Explorador de Funciones Hiperbólicas

Funciones hiperbólicas frente a circulares, comprobación de identidades e intuición geométrica.

Ejemplo resuelto — Explorador de Funciones Hiperbólicas

cosh(1)	1.543081
cosh^2(t)-sinh^2(t)	1

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de Funciones Hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas llevan el nombre de una curva, y ese nombre es toda la idea. Donde (cos t, sin t) recorre la circunferencia x² + y² = 1, el par (cosh t, sinh t) recorre la hipérbola x² − y² = 1: un signo cambiado, una curva sustituida. La pregunta más difícil, y el verdadero tema de esta lección, es qué significa el parámetro común t una vez que se abandona la circunferencia.

Qué significa cada símbolo

t: el parámetro. En la circunferencia le enseñaron a llamarlo ángulo. Esa lectura no sobrevive al paso a la hipérbola, y sustituirla correctamente es el objeto de los pasos 3 y 4.
cosh t: (eᵗ + e⁻ᵗ)/2, la abscisa del punto. Nunca menor que 1 y nunca oscilante: dos cosas que la palabra «coseno» sugiere activamente y que aquí son falsas.
sinh t: (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, la ordenada. No acotada en ambos sentidos, y nula solo en t = 0.
x² − y² = 1: la hipérbola unidad. Esta página imprime cosh²t − sinh²t en sus resultados y siempre muestra 1: ese número es esta ecuación, y ahí está la razón del nombre.

De dónde viene la fórmula

Empecemos donde se formó la intuición. El punto (cos t, sin t) está en la circunferencia unidad, y en una circunferencia el parámetro t tiene dos lecturas que dan el mismo número: es la longitud de arco recorrida desde (1, 0), y es el doble del área del sector barrido desde el centro. Como ambas coinciden, nadie se ve obligado a elegir, y todos salimos de la escuela llamando ángulo a t.
Cambiemos ahora un signo y pidamos un punto sobre x² − y² = 1. Tomemos cosh t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 y sinh t = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, elevemos al cuadrado y restemos: los términos cruzados se cancelan y queda (e²ᵗ + 2 + e⁻²ᵗ)/4 − (e²ᵗ − 2 + e⁻²ᵗ)/4 = 1. Así que (cosh t, sinh t) está sobre esa hipérbola para todo t real, por construcción. Esta es la identidad que imprime la página, y toda la justificación de la palabra «hiperbólica».
¿Cuál de las dos lecturas de t pasa entonces? La longitud de arco no. La distancia recorrida a lo largo de la hipérbola de (1, 0) a (cosh t, sinh t) no es t, y no tiene fórmula elemental alguna: es una integral elíptica, razón por la cual ningún libro la da. La que sobrevive es la otra: el área.
Aquí esa afirmación ganada y no simplemente soltada. El sector hiperbólico —limitado por el eje x, el rayo hasta (cosh t, sinh t) y la propia curva— es el triángulo bajo el rayo menos la región bajo la hipérbola. El triángulo vale ½·cosh t·sinh t. Para la otra pieza, ∫√(x² − 1) dx = ½(x√(x² − 1) − arcosh x), y evaluando de 1 a cosh t se obtiene ½(cosh t·sinh t − t), ya que √(cosh²t − 1) = sinh t y arcosh(cosh t) = t. Restando: ½·cosh t·sinh t − ½(cosh t·sinh t − t) = t/2. El área del sector es exactamente t/2: la misma regla que en la circunferencia.
La afirmación honesta es, pues, que t es el doble de un área barrida, en ambas geometrías, y que «ángulo» fue una coincidencia de la circunferencia que no viaja. Por eso el panel geométrico marca aquí dos puntos y ningún ángulo: al arrastrar el deslizador, el punto circular barre a velocidad angular constante mientras que el hiperbólico visiblemente no, y la magnitud que comparten es el área que dejan detrás, no la dirección en que se encuentran.

Cómo leer lo que ves

Dos paneles y dos números. A la izquierda, la función elegida frente a t; a la derecha, la geometría, la más interesante de las dos: una circunferencia unidad con (cos t, sin t) junto a la hipérbola con (cosh t, sinh t), ambas movidas por el mismo deslizador. La casilla «comparar con las circulares» superpone la pareja circular, de modo que la divergencia se ve directamente. De las lecturas, la segunda es la que hay que mirar: cosh²(t) − sinh²(t) marca 1.000000 en cualquier ajuste, porque no es un resultado calculado sino la ecuación de la curva, reescrita.

Supone: t real y la rama derecha de la hipérbola: cosh t ≥ 1 siempre, así que esta parametrización nunca alcanza la rama izquierda, y ningún t real lo hará. La hipérbola unidad en concreto, con ambos semiejes iguales a 1; una x²/a² − y²/b² = 1 general exige (a·cosh t, b·sinh t) y el bonito resultado del área gana un factor ab. Y el área contada como sector con signo medido desde el semieje x positivo, de modo que un t negativo barre por debajo.
Falla cuando: El nombre engaña en dos direcciones a la vez, y ambas conviene retenerlas. Lea t como un ángulo y toda gráfica hiperbólica se vuelve calladamente errónea: no hay ángulo en la figura que valga t, y la longitud de arco, el otro candidato natural, no es elemental. Lea «coseno» como una oscilación acotada y sigue el error contrario: cosh t nunca es menor que 1 y nunca vuelve a bajar, que es justo por lo que es la forma de una cadena colgante y no la de una onda. Estas funciones se llaman así por la curva que parametrizan, no por comportamiento alguno compartido con sus homónimas circulares.

