Dies ist eine maschinelle Übersetzung; die englische Fassung ist das Original. Original lesen
Die Regel, die tausend Jahre lang die Obergrenze des Rechnens war
Gegen den Dreisatz im Unterricht spricht ein gutes mathematisches Argument. Für ihn spricht ein besseres kognitives, und die Geschichte steht auf dieser zweiten Seite.
Abraham Lincoln beschrieb seine eigene Schulzeit in der kurzen Autobiografie, die er für Jesse W. Fell verfasste:
Als ich volljährig wurde, wusste ich natürlich nicht viel. Immerhin konnte ich irgendwie lesen, schreiben und bis zum Dreisatz rechnen; aber das war auch alles.
Abraham Lincoln, 20. Dezember 1859
Für die meisten Menschen und über weite Strecken der überlieferten Geschichte war der Dreisatz das Ende der mathematischen Bildung: das Letzte, was man lernte, bevor der Lehrplan aufhörte.
Die Regel lautet: Aus drei gegebenen Größen ist die vierte zu bestimmen, die im selben Verhältnis steht. Wenn 3 Äpfel 2,40 kosten, was kosten dann 7? Man ordnet die vier Zahlen in einem Quadrat an, legt ein Kreuz darüber, und die Antwort ergibt sich daraus, wo die Zahlen stehen.
Im siebten Jahrhundert festgehalten
Brahmagupta legte die Regel 628 n. Chr. im Brāhmasphuṭasiddhānta dar, und das Auffällige an seiner Formulierung ist, was darin fehlt: keine Gleichung, keine Unbekannte.
Er benennt drei Größen, pramāṇa, phala und icchā, herkömmlich übersetzt als Argument, Frucht und Forderung, und gibt an, wie sie zu verbinden sind. Dazu die Beobachtung, dass zwei der drei von derselben Art sind und die dritte nicht. Diese letzte Bedingung leistet echte Arbeit. Sie ist die Einschränkung, die einen daran hindert, Äpfel durch Geld zu teilen, und im Quadrat setzt die Geometrie sie durch: Gleichartiges steht unter Gleichartigem, und wer das Quadrat richtig aufgebaut hat, muss sich um die Einheiten nicht mehr kümmern.
Die Formulierung wanderte. Jens Høyrup hat nachgezeichnet, wie erkennbar dieselbe Wendung Jahrhunderte später in arabischen Quellen auftaucht und danach in den italienischen abbaco-Büchern, dem kaufmännischen Rechnen der Rechenschulen, die auf Fibonaccis Liber abaci von 1202 folgten. In England hieß sie „Goldene Regel“. Sie erreichte Kentucky und Lincoln.
Was dagegen spricht
Die Kreuzmultiplikation ist ein Verfahren, und Verfahren lassen sich ohne Verständnis ausführen. Wer das Schema gelernt hat, liefert richtige Antworten auf Verhältnisaufgaben, ohne die geringste Vorstellung davon zu haben, was Proportionalität überhaupt ist. Schlimmer noch: Das Schema verdeckt die multiplikative Struktur, auf der die übrige Mathematik aufbaut. Dass eine Steigerung um 20 % eine Multiplikation mit 1,2 ist, dass wiederholte Steigerungen sich aufmultiplizieren, dass hier eine Exponentialfunktion im Verborgenen steckt. Wer in Faktoren denkt, ist bereit für Zinseszins, radioaktiven Zerfall und Differentialgleichungen. Wer in 2×2-Feldern denkt, ist bereit für weitere 2×2-Felder.
Und sie versagt. Sie greift nur, wenn eine Größe ein festes Vielfaches einer anderen ist. Antiproportionalität verlangt eine andere Anordnung; die klassischen Texte wussten das und lieferten sie mit, den vyasta-trairāśika oder umgekehrten Dreisatz, den Brahmagupta unmittelbar nach der direkten Regel angibt. Der ehrliche Einwand lautet also nicht, dass das Verfahren dort scheitert, sondern dass die Lernenden wissen müssen, in welcher der beiden Regeln sie stecken, und das Schema sagt es ihnen nicht. Die eigentliche Wand sind Potenzbeziehungen: Keine Anordnung von vier Zahlen in einem Quadrat liefert Keplers T² ∝ a³.
Was trotzdem dafür spricht
Man sehe sich an, was jeweils versagt und auf welche Weise, wenn jemand die Methode nur halb erinnert.
