000, 1,000 — es compartido por ambas matrices. Ajuste b a 1 y observe cómo la lectura se niega a cambiar mientras la cuadrícula se desliza visiblemente. Los invariantes no son incompletos por accidente: el determinante y la traza son dos números y una matriz de 2×2 tiene cuatro, por lo que dos grados de libertad tienen que perderse en alguna parte. Lo que no pueden ver es la dimensión del espacio propio, 2 frente a 1, y eso es exactamente lo que decide si Aⁿ se queda fija o crece sin límite. Es la razón por la que "hallar los autovalores" nunca es toda la indicación.

$det, tr, λ all agree; dim ker (A - λ I) = 2 vs 1 does not$

Ruta de aprendizaje

Matrices que mueven cosas

Lleva a Vectores propios

Referencias (1)

The memoir that made a matrix an object with an algebra of its own, rather than a way of writing a system down: A. Cayley, "A memoir on the theory of matrices." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37, 1858.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Rotar 45° - det(A) = 0.9997, no 1 — una rotación debería conservar el área exactamente, y la diferencia de 3 entre 10000 viene del 0.707 tecleado, no de la geometría
Cizalladura - det(A) = 1.0000 con autovalores 1.000, 1.000 — área intacta, y un autovalor repetido deja una sola dirección invariante
Escalar - Estirar por 2 y aplastar por 0.5 da det(A) = 1.0000: un escalado que cambia todas las longitudes y ningún área
Reflejar - det(A) = −1.0000 — la misma área, recorrida al revés; los autovalores 1.000 y −1.000 son el eje del espejo y su normal
Singular - det(A) = 0.0000 y la página indica SINGULAR: el autovalor 0.000 es la dirección por la que se aplasta el plano