Galileo tomó la cadena colgante por una parábola 🖖

Una cadena que cuelga bajo su propio peso se parece tanto a una parábola que Galileo la anotó como tal en 1638. No lo es: la curva verdadera es y = a cosh(x/a), la catenaria, y la diferencia es real, no un detalle de redondeo. Joachim Jungius demostró que la parábola era incorrecta, y en 1691 Huygens, Leibniz y Johann Bernoulli produjeron de forma independiente la curva correcta como respuesta a un desafío público de Jakob Bernoulli. El nombre viene de catena, cadena en latín. Da la vuelta a la forma y obtienes el único arco que sostiene su propio peso en compresión pura, sin flexión en ningún punto — por eso el Gateway Arch de San Luis es una catenaria y no una parábola.

Solo exponenciales disfrazadas 🖖

Si quitamos los nombres rimbombantes, sinh y cosh se construyen simplemente a partir de las funciones exponenciales e^t y e^-t: cosh(t) = (e^t + e^-t)/2 y sinh(t) = (e^t - e^-t)/2. Así, cosh es el promedio de una exponencial creciente y una decreciente, mientras que sinh es la mitad de su diferencia. Por eso cosh nunca baja de 1 y sinh pasa limpiamente por el origen.

El puente que no necesita i 🖖

Se puede convertir entre funciones hiperbólicas y circulares sin ningún número imaginario, usando la función de Gudermann gd(t): sin(gd t) = tanh(t) y tan(gd t) = sinh(t). Su inversa, ln(tan(π/4 + φ/2)), es exactamente la coordenada vertical de la proyección de Mercator. Así que toda carta náutica clásica se dibuja, sin que se note, con la geometría de sinh y cosh.

Problema resuelto al detalle

Cosh 1 a partir de las exponenciales y la cantidad física 1,543081 6 pasos
Calcule cosh 1 a partir de las exponenciales, demuestre la identidad que da nombre a estas funciones y averigüe qué magnitud física es 1,543081.
1. Ambas funciones se construyen a partir de las mismas dos exponenciales, diferenciándose solo en un signo. Todo lo demás se deduce de ello.
  
  $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}, sinh t = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$
2. Evalúe en t = 1 con e = 2,718282. Este es el número que devuelve la herramienta.
  
  $cosh 1 = \frac{2.718282 + 0.367879}{2} = \frac{3.086161}{2} = 1.543081$
3. Eleve ambas al cuadrado y reste. Los términos cruzados se anulan y lo que sobrevive es 4/4 —una identidad sin aproximación alguna y la razón por la que el parámetro traza una hipérbola en lugar de una circunferencia.
  
  $cosh^{2} t - sinh^{2} t = \frac{( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - ( e ^{t} - e ^{- t} ) ^{2}}{4} = \frac{4}{4} = 1$
4. Súmelas en su lugar y la exponencial reaparece intacta. El cociente es tanh, que está acotado por ±1 por mucho que crezca el argumento —un límite que cobrará importancia dentro de un momento.
  
  $cosh t + sinh t = e^{t}; tanh 1 = \frac{1.175201}{1.543081} = 0.761594$
5. Tome ese cociente acotado como una velocidad en unidades de c y calcule el factor de Lorentz. Devuelve exactamente el número del paso 2.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.76159 4 ^{2}} = \frac{1}{0.419974} = 1.543081 = cosh 1$
6. Ahora sume dos rapideces de la forma habitual y vuelva a convertir el resultado. El resultado coincide con la adición relativista de velocidades, que es lo que hace de la rapidez la coordenada natural.
  
  $tanh (1 + 1) = 0.964028 = \frac{0.761594 + 0.761594}{1 + 0.76159 4 ^{2}}$
Respuesta

1,543081, que es el factor de Lorentz de algo que se mueve a 0,7616 c. No se trata de una coincidencia disfrazada de tal. Si se define la rapidez mediante β = tanh φ, entonces γ = cosh φ se desprende de la identidad demostrada en el paso 3, y toda la relatividad especial unidimensional se convierte en trigonometría hiperbólica. La ventaja es que las rapideces simplemente se suman: dos impulsos de rapidez 1 dan tanh 2 = 0,9640 c, que es precisamente lo que devuelve la fórmula de adición de velocidades de Einstein para 0,7616 c combinado consigo mismo. Las velocidades no se suman; los ángulos de los que son cosenos, sí.

$cosh 1 = 1.543081 = γ at v = 0.7616 c$

Referencias (2)

The lesson — the definitions, the identity and the sector-area interpretation of the argument: F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert and C. W. Clark (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, ch. 4. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
Where the functions and their name come from: V. Riccati, Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, vol. I. Bologna, 1757 — where the hyperbolic sine and cosine are introduced. J. H. Lambert, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin 17, 1768, which brought them into general use.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-22

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

comprobación de identidad - Comprobación de identidad hiperbólica: cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1.
asíntota de tanh - tanh se acerca a +/-1 cuando |t| crece, a diferencia de tan, que diverge.
forma de catenaria - La curva cosh es el perfil de la catenaria que forman las cadenas y cables colgantes.
relación de derivadas - Relación de derivadas: d/dx sinh = cosh y d/dx cosh = sinh.