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Reflexiones y los movimientos rígidos del plano

Coloca hasta tres rectas que actúen como espejos y refleja la letra F en cada una de ellas sucesivamente. La página deduce a partir de la transformación combinada de qué movimiento se trata: una reflexión, una rotación, una traslación, una reflexión con deslizamiento o nada en absoluto. También puede funcionar a la inversa. Toma una rotación, una traslación o un deslizamiento y construye los espejos que lo forman. La tabla situada debajo del dibujo realiza las operaciones con matrices.

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Lección

La teoría — Reflexiones y los movimientos rígidos del plano

Una isometría del plano es una transformación que conserva todas las distancias. Una reflexión en una recta envía cada punto a su imagen especular al otro lado e invierte la orientación: una figura con letras dispuestas en sentido horario pasará a tenerlas en sentido antihorario. Componer dos reflexiones genera una isometría que mantiene la orientación. Esta será una rotación del doble del ángulo que forman las rectas si se cruzan, o bien una traslación del doble de su separación si son paralelas. Tres reflexiones producen una reflexión o una reflexión con deslizamiento. Toda isometría del plano equivale a componer un máximo de tres reflexiones.

Qué significa cada símbolo

α
el ángulo desde el primer espejo hasta el segundo. La rotación es de 2α
d
la distancia entre dos espejos paralelos. La traslación es de 2d, en perpendicular a ellos
det
el determinante de la parte lineal: +1 si el movimiento conserva la orientación, −1 si la invierte
g
la traslación de una reflexión con deslizamiento a lo largo de su eje
M
la matriz de la transformación combinada. Es el producto de las reflexiones en orden inverso a su aplicación

Dos espejos generan una rotación del doble de su ángulo 🖖

Pulsa Dos espejos secantes. Los espejos convergen a 45°. Al reflejar la F en uno y después en el otro, esta gira 90° alrededor de la intersección. Esto es el doble del ángulo entre ellos. Cada reflexión voltea la F, así que dos volteos la devuelven a su orientación original. Una isometría que conserva la orientación y fija un punto es una rotación alrededor de él. Ahora pulsa Dos espejos paralelos. Dos espejos separados por 2 trasladan la F en 4, el doble de la separación, en dirección perpendicular a ambos. Una traslación se comporta como una rotación cuyo centro se ha marchado al infinito, y los espejos paralelos son espejos secantes cuyo punto de encuentro se ha ido con él.

El orden de dos espejos determina la dirección 🖖

Pulsa Dos espejos secantes y luego Igual, orden inverso. Los espejos son las dos mismas rectas. Solo ha cambiado cuál actúa primero, y la rotación pasa de +90° a −90°. La segunda composición deshace la primera, porque cada reflexión deshace sus propios cambios. Si hay tres espejos pasando por un punto, el orden deja de importar. Pulsa Tres por un punto e invierte su orden; el resultado será exactamente la misma reflexión única. El orden influye en dos espejos salvo que coincidan o sean perpendiculares. En tres espejos afecta a menos que todos concurran en un punto o sean todos paralelos.

Tres espejos logran el movimiento que dos no consiguen 🖖

Todo movimiento rígido del plano pertenece a uno de estos cinco tipos: la identidad, una reflexión, una rotación, una traslación o una reflexión con deslizamiento (una reflexión en una recta seguida de una traslación sobre ella). Las huellas en la arena son la imagen más cotidiana. Pulsa Tres en triángulo. Tres rectas que no concurren en un punto ni son paralelas entre sí generan un deslizamiento sobre una recta a 60°, con una longitud de 6. Un único espejo no puede trasladar y dos no pueden voltear, por lo que no existe una cantidad menor de reflexiones que lo consiga. Pulsa Construir deslizamiento o Construir rotación y la página funcionará a la inversa para buscar los espejos del movimiento que le pidas. A lo sumo se necesitan tres.

Problema resuelto al detalle

  1. Qué efecto tienen dos espejos secantes sobre una figura 5 pasos

    Dos espejos pasan por el origen, el primero a 10° del eje x y el segundo a 55°. Refleja la figura en el primero y después en el segundo para averiguar a qué movimiento único equivale este par. Pulsa Dos espejos secantes para comprobarlo.

    Abre este problema en la herramienta

    1. Una reflexión en una recta que pasa por el origen con ángulo a tiene la siguiente matriz:

    2. Aplicar la primera y luego la segunda las multiplica en ese orden desde la derecha:

    3. Al desarrollar el producto, el resultado es una matriz de rotación:

    4. Su ángulo es el doble del ángulo desde el primer espejo hasta el segundo:

    5. Ambas rectas pasan por el origen y ninguna reflexión lo mueve, por lo que el origen es el centro:

    Respuesta

    El par equivale a una rotación de 90° alrededor del origen, que es el doble de los 45° entre los espejos. Su determinante es +1, con lo que la F sale en su orientación correcta. Si cambias el orden, el ángulo pasará a ser de −90°. Son las mismas dos rectas pero con el giro opuesto.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.