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La regla que fue el techo de la aritmética durante mil años
Hay buenos argumentos matemáticos para no enseñar la multiplicación cruzada. Los argumentos cognitivos a favor son mejores, y la historia se pone de ese lado.
Abraham Lincoln describió así su propia escolarización en la breve autobiografía que redactó para Jesse W. Fell:
Por supuesto, cuando llegué a la mayoría de edad no sabía gran cosa. Aun así, de algún modo sabía leer, escribir y calcular hasta la regla de tres; pero eso era todo.
Abraham Lincoln, 20 de diciembre de 1859
Para la mayoría de la gente durante casi toda la historia escrita, la regla de tres era el final de la educación matemática: lo último que se aprendía antes de que el temario se acabase.
La regla dice así: dadas tres cantidades, hallar la cuarta que guarda la misma proporción. Si 3 manzanas cuestan 2,40, ¿cuánto cuestan 7? Se colocan los cuatro números en un cuadrado, se traza una cruz sobre él y la respuesta se deduce del lugar que ocupa cada número.
Puesta por escrito en el siglo VII
Brahmagupta expuso la regla en el Brāhmasphuṭasiddhānta en el año 628, y lo llamativo de su enunciado es lo que falta en él: no hay ecuación ni incógnita.
Nombra tres cantidades, pramāṇa, phala e icchā, que suelen traducirse como el argumento, el fruto y la demanda, y da una regla para combinarlas junto con la observación de que dos de las tres son cosas de la misma especie y la tercera no. Esa última condición hace un trabajo real: es la restricción que impide dividir manzanas entre dinero, y en la disposición en cuadrícula la impone la geometría, porque lo semejante queda debajo de lo semejante y, si el cuadrado está bien colocado, las unidades se cuidan solas.
La formulación viajó. Jens Høyrup ha rastreado cómo esa misma redacción, todavía reconocible, aparece siglos después en fuentes árabes y más tarde en los libros italianos de abbaco, la aritmética comercial que se enseñaba en las escuelas de cálculo surgidas tras el Liber abaci de Fibonacci, de 1202. Llegó a Inglaterra como la "regla de oro". Llegó a Kentucky, y a Lincoln.
Lo que se le puede reprochar
La multiplicación cruzada es un procedimiento, y los procedimientos se ejecutan sin necesidad de entenderlos. Un alumno que ha aprendido la cuadrícula puede dar respuestas correctas a problemas de proporciones sin tener modelo alguno de lo que la proporcionalidad es. Peor aún: la cuadrícula esconde la estructura multiplicativa sobre la que se levanta el resto de las matemáticas, esto es, que una subida del 20 % es multiplicar por 1,2, que las subidas sucesivas se componen y que ahí hay una exponencial disfrazada. Quien piensa en multiplicadores está listo para el interés compuesto, la desintegración radiactiva y las ecuaciones diferenciales. Quien piensa en cuadrículas de 2×2 está listo para más cuadrículas de 2×2.
Y se rompe. Solo funciona cuando una cantidad es un múltiplo fijo de otra. La proporción inversa exige otra disposición, y los textos clásicos lo sabían y la proporcionaron: la vyasta-trairāśika o regla de tres inversa, que Brahmagupta da inmediatamente después de la directa. La queja honesta, por tanto, no es que el método falle ahí, sino que el aprendiz tiene que saber en cuál de las dos reglas se encuentra y nada en la cuadrícula se lo indica. El muro de verdad son las relaciones de potencias: no hay manera de colocar cuatro números en un cuadrado que dé la T² ∝ a³ de Kepler.
Lo que aun así lo justifica
Conviene fijarse en qué falla, y de qué manera, cuando alguien recuerda cada método a medias.
Una fórmula falla por recordarse mal, y una fórmula mal recordada falla en silencio: devuelve un número seguro de sí mismo, verosímil y equivocado, sin nada en la respuesta que delate que algo se torció. Un dibujo falla por no tenerlo, y eso falla a gritos y devuelve al lector a los primeros principios.
Casi todos los errores con porcentajes que la gente comete en la práctica son errores de base: no saber de qué cantidad es porcentaje el porcentaje. Pregunta a alguien cuánto costaba una chaqueta antes de que un descuento del 20 % la dejara en 60 y muchos restarán el 20 % de 60 y responderán 48. La forma con multiplicador no protege de esto, porque en nuevo = viejo × (1 + r) la base es implícita: se esconde dentro de aquello a lo que viejo se refiere, que es justamente lo que se está entendiendo mal.
En la cuadrícula, el 100 es una casilla. Está sobre el papel. El "porcentaje de qué" pasa a ser algo que se mira en lugar de algo que hay que recordar, y la respuesta sale 75.
Qué hace que una representación merezca enseñarse
Cuatro preguntas parecen separar las representaciones que sobreviven de las que no.
¿Reduce varios procedimientos a uno solo? Hallar la parte, hallar el total, hallar el porcentaje, hallar el nuevo valor tras un cambio: cuatro procedimientos de manual, cuatro cosas que no confundir. En la cuadrícula son un único gesto, rodear el número que se busca. La carga cognitiva depende más del número de procedimientos distintos que de la dificultad de cualquiera de ellos.
¿Pone a la vista la cantidad invisible? Véase arriba: la base.
¿Significa algo la posición? En la cuadrícula la diagonal divide y los otros dos se multiplican, y la regla es la misma se rodee la esquina que se rodee. La codificación espacial junto con la verbal se retiene mucho mejor que la verbal sola.
¿Se ve el paso que la gente se salta? Una subida del 20 % no es "20" en la cuadrícula, sino 120 frente a 100. Ese paso intermedio, convertir un cambio en una razón, es el que se omite, así que una buena representación lo muestra en lugar de presentar un 120 ya terminado.
La herramienta Cross-Multiplication Grid está construida en torno a esas cuatro pruebas e incluye doce casos resueltos, de modo que la versatilidad se ve en lugar de afirmarse.
Por qué la cuadrícula es legítima
Nada de esto importaría si el método fuera un truco que casualmente funciona. No lo es: es un enunciado sobre triángulos semejantes.
Clava una vara de un metro en el suelo y mide su sombra. Mide después la sombra de un árbol que esté al lado. El Sol está lo bastante lejos como para que sus rayos lleguen paralelos a todos los efectos, así que la vara y su sombra forman un triángulo con exactamente los mismos ángulos que el árbol y la suya. Ángulos iguales significan lados proporcionales, que es Euclides, Elementos VI.4, y una altura a la que nadie alcanza se convierte en tres longitudes que cualquiera puede medir a pasos.
Ese es todo el método que hay detrás de medir una pirámide por su sombra, y es el mismo cuadrado que se rellena en la cuadrícula. La proporción no es un convenio sobre dónde escribir los números, sino un teorema sobre la forma.
Enseñar un método por razones cognitivas no autoriza a enseñarlo como universal, y cambiar confusión por falsa seguridad no es ganar nada. Pero una representación que se puede reconstruir en el dorso de un tique gana a una fórmula que hay que recordar bien, y por eso quienes la aprendieron así la siguen usando décadas después.