Laboratorio de Media Ponderada

Doce personas con un sueldo de 45.000 reciben una subida del 6 %. Otras cuarenta y ocho que cobran 72.000 obtienen un 2 %. ¿De cuánto fue la subida media? Hay dos respuestas justificables y una equivocada, y la equivocada es la que suele citarse siempre.

1. Lo más tentador es hacer la media de los dos porcentajes. Esto le da a un departamento de doce personas el mismo peso que a uno de cuarenta y ocho, que es precisamente el error que pretende ilustrar la herramienta de arriba. Pero anótalo de todos modos, porque ese 4 % es la cifra que acabará en el comunicado oficial.

   $$\frac{6\%+2\%}{2}=4.00\%$$

2. Si ponderas por el número de empleados, cada persona cuenta una sola vez. Esta es la respuesta sincera a la pregunta de «cuánto recibió el empleado medio», y ya se sitúa más de un punto por debajo de la cifra del comunicado.

   $$\frac{12(6\%)+48(2\%)}{12+48}=\frac{72+96}{60}=2.80\%$$

3. El dinero, sin embargo, no se paga por cabeza. El segundo departamento es cuatro veces más grande y cada uno de sus integrantes cobra más, de modo que acapara el 86 % de la masa salarial. Calcula el coste real de cada grupo antes de aplicar la subida.

   $$12\times 45,000=540,00048\times 72,000=3,456,000$$

4. Al ponderar por la masa salarial, obtienes la cifra que de verdad nota el presupuesto: el porcentaje en el que creció realmente el gasto en nóminas. Vuelve a ser más baja, ya que el aumento mayor recayó sobre la partida más pequeña.

   $$\frac{540,000(6\%)+3,456,000(2\%)}{3,996,000}=\frac{32,400+69,120}{3,996,000}=2.54\%$$

5. Ambas respuestas son correctas. Responden a preguntas distintas, y la que necesites dependerá de si estás contando personas o dinero. El dinero en efectivo es el mismo en cualquier caso, y le da igual qué media decida citar cada cual.

   $$32,400+69,120=101,520$$

6. Y ahora viene lo que esta herramienta no puede mostrarte. Todas las medias ponderadas anteriores dan por sentado que las mismas personas están ahí antes y después. Imagina veinte empleados, diez que ganan 30.000 y otros diez que ganan 60.000: una media de 45.000.

   $$10\times 30,000+10\times 60,000=900,000\Rightarrow \bar{x}=45,000$$

7. Despide a los diez que menos cobran y recorta un 10 % el sueldo a los que se quedan. Ahora la media es de 54.000. Ha subido una quinta parte, a pesar de que absolutamente todas las personas que siguen empleadas han perdido una décima parte y otras diez lo han perdido todo. No se ha cometido ningún error de ponderación por ninguna parte; simplemente, la composición del grupo cambió por debajo de la media. Por eso la afirmación «el salario medio subió» debe interpretarse teniendo muy en cuenta a quién se estaba contando.

   $$10\times (60,000\times 0.9)=540,000\Rightarrow \bar{x}=54,000(+20\%)$$