Calculadora de Vectores

Calcula y visualiza operaciones vectoriales: producto escalar, producto vectorial, proyección y ángulo.

Ejemplo resuelto — Calculadora de Vectores

\|A\|	2.2361
\|B\|	2.2361
Spanned Line Eq.	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Calculadora de Vectores

El producto escalar de dos vectores se puede escribir de dos formas aparentemente muy distintas: multiplicar las componentes correspondientes y sumarlas, o multiplicar sus dos módulos por el coseno del ángulo que forman. Ambos métodos coinciden siempre, y esa coincidencia es precisamente lo que hace útil al producto escalar — convierte la geometría en aritmética.

Qué significa cada símbolo

A · B: el producto escalar: un solo número, no un vector. Con los valores por defecto, 2·−1 + 1·2 = 0.
|A|: la longitud (módulo) de un vector, a partir de Pitágoras: √(2² + 1²) = 2.2361.
θ: el ángulo entre los dos vectores, que la página muestra en radianes y grados a la vez — 1.5708 rad = 90° para los valores por defecto.
comp: la proyección escalar — qué porción de un vector se sitúa a lo largo del otro. Es el producto escalar dividido por el módulo del vector sobre el que se proyecta.

De dónde viene la fórmula

Considera el triángulo formado por A, B y el vector A − B que une sus extremos. El teorema del coseno relaciona sus lados: |A − B|² = |A|² + |B|² − 2|A||B|cos θ.
Ahora desarrolla ese mismo |A − B|² componente a componente. Cada término al cuadrado se reagrupa en |A|² y |B|², y lo que queda es −2(A_xB_x + A_yB_y).
Iguala ambas expresiones y |A|² y |B|² se cancelan, de modo que queda A_xB_x + A_yB_y = |A||B|cos θ. Al despejar, se obtiene exactamente la fórmula del ángulo que aparece en la página: θ = arccos(A·B / (|A||B|)).

Cómo leer lo que ves

Cada línea muestra la sustitución, no solo el resultado: el producto escalar como A·B = A_xB_x + A_yB_y = 2·−1 + 1·2 = 0, ambos módulos mediante Pitágoras, y luego el ángulo como arccos(0) = 1.5708 rad = 90°. Si dejas ambas casillas de z en 0, los vectores se muestran como columnas de dos componentes; si introduces un valor de z en cualquiera de ellas, la visualización pasa a ser tridimensional.

Supone: Coordenadas cartesianas con ejes perpendiculares y la misma unidad en cada uno. Las fórmulas anteriores corresponden a ese caso; en una proyección cartográfica, o en cualquier sistema de coordenadas cuyos ejes no formen ángulos rectos, la regla componente a componente ya no da el producto escalar.
Falla cuando: Un producto escalar de exactamente 0 significa que son perpendiculares —pero lo significa para cualquier par de vectores perpendiculares, sin importar su longitud, por lo que no aporta información sobre el tamaño. Además, el ángulo que devuelve es siempre el no orientado entre 0 y 180°: intercambiar A y B da una respuesta idéntica, de modo que el producto escalar por sí solo nunca puede indicar hacia qué lado se ha girado.

Los dos productos responden con cero, y el cero significa cosas opuestas 🖖

Las dos primeras preselecciones son el mismo hallazgo por dos lados. En perp2d el producto escalar marca exactamente 0 mientras el vectorial vale 1; en parallel el vectorial marca exactamente 0 mientras el escalar vale 26. Un producto escalar nulo significa entonces que los vectores forman ángulo recto, y un producto vectorial nulo que están alineados: las dos pruebas no son intercambiables, son complementarias. La fila del área generada concreta la segunda: los vectores paralelos no encierran nada, y el par de 3 por 4 de area encierra exactamente 12.

Dos productos, dos respuestas muy distintas 🖖

Esta herramienta calcula las dos formas de multiplicar vectores. El producto escalar devuelve un único número que mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección: cero significa que son perpendiculares. El producto vectorial (3D) devuelve un vector completamente nuevo, perpendicular a ambos, cuya longitud equivale al área del paralelogramo que forman. Para hallar el ángulo, basta con despejar el producto escalar: cos θ = (a·b)/(|a| |b|).

El producto vectorial solo existe en 3D y 7D 🖖

El producto escalar funciona en cualquier número de dimensiones, pero un verdadero producto vectorial — dos vectores de entrada, un vector perpendicular a ambos de salida — solo existe en tres y siete dimensiones. Esta rareza se relaciona directamente con las álgebras de los cuaterniones y los octoniones, las únicas álgebras de división normadas más allá de los números reales y complejos. Así que el familiar producto vectorial 3D es mucho menos universal de lo que parece.

Problemas resueltos al detalle

El área generada por A = (2, 1) y B = (−1, 2) 6 pasos
A = (2, 1) y B = (−1, 2). El producto escalar es cero y el área abarcada es 5. Demuestre que ambos hechos son el mismo hecho.
1. Dos vectores, y el producto escalar es la suma de los productos componente a componente. El resultado es cero, lo cual responde ya a la geometría.
  
  $A = (21), B = (- 1 2); A \cdot B = 2 (- 1) + 1 (2) = 0$
2. Ambas longitudes son iguales, y lo son por una razón que saldrá a la luz en el paso 5.
  
  $∣ A ∣ = 2^{2} + 1^{2} = 5 = 2.2361 = ∣ B ∣$
3. El coseno del ángulo es el producto escalar dividido entre el producto de las longitudes. Cero dividido entre cualquier valor es cero, y el arcocoseno de cero es un ángulo recto.
  
  $cos θ = \frac{0}{5 5} = 0 ⟹ θ = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 9 0^{\circ}$
4. El área generada es el determinante, que para vectores perpendiculares es simplemente el producto de sus longitudes — √5 × √5.
  
