Bloqueo del cardán y cuaterniones

Ajusta los tres ángulos. El cardán gira, los anillos se mueven y el panel indica cuánta libertad queda en los tres ejes. Luego mueve la guiñada y el alabeo en el mismo sentido y en sentidos opuestos para que veas cuál de los dos movimientos ha dejado de tener efecto.

Ejemplo resuelto — Bloqueo del cardán y cuaterniones

La misma rotación como cuaternión	0,8463, 0,0178, 0,5145, 0,1369
El único giro al que equivale	64,4°
y el eje sobre el que gira	0,033, 0,966, 0,257
Libertad restante	50,0%
Mueve guiñada y alabeo +10°	5,2°
Mueve guiñada +10°, alabeo −10°	19,3°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Bloqueo del cardán y cuaterniones

Un cardán consiste en tres anillos, uno dentro del siguiente, cada uno libre de girar sobre su propio eje. Tres anillos, tres ángulos y cualquier orientación que desees, hasta que dos de los anillos se alinean. El bloqueo del cardán es ese momento: los anillos exterior e interior comparten un plano, sus dos ángulos hacen el mismo trabajo y una dirección completa de giro se vuelve inalcanzable sin importar cómo se ajusten los anillos. Un cuaternión es la otra forma de escribir una rotación. Son cuatro números en lugar de tres y no tiene anillos que deban alinearse.

Qué significa cada símbolo

ψ, θ, φ: guiñada, cabeceo y alabeo: los tres ángulos de los anillos, aplicados en ese orden sobre z, luego la nueva y, luego la nueva x
q: el cuaternión (w, x, y, z): w = cos(α/2) para un giro único de α, y el resto sin(α/2) multiplicado por el eje sobre el que gira
|cos θ|: la libertad restante: el tamaño del determinante de la transformación de las velocidades de los anillos a cómo gira el cuerpo, 1 cuando los anillos son ortogonales y 0 cuando dos son paralelos

Cómo leer lo que ves

La página se abre con una guiñada de 30°, un cabeceo de 60° y un alabeo de 20°. La fila del cuaternión marca 0,8463, 0,0178, 0,5145 y 0,1369, y la fila de abajo lo convierte en lo único que es realmente: un solo giro de 64,4° sobre un eje cercano a y. La libertad marca 50,0%, que es exactamente el cos 60°, y las dos filas de prueba marcan 5,2° y 19,3°. Ambas siguen moviéndose, pero ya no en la misma medida. Arrastra el cabeceo a 90° y el primero de esos dos valores caerá a 0,0°.

Supone: Que los tres giros ocurren en este orden y sobre estos ejes. Cambia la convención a z-y-z y el pliegue se mueve a un ángulo medio de 0° en lugar de 90°, aunque no desaparece. Todo esquema de tres ángulos tiene una configuración bloqueada en alguna parte. Esto es un teorema sobre rotación tridimensional, no un defecto de una sola convención.
Falla cuando: No se rompe, sino que esa es la clave. La plataforma de guiado del Apolo llevaba tres cardanes en lugar de cuatro. La tripulación tenía una región de actitudes que debían esquivar en vez de atravesar, y la alternativa era un cuarto anillo más pesado. Lo que se rompe es la idea de que una mayor precisión ayuda. A los 90° la tercera libertad ha desaparecido en lugar de ser pequeña, y ninguna cantidad de decimales en la guiñada o el alabeo la recuperará.

El bloqueo del cardán es una pendiente, pero todos lo cuentan como si fuera un precipicio 🖖

Arrastra el cabeceo hacia arriba desde la horizontal y observa la fila de libertad. Es |cos θ|: 86,6% a 30°, 50,0% a 60°, 17,4% a 80° y 1,7% a 89°. No le ocurre nada repentino a ese número a los 90°; el último grado casi no cuesta nada porque quedaba muy poco que perder. Una plataforma que rastrea a 80° de cabeceo obtiene una sexta parte del giro que lograba nivelada con el mismo movimiento de los anillos. Esa es la parte que oculta la palabra «bloqueo». La cifra es el tamaño del determinante de la transformación desde las velocidades de los anillos hasta cómo gira realmente el cuerpo (el volumen de giro por unidad de movimiento del anillo). Por tanto, ya es pequeña mucho antes de que los anillos queden paralelos.