Eine Formel versagt dadurch, dass man sie falsch erinnert, und eine falsch erinnerte Formel versagt lautlos. Sie liefert eine selbstbewusste, plausible, falsche Zahl, und der Antwort ist nicht anzusehen, dass etwas schiefgegangen ist. Ein Bild versagt dadurch, dass man keines hat, und dieses Versagen ist laut und schickt einen zu den Grundlagen zurück.
Fast jeder Prozentfehler, der in der Praxis vorkommt, ist ein Fehler bei der Bezugsgröße: Man weiß nicht, wovon der Prozentsatz ein Prozentsatz ist. Fragt man jemanden, was eine Jacke gekostet hat, bevor ein Rabatt von 20 % sie auf 60 brachte, ziehen sehr viele 20 % von 60 ab und antworten 48. Die Faktorschreibweise schützt davor nicht, denn in neu = alt × (1 + r) bleibt die Bezugsgröße implizit: Sie verbirgt sich in dem, worauf alt verweist, und genau das wird ja falsch bestimmt.
Im Schema ist die 100 ein Feld. Sie steht auf dem Papier. Aus „Prozent wovon?“ wird etwas, das man ansehen kann, statt etwas, das man behalten muss, und als Antwort kommt 75 heraus.
Woran sich zeigt, ob eine Darstellung das Unterrichten wert ist
Vier Fragen scheinen die Darstellungen, die überdauern, von denen zu trennen, die es nicht tun.
Fasst sie mehrere Verfahren zu einem zusammen? Den Teil bestimmen, das Ganze bestimmen, den Prozentsatz bestimmen, den neuen Wert nach einer Änderung bestimmen: vier Lehrbuchverfahren, vier Dinge, die auseinanderzuhalten sind. Im Schema sind sie ein einziger Handgriff, nämlich die gesuchte Zahl einzukreisen. Die kognitive Belastung hängt stärker an der Zahl der verschiedenen Verfahren als an der Schwierigkeit eines einzelnen.
Bringt sie die unsichtbare Größe auf den Schirm? Siehe oben: die Bezugsgröße.
Trägt die Position Bedeutung? Im Schema wird über die Diagonale geteilt und mit den beiden anderen multipliziert, und diese Regel bleibt dieselbe, welche Ecke man auch einkreist. Räumliche und sprachliche Kodierung zusammen halten sich weit besser als sprachliche allein.
Wird der Schritt sichtbar, den man überspringt? Eine Steigerung um 20 % ist im Schema nicht „20“, sondern 120 gegen 100. Dieser Zwischenschritt, eine Änderung in ein Verhältnis zu verwandeln, ist genau der, den man auslässt; eine gute Darstellung zeigt ihn deshalb, statt eine fertige 120 zu präsentieren.
Das Werkzeug Cross-Multiplication Grid ist um diese vier Prüfungen herum gebaut und enthält zwölf durchgerechnete Fälle, damit die Vielseitigkeit sichtbar wird und nicht bloß behauptet.
Warum das Schema legitim ist
Nichts davon zählte, wenn das Verfahren bloß ein Trick wäre, der zufällig funktioniert. Es ist keiner, sondern eine Aussage über ähnliche Dreiecke.
Man stellt einen Meterstab in den Boden und misst seinen Schatten. Daneben misst man den Schatten eines Baumes. Die Sonne steht weit genug entfernt, dass ihre Strahlen praktisch parallel eintreffen; Stab und Schatten bilden also ein Dreieck mit genau denselben Winkeln wie Baum und Schatten. Gleiche Winkel bedeuten proportionale Seiten, Euklid, Elemente VI.4, und aus einer Höhe, an die niemand heranreicht, werden drei Längen, die jeder abschreiten kann.
Das ist das ganze Verfahren hinter der Messung einer Pyramide an ihrem Schatten, und es ist dasselbe Quadrat, das man im Schema ausfüllt. Die Proportion ist keine Verabredung darüber, wohin man Zahlen schreibt, sondern ein Satz über Form.
Ein Verfahren aus kognitiven Gründen zu unterrichten, erlaubt es nicht, es als allgemeingültig zu unterrichten, und Verwirrung gegen falsche Sicherheit zu tauschen ist kein Gewinn. Aber eine Darstellung, die man auf der Rückseite eines Kassenbons wieder aufbauen kann, schlägt eine Formel, die man korrekt erinnern muss, und deshalb rechnen Menschen, die es auf diese Weise gelernt haben, noch Jahrzehnte später so.