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La regla que fue el techo de la aritmética durante mil años
Existen buenos argumentos matemáticos contra la enseñanza de la multiplicación en cruz. Hay mejores argumentos cognitivos a su favor, y la historia apoya esta segunda postura.
Abraham Lincoln describió su propia formación escolar en la breve autobiografía que escribió para Jesse W. Fell:
Por supuesto, cuando alcancé la mayoría de edad no sabía gran cosa. Aun así, de algún modo, sabía leer, escribir y calcular hasta la regla de tres; pero eso era todo.
Abraham Lincoln, 20 de diciembre de 1859
Para la mayoría de las personas a lo largo de casi toda la historia documentada, la regla de tres fue el final de la educación matemática: lo último que se aprendía antes de que concluyera el plan de estudios.
La regla es esta: dadas tres cantidades, hallar la cuarta que guarda la misma proporción. Si 3 manzanas cuestan 2,40, ¿cuánto cuestan 7? Coloca los cuatro números en un cuadrado, traza una cruz sobre él y la respuesta se deduce de la posición en que quedan los números.
Puesta por escrito en el siglo VII
Brahmagupta formuló la regla en el Brāhmasphuṭasiddhānta en el 628 d. C., y lo llamativo de su exposición es lo que falta en ella: no hay ninguna ecuación ni ninguna incógnita.
Nombra tres cantidades —pramāṇa, phala e icchā, convencionalmente el argumento, el fruto y el requerimiento— y proporciona una regla para combinarlas, junto con la observación de que dos de las tres son de la misma naturaleza y la tercera no. Esa última condición desempeña una labor esencial. Es la restricción que impide dividir manzanas entre dinero, y en la cuadrícula la geometría se encarga de imponerla: lo semejante se coloca bajo lo semejante y, si se ha organizado bien el cuadrado, las unidades se resuelven solas.
La formulación viajó. Jens Høyrup ha rastreado cómo esa misma redacción reaparece de forma claramente reconocible siglos más tarde en fuentes árabes y después en los libros de abbaco italianos, la aritmética comercial que se enseñaba en las escuelas de ábaco surgidas tras el Liber abaci de Fibonacci de 1202. Llegó a Inglaterra como la «Regla de oro». Llegó a Kentucky y a Lincoln.
Argumentos en su contra
La multiplicación en cruz es un procedimiento, y los procedimientos pueden ejecutarse sin comprenderlos. Un estudiante que ha aprendido la cuadrícula puede dar respuestas correctas a problemas de proporcionalidad sin tener el menor modelo de lo que es la proporcionalidad. Peor aún, la cuadrícula oculta la estructura multiplicativa sobre la que se asienta el resto de las matemáticas: el hecho de que un incremento del 20 % equivale a multiplicar por 1,2, que los incrementos repetidos se acumulan de forma compuesta y que esto no es más que una función exponencial encubierta. Un estudiante que piensa en factores multiplicadores está preparado para el interés compuesto, la desintegración radiactiva y las ecuaciones diferenciales. Un estudiante que piensa en cuadrículas de 2×2 solo está preparado para más cuadrículas de 2×2.
Y tiene sus límites. Solo funciona cuando una cantidad es un múltiplo constante de otra. La proporcionalidad inversa exige una disposición distinta, y los textos clásicos ofrecían una: Brahmagupta expone la vyasta-trairāśika, la regla de tres inversa, inmediatamente después de la regla directa. De modo que la objeción sincera no es que el método falle ahí, sino que nada en la cuadrícula le indica al estudiante ante cuál de las dos reglas se encuentra. Las relaciones potenciales son el verdadero escollo: no hay disposición de cuatro números en un cuadrado que permita obtener la ley de Kepler T² ∝ a³.
Argumentos a su favor, a pesar de todo
Pensemos en qué falla, y cómo, cuando alguien recuerda cada método solo a medias.
El modo de fallo de una fórmula es recordarla mal, y una fórmula mal recordada falla en silencio. Devuelve un número erróneo pero seguro y verosímil, sin nada en la respuesta que indique que algo se ha torcido. El modo de fallo de una imagen es no tenerla, lo cual falla de forma manifiesta y obliga a volver a los principios fundamentales.
Casi todos los errores con porcentajes que comete la gente en la práctica son errores de base: no saber exactamente de qué cantidad es el porcentaje. Pregunta a alguien cuánto costaba una chaqueta antes de que un descuento del 20 % la rebajara a 60, y muchísima gente restará el 20 % a 60 y responderá 48. La formulación con multiplicador no protege contra esto, porque en nuevo = antiguo × (1 + r) la base es implícita: se oculta dentro de aquello a lo que remite antiguo, que es precisamente en lo que uno se equivoca.
En la cuadrícula, el 100 es una celda. Está en la página. «Porcentaje de qué» pasa a ser algo que se puede mirar en lugar de algo que hay que recordar, y la respuesta que se obtiene es 75.
Qué hace que una representación merezca ser enseñada
Cuatro preguntas parecen distinguir las representaciones que perduran de las que no.
¿Reduce varios procedimientos a uno solo? Hallar la parte, hallar el todo, hallar el porcentaje, hallar el nuevo valor tras una variación: cuatro procedimientos de libro de texto, cuatro cosas que no hay que confundir. En la cuadrícula son un único acto: rodear con un círculo el número que se busca. La carga cognitiva responde más al número de procedimientos distintos que a la dificultad de cualquiera de ellos por separado.
¿Muestra en pantalla la cantidad invisible? Véase más arriba: la base.
¿Transmite significado la posición? En la cuadrícula, la diagonal divide y los otros dos términos se multiplican, y esa regla es la misma sin importar qué esquina se rodee con un círculo. La codificación espacial y verbal combinadas perduran mucho mejor que la verbal por sí sola.
¿Se hace visible el paso que se suele pasar por alto? Una subida del 20 % no es «20» en la cuadrícula: es 120 frente a 100. Ese paso intermedio —convertir una variación en una razón— es el que se suele omitir, de modo que una buena representación lo muestra en lugar de presentar un 120 ya definitivo.
La Cross-Multiplication Grid se articula en torno a estas cuatro pruebas, e incluye doce casos prácticos resueltos para que su versatilidad sea visible en lugar de simplemente afirmada.
Por qué la cuadrícula es legítima
Nada de esto importaría si el método fuera tan solo un truco que casualmente funciona. En el fondo, subyace una afirmación sobre triángulos semejantes.
Clava una vara de un metro en el suelo y mide su sombra. Mide la sombra de un árbol contiguo. El sol está lo bastante lejos como para que sus rayos lleguen de forma prácticamente paralela, de modo que la vara y su sombra forman un triángulo con exactamente los mismos ángulos que el árbol y su sombra. Ángulos iguales significan lados proporcionales —Euclides, Elementos, VI.4— y una altura a la que nadie puede llegar se transforma en tres longitudes que cualquiera puede medir a pasos.
Ese es todo el método que sustenta la medición de una pirámide mediante su sombra, y es el mismo cuadrado que se completa en la cuadrícula. La proporción no es una convención sobre dónde escribir los números: es un teorema sobre la forma geométrica.
Enseñar un método por razones cognitivas no da carta blanca para enseñarlo como algo universal, y cambiar confusión por una falsa seguridad no supone ninguna victoria. Pero una representación que uno puede reconstruir en el reverso de un recibo supera con creces a una fórmula que hay que recordar con precisión, y por eso quienes lo aprendieron de este modo continúan usándolo décadas después.