Cuadro de multiplicación cruzada

Pon los cuatro números en un cuadrado, traza la cruz y rodea el que buscas. Lo que queda te dice qué multiplicar y entre qué dividir.

Ejemplo resuelto — Cuadro de multiplicación cruzada

Leído del cuadro	250 × 20 ÷ 100
Resultado	50

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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No recuerdas cuáles dos multiplicar: los miras 🖖

Ese es todo el argumento a favor de este método, y no es matemático. Aquí hay cuatro preguntas —hallar la parte, el total, el porcentaje, el valor nuevo— y aprendidas como fórmulas son cuatro cosas que hay que mantener separadas bajo presión. Aprendidas como este cuadrado son una sola: rodea el número que quieres; los dos que no están unidos a él por la cruz se multiplican, y el que sí lo está divide. Eso no cambia nunca, sea cual sea la esquina que rodees. Un dibujo que puedes rehacer en el reverso de un tique gana a una fórmula que hay que recordar bien, y por eso quienes lo aprendieron así lo siguen usando décadas después.

El cuadro son dos triángulos semejantes 🖖

Un palo de 2 m proyecta una sombra de 3 m; el árbol que tiene al lado proyecta 18 m. El mismo sol, el mismo ángulo, así que los dos triángulos tienen la misma forma — y en triángulos equiángulos los lados son proporcionales, que es Euclides, Elementos VI.4. Con los cuatro números en el cuadro, el árbol mide 2 × 18 ÷ 3 = 12 m, medido sin levantar los pies del suelo. Ese es también el límite honesto del método. Funciona justo cuando una cantidad es un múltiplo fijo de otra, porque es entonces cuando existen los dos triángulos. Detrás de T² ∝ a³ de Kepler no hay nada parecido, y ninguna disposición de una cuadrícula 2×2 dará un período orbital.

Durante mil años aquí terminaba la aritmética 🖖

Brahmagupta dejó la regla por escrito en 628 d. C., y no como una ecuación: en ella no hay ninguna incógnita. Nombró tres cantidades, pramāṇa, phala e icchā, con la observación de que dos de ellas son de la misma clase y la tercera no. Esa es la condición que impone el cuadro al poner lo semejante debajo de lo semejante. La misma formulación sigue siendo reconocible siglos después en fuentes árabes y luego en los libros de ábaco italianos: la aritmética mercantil del Liber abaci de Fibonacci (1202) y de las escuelas de cálculo que vinieron después. Y siguió siendo el final del programa, no el principio: cuando en diciembre de 1859 le pidieron que describiera su propia educación, Abraham Lincoln escribió que sabía «leer, escribir y calcular hasta la regla de tres; pero eso era todo».

La subida necesaria para volver no es la caída sufrida 🖖

Una caída del 20% no se compensa con una subida del 20%, y la diferencia no es un error de redondeo: es una curva que se curva hacia arriba y se vuelve vertical. Con una caída del 50% se necesita una ganancia del 100% para recuperar; con una caída del 80% se necesita un 400%; con una caída del 90%, un 900%. La pérdida se escala linealmente, pero el esfuerzo para recuperarse tiende a infinito.

Problemas resueltos al detalle

Cuánto cuestan 7 cuando 3 manzanas cuestan 2,4 5 pasos
3 manzanas cuestan 2,4. Calcula cuánto cuestan 7 y, a continuación, averigua qué has tenido que suponer para hacerlo.
1. Ambas filas del cuadro describen la misma tasa, y esa es toda la afirmación que se hace. La fila superior es la pareja que te han dado, 3 junto a 2,4; la fila inferior es la pareja que buscas, 7 junto a la incógnita. Por tanto, la fracción 3/2,4 y la fracción 7/D son el mismo número.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D}$
2. Es incómodo resolver con fracciones, así que elimínalas. Multiplica ambos lados a la vez por 2,4 y por D, y cada denominador se cancela en su propio lado. Lo que sobrevive es el cruce: las dos diagonales del cuadro se multiplican para dar lo mismo.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D} \times 2.4 D ⟹ 3 \times D = 2.4 \times 7$
3. Ahora la incógnita ya no está en una fracción. Aparece multiplicada por el número que tiene en la diagonal opuesta, y los dos números que necesita son los de la diagonal que no la toca.
  
  $D = \frac{2.4 \times 7}{3}$
4. 2,4 × 7 = 16,8, y 16,8 ÷ 3 = 5,6.
  
  $D = \frac{16.8}{3} = 5.6$
5. Hazlo una vez también por el camino largo, porque muestra qué es realmente la multiplicación en cruz. 2,4 ÷ 3 = 0,8 es el precio de una manzana, y 7 × 0,8 = 5,6. La multiplicación en cruz es la tasa unitaria con la división pospuesta al final, motivo por el cual también funciona cuando la tasa unitaria es un número feo.
  
  $\frac{2.4}{3} = 0.8 ⟹ 7 \times 0.8 = 5.6$
Respuesta

La cuadrícula muestra 5,6. La aritmética es la parte fácil; aquello en lo que se apoya no lo es. Multiplicar en cruz presupone que el coste es un múltiplo fijo de la cantidad: que la tasa es la misma para 3 que para 7, y que 0 manzanas cuestan 0. Si fijas el precio de las mismas manzanas en 0,6 por la bolsa más 0,6 por cada una, 3 siguen costando exactamente 2,4, de modo que el enunciado parece no haber cambiado, pero ahora 7 cuestan 4,8 y la cuadrícula da 0,8 de más. Una sola comprobación lo detecta: duplica una cantidad y comprueba si el otro lado también se duplica. Los costes fijos están por todas partes —un gasto de envío, un término fijo de suministro, una tarifa mínima— y cada uno de ellos rompe el cuadro dejando el enunciado de la pregunta completamente intacto.