Da una vuelta completa y el cuaternión dirá que no lo has hecho 🖖

Un cuaternión lleva cos(α/2) para un giro de α, por lo que cuenta medios giros. Rota 360° sobre z y leerá −1, 0, 0, 0, no el 1, 0, 0, 0 con el que empezó. Solo después de 720° regresa a casa. Ambos describen la misma orientación porque q y −q apuntan al mismo cuerpo. El cuaternión conserva un registro de algo que el propio objeto ha olvidado. Esto no es un accidente de notación. Hay que explicárselo a la interpolación: la regla del arco más corto invierte el signo cuando dos cuaterniones miran en direcciones opuestas. Sin esa línea, un giro de medio segundo toma el camino largo.

El camino más largo es perfectamente suave 🖖

Se suele culpar a la interpolación de los ángulos de Euler de hacer temblar la animación, aunque en realidad rara vez es así. Medidas desde 79,9° de guiñada, 85,5° de cabeceo y 153,5° de alabeo hasta 155,5° de guiñada, 75,0° de cabeceo y −139,8° de alabeo, las dos orientaciones están separadas 16,7°. Recorrer los tres ángulos linealmente viaja 368,1° para llegar allí: veintidós veces demasiado lejos, a una velocidad que varía en un medio por ciento desde el principio hasta el final. Nada de esto parece incorrecto mientras ocurre. En más de 4000 pares aleatorios, la ruta de Euler nunca fue más corta que el giro directo y promedió 1,7 veces su longitud.

Problema resuelto al detalle

Qué queda por controlar a 90° de cabeceo 6 pasos
Ajusta el cabeceo a 90° y la guiñada a 20°, con el alabeo a 0°. Demuestra que sumar 10° a la guiñada y 10° al alabeo deja el cuerpo exactamente donde estaba, e indica de qué sigue dependiendo la orientación.

Abre este problema en la herramienta
1. La rotación consiste en tres giros en orden. Primero la guiñada sobre z, luego el cabeceo sobre el nuevo y, y finalmente el alabeo sobre el nuevo x. Escrito al completo, R = R_z(ψ)·R_y(θ)·R_x(φ).
  
  $R = R_{z} (ψ) R_{y} (θ) R_{x} (φ), ψ = 2 0^{\circ}, θ = 9 0^{\circ}, φ = 0^{\circ}$
2. Pon θ = 90°. El giro intermedio lleva el eje x hacia −z y el eje z hacia x, por lo que el primer giro y el último se están aplicando ahora sobre la misma línea en el espacio. Todo lo que hace ψ, lo puede deshacer φ.
  
  $R_{y} (9 0^{\circ}) : \overset{x}{^} \mapsto - \overset{z}{^}, \overset{z}{^} \mapsto \overset{x}{^}$
3. Así que el producto colapsa en un solo giro que depende de φ − ψ y de nada más. Dos pares diferentes con la misma diferencia son la misma orientación, no solo una parecida.
  
  $⟹ R = R_{y} (9 0^{\circ}) R_{x} (φ - ψ) — one angle, not two$
4. Compruébalo. Empezando por ψ = 20°, φ = 0°, la diferencia es de −20°. Muévete a ψ = 30°, φ = 10° y la diferencia seguirá siendo de −20°.
  
  $φ - ψ = 0 - 20 = - 2 0^{\circ}; ψ = 30, φ = 10 \Rightarrow 10 - 30 = - 2 0^{\circ}$
5. Así que esos dos conjuntos de ángulos no solo son cercanos. Nombran la misma orientación y la distancia entre ellos es cero. La fila de ángulos no se mueve en absoluto.
  
  $∠ (R_{20, 90, 0}, R_{30, 90, 10}) = 0.000 0^{\circ}$
6. Ahora, en cambio, rompe la diferencia. ψ = 30°, φ = −10° da −40°, y el cuerpo oscila los 20,0000° completos.
  
  $ψ = 30, φ = - 10 \Rightarrow - 4 0^{\circ}, ∠ (R_{20, 90, 0}, R_{30, 90, - 10}) = 20.000 0^{\circ}$
Respuesta

Sumar 10° a ambos deja el cuerpo exactamente donde estaba. Las dos orientaciones difieren en 0,0000° y ambas son el mismo giro único de 91,728° sobre (−0,1711; 0,9703; 0,1711). Sumar a uno y restar del otro lo mueve los 20,0000° completos. Lo que sobrevive en θ = +90° es φ − ψ, un número donde había dos, y en θ = −90° es más bien φ + ψ. El tercer grado de libertad ha dejado de existir, no se ha vuelto simplemente difícil de alcanzar. Ninguna cantidad de precisión en ψ o φ lo traerá de vuelta.

$φ - ψ = - 2 0^{\circ} ⟹ 91.72 8^{\circ} about (- 0.1711, 0.9703, 0.1711)$

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.