  $area = ∣ A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x} ∣ = ∣2 (2) - 1 (- 1) ∣ = 5 = ∣ A ∣∣ B ∣ sin θ = 5 \cdot 5 \cdot 1$
5. He aquí por qué coincidían las longitudes. Un giro de un cuarto de vuelta intercambia las coordenadas y cambia el signo de una de ellas; al aplicarlo a A se obtiene exactamente B.
  
  $R_{9 0^{\circ}} (x y) = (- y x) : (21) \mapsto (- 1 2) = B$
6. La proyección lo confirma desde la otra perspectiva: ninguna parte de A se encuentra en la dirección de B, por lo que restar la proyección deja A intacto.
  
  $proj_{B} A = \frac{0}{5} B = 0 ⟹ A is entirely its own perpendicular component$
Respuesta

Porque B es A rotado un cuarto de giro. La rotación (x, y) → (−y, x) transforma (2, 1) exactamente en (−1, 2), lo que obliga a que el ángulo sea de 90° y, por lo tanto, a que el producto escalar sea cero. Además, conserva la longitud, de modo que ambos vectores valen √5, y el paralelogramo que generan es un cuadrado de lado √5 —área 5, que es lo que muestra el panel. El producto escalar y el producto vectorial son las dos mitades de un mismo producto: |A||B| cos θ y |A||B| sin θ. A 90°, el primero es nulo y el segundo lo es todo, y la proyección de A sobre B es el vector nulo, lo que significa que A no tiene ninguna componente en la dirección de B. Gire cualquiera de los vectores unos pocos grados y ambos números cambiarán, manteniendo siempre la suma de sus cuadrados igual a |A|²|B|² = 25.

$A \cdot B = 0, θ = 9 0^{\circ}, area = 5; B = R_{9 0^{\circ}} A$
Producto escalar de 32 y módulo del producto vectorial de 7,3485 6 pasos
A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6). El panel muestra un producto escalar de 32 y un módulo del producto vectorial de 7,3485. Demuestre que esos dos números no son independientes. Este es el estado de ángulo 3D.
1. Producto escalar y ambas longitudes, directamente a partir de las definiciones. Ninguna de las dos raíces cuadradas es exacta, lo cual es lo habitual en tres dimensiones.
  
  $A \cdot B = 1 (4) + 2 (5) + 3 (6) = 32; ∣ A ∣ = 14 = 3.7417, ∣ B ∣ = 77 = 8.775$
2. A continuación se obtiene el ángulo. Con 12,9°, estos dos vectores son casi paralelos, lo que conviene observar antes del siguiente paso: el producto vectorial va a ser pequeño.
  
  $cos θ = \frac{32}{14 77} = \frac{32}{1078} = 0.9746 ⟹ θ = 0.2257 rad = 12.933 2^{\circ}$
3. El producto vectorial es el determinante de una matriz de 3×3 con los vectores unitarios en la primera fila. Su módulo es el área del paralelogramo.
  
  $A \times B = 2 (6) - 3 (5) 3 (4) - 1 (6) 1 (5) - 2 (4) = - 3 6 - 3, ∣ A \times B ∣ = 54 = 7.3485$
4. Ahora se combinan ambos productos. Se eleva cada uno al cuadrado, se suman y se compara el resultado con el producto de las longitudes al cuadrado.
  
  $∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 14 \times 77 = 1078; (A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = 1024 + 54 = 1078$
5. Al dividir la identidad entre |A|²|B|² surge la trigonometría: la misma identidad, expresada en las coordenadas iniciales.
  
  $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1 re-derived : \frac{1024}{1078} + \frac{54}{1078} = 1$
6. Una línea más confirma que el producto vectorial cumple lo que promete: es ortogonal a A y, por simetría, a B.
  
  $A \cdot (A \times B) = 1 (- 3) + 2 (6) + 3 (- 3) = 0 ⟹ the cross product leaves the plane$
Respuesta

32² + 7,3485² = 1078 = 14 × 77 = |A|²|B|². Esa es la identidad de Lagrange, y no es más que la identidad pitagórica disfrazada: al dividir toda la expresión entre |A|²|B|², resulta cos²θ + sin²θ = 1. Por tanto, los productos escalar y vectorial no son dos mediciones independientes de dos cosas distintas: son los catetos contiguo y opuesto del mismo triángulo rectángulo, y conocer uno de ellos junto con las dos longitudes determina el otro salvo el signo. La consecuencia práctica es que nunca se debe calcular un ángulo únicamente a partir del producto escalar cuando este está próximo a cero o a 180°: el coseno es plano en esa zona, mientras que el producto vectorial, cuyo seno tiene mayor pendiente, es numéricamente la mejor opción.

$(A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 1078$

Ruta de aprendizaje

Ajustar una recta a datos

Lleva a Geometría de mínimos cuadrados el producto escalar y, con él, la noción de proyección —cuánto de un vector recae sobre otro.

Referencias (1)

The dot product from both directions, and why the two definitions agree: G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-28

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Perpendicular - Perpendicular
Paralelo - (2, 3) y (4, 6), el segundo el doble del primero. El producto vectorial es exactamente 0 y el producto escalar es 26, la lectura opuesta a Perpendicular.
Ángulo 3D - (1, 2, 3) y (4, 5, 6): producto escalar de 32 sobre los módulos √14 y √77, por lo que cos θ = 0,9746 y el ángulo es 12,93°. Casi alineados, y el producto escalar lo indica antes de calcular el ángulo.
Área - Un vector de longitud 3 en el eje x frente a uno de longitud 4 en el eje y: el producto vectorial tiene un módulo de exactamente 12, que es el rectángulo que generan. El módulo del producto vectorial es el área.