$c = 0.8 n ⟹ c (7) = 5.6; c = 0.6 + 0.6 n ⟹ c (3) = 2.4, c (7) = 4.8$
Un aumento del 20% y una bajada del 20% aplicados a 200 5 pasos
200 aumenta un 20% y luego baja un 20%. La subida escribe 120 frente a 100, por lo que llega a 200 × 120 ÷ 100 = 240. Averigua en qué valor lo deja la bajada y por qué la respuesta no es 200.
1. La fila inferior es el cambio escrito como una razón respecto a 100, y aquí es donde la casilla de la esquina se rellena mal. Una bajada del 20% es 80 frente a 100, no 20, porque lo que queda sigue teniendo el 80% de lo que había. Si pones 20 en esa esquina, el cuadro devuelve 48, que es el tamaño del recorte y no el nuevo precio.
  
  $100 - 20 = 80 ⟹ \frac{A}{240} = \frac{80}{100}$
2. Con el 80 en su sitio, la multiplicación en cruz funciona exactamente como con las manzanas: el nuevo valor por 100 es igual a 240 por 80.
  
  $A \times 100 = 240 \times 80 = 19200$
3. Divide entre 100: 192, que está 8 por debajo del número del que se partió.
  
  $A = \frac{19200}{100} = 192, 200 - 192 = 8$
4. La causa es que los dos porcentajes se miden sobre cantidades distintas. La subida añadió 40, que es el 20% de 200. La bajada restó 48, que es el 20% de 240. Porcentajes iguales, cantidades de dinero desiguales —y la mayor siempre iba a ser la resta, porque se calculó sobre el número más grande.
  
  $240 - 200 = 40 = 0.20 \times 200, 240 - 192 = 48 = 0.20 \times 240$
5. Como multiplicadores es una sola línea, y la línea explica más que la cuadrícula. 1,2 × 0,8 = 0,96, y a la multiplicación no le importa el orden, por lo que bajar primero y subir después también llega a 192.
  
  $\frac{120}{100} \times \frac{80}{100} = 1.2 \times 0.8 = 0.96, 200 \times 0.96 = 192$
Respuesta

La cuadrícula muestra 192. Detrás hay un resultado algebraico que vale la pena memorizar: (1 + p)(1 − p) = 1 − p², de modo que una subida y una bajada de igual magnitud siempre te dejan p² por debajo del valor original, al margen del orden en que sucedan. Aquí p = 0,2, la pérdida es 0,04 × 200 = 8, y es lo bastante pequeña como para parecer un redondeo. Con p = 0,5, este mismo viaje de ida y vuelta cuesta el 25% de todo. La bajada que deshace realmente una subida del 20% no es en absoluto del 20%: deshacerla significa dividir entre 1,2, y 1 ÷ 1,2 = 0,8333, una bajada del 16,67%. Ese es el mismo cuadro con la incógnita trasladada a la esquina inicial: 240 × 100 ÷ 120 = 200.

$(1 + p) (1 - p) = 1 - p^{2}; \frac{1}{1.2} = 0.8333 ⟹ - 16.67%$

Ruta de aprendizaje

Un número para muchos: estadísticas de resumen

Lleva a Media ponderada la asimetría de los cambios porcentuales: una caída del 50% requiere una ganancia del +100% para recuperarse.

Referencias (5)

Why the square works: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
Brahmagupta and the transmission: Jens Høyrup, "Sanskrit-Prakrit Interaction in Elementary Mathematics as Reflected in Arabic and Italian Formulations of the Rule of Three — And Something More on the Rule Elsewhere", in Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice. Springer, 2019, pp. 131–156.
The date of the Brāhmasphuṭasiddhānta: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
Merchant arithmetic in Latin Europe: Laurence Sigler (trans.), Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002. ISBN 978-0-387-40737-1.
The Lincoln quotation: Abraham Lincoln, autobiography written for Jesse W. Fell, 20 December 1859 — "I could read, write, and cipher to the Rule of Three; but that was all."

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-11

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

7 manzanas - 3 manzanas cuestan 2,4; ¿cuánto cuestan 7? Rodea D y el cuadro te da 7 × 2,4 ÷ 3 = 5,6.
20% de 250 - 20% de 250. Rodea A y léelo: 250 × 20 ÷ 100 = 50. El 100 de la esquina es el total del que 20 es una parte.
Una subida del 20% - 200 sube un 20%. La variación pasa a ser 120 contra 100, y A sale 200 × 120 ÷ 100 = 240.
Hacia atrás - Un precio es 240 tras una subida del 20%: ¿cuánto era antes? Rodea B: 240 × 100 ÷ 120 = 200. Quitarle el 20% a 240 da 192, y esa es la respuesta a otra pregunta.
Y luego −20% - Ahora baja esos 240 un 20%: 240 × 80 ÷ 100 = 192. Una subida del 20% y después una bajada del 20% te deja en 192, no de vuelta en los 200 de partida.
Recuperación de una caída del 50% - Un precio de 200 cae un 50% a 100. Volver a 200 requiere una subida del 100% (+100,0%), no del 50% — el doble del porcentaje perdido.