Dies ist eine maschinelle Übersetzung; das englischsprachige Original ist maßgebend. Original lesen
Die Regel, die tausend Jahre lang die Obergrenze der Arithmetik bildete
Es gibt gute mathematische Gründe gegen das Unterrichten der Kreuzmultiplikation. Kognitiv gibt es bessere Gründe dafür – und die Geschichte steht auf der zweiten Seite.
Abraham Lincoln beschrieb seinen eigenen Bildungsweg in der kurzen Autobiografie, die er für Jesse W. Fell verfasste:
Als ich volljährig wurde, wusste ich freilich nicht viel. Dennoch konnte ich irgendwie lesen, schreiben und rechnen bis zum Dreisatz; aber das war auch schon alles.
Abraham Lincoln, 20. Dezember 1859
Für die meisten Menschen in den meisten Epochen der geschriebenen Geschichte war der Dreisatz der Endpunkt der mathematischen Bildung: das Letzte, was man lernte, bevor der Lehrplan endete.
Die Regel lautet: Bestimme bei drei gegebenen Größen die vierte, die im selben Verhältnis steht. Wenn 3 Äpfel 2,40 kosten, was kosten dann 7? Man ordne die vier Zahlen in einem Quadrat an, zeichne ein Kreuz hindurch, und das Ergebnis folgt daraus, wo die Zahlen stehen.
Im siebten Jahrhundert niedergeschrieben
Brahmagupta formulierte die Regel 628 n. Chr. im Brāhmasphuṭasiddhānta, und das Bemerkenswerte an seiner Darstellung ist, was darin fehlt: Es gibt keine Gleichung und keine Unbekannte.
Er benennt drei Größen – pramāṇa, phala und icchā, traditionell Bezugswert, Frucht und Begehr – und gibt eine Vorschrift an, wie diese zu verknüpfen sind, zusammen mit der Feststellung, dass zwei der drei von gleicher Art sind und die dritte nicht. Diese letzte Bedingung leistet die eigentliche Arbeit. Sie ist die Einschränkung, die davor bewahrt, Äpfel durch Geld zu teilen, und in der Gitterdarstellung wird sie geometrisch erzwungen: Gleichartiges steht unter Gleichartigem, und wenn man das Quadrat richtig angeordnet hat, fügen sich die Einheiten von selbst.
Die Formulierung wanderte weiter. Jens Høyrup hat nachgezeichnet, wie erkennbar dieselbe Ausdrucksweise Jahrhunderte später in arabischen Quellen und anschließend in den italienischen abbaco-Büchern auftaucht, der in den Rechenschulen gelehrten kaufmännischen Arithmetik im Gefolge von Fibonaccis Liber abaci aus dem Jahr 1202. Sie erreichte England als „Golden Rule“. Sie erreichte Kentucky und Lincoln.
Was dagegen spricht
Die Kreuzmultiplikation ist ein Rechenverfahren, und Rechenverfahren lassen sich ohne Verständnis ausführen. Wer das Gitter verinnerlicht hat, kann proportionale Aufgaben korrekt lösen, ohne die geringste Vorstellung davon zu besitzen, was Proportionalität ist. Schlimmer noch: Das Gitter verdeckt die multiplikative Struktur, auf der die restliche Mathematik aufbaut – die Tatsache, dass ein Zuwachs um 20% einer Multiplikation mit 1,2 entspricht, dass sich wiederholte Steigerungen aufzinsen und dass darin ein verkapptes Exponentialwachstum steckt. Wer in Faktoren denkt, ist bereit für Zinseszins, radioaktiven Zerfall und Differentialgleichungen. Wer in 2×2-Gittern denkt, ist bereit für weitere 2×2-Gitter.
Und das Verfahren stößt an Grenzen. Es funktioniert nur, wenn eine Größe ein festes Vielfaches einer anderen ist. Umgekehrte Proportionalität erfordert eine andere Anordnung, und die klassischen Texte lieferten diese auch: Brahmagupta nennt die vyasta-trairāśika, den umgekehrten Dreisatz, unmittelbar nach der Grundregel. Der berechtigte Einwand lautet also nicht, dass die Methode dort versagt, sondern dass dem Lernenden nichts im Gitter verrät, in welcher der beiden Regeln man sich befindet. Potenzbeziehungen sind die eigentliche Barriere: Es gibt keine Anordnung von vier Zahlen in einem Quadrat, die Keplers T² ∝ a³ liefert.
Was dennoch dafür spricht
Man betrachte, was geschieht und woran es scheitert, wenn man sich an die jeweilige Methode nur noch lückenhaft erinnert.
Das Fehlermuster einer Formel ist das falsche Erinnern – und eine falsch erinnerte Formel versagt geräuschlos. Sie liefert eine sichere, plausible, falsche Zahl, und dem Ergebnis ist nicht anzusehen, dass etwas schiefgegangen ist. Das Fehlermuster eines Schaubilds besteht darin, keines zu haben; das bemerkt man sofort und wird zu den Grundprinzipien zurückgeführt.
Nahezu jeder Prozentrechnungsfehler in der Praxis ist ein Bezugsgrößenfehler: Man weiß nicht, von welcher Größe der Prozentsatz der Prozentsatz ist. Fragt man jemanden, was eine Jacke kostete, bevor ein Nachlass von 20% ihren Preis auf 60 senkte, ziehen sehr viele 20% von 60 ab und antworten 48. Die Multiplikatorschreibweise schützt davor nicht, denn in neu = alt × (1 + r) ist die Bezugsgröße nur implizit enthalten: Sie verbirgt sich in dem, worauf sich alt bezieht – und genau das wird verfehlt.
Im Gitter ist die 100 ein eigenes Feld. Sie steht auf dem Papier. „Prozent wovon?“ wird zu etwas, das man vor sich sieht, statt zu etwas, das man im Kopf behalten muss, und das Ergebnis lautet 75.
Wann eine Darstellung es wert ist, gelehrt zu werden
Vier Fragen scheinen Darstellungen, die Bestand haben, von solchen zu unterscheiden, die wieder verschwinden.
Fasst sie mehrere Verfahren zu einem zusammen? Den Anteil bestimmen, das Ganze bestimmen, den Prozentsatz bestimmen, den neuen Wert nach einer Veränderung bestimmen: vier Lehrbuchverfahren, vier Dinge, die man auseinanderhalten muss. Im Gitter bilden sie eine einzige Handlung: Man kreist die Zahl ein, die man sucht. Die kognitive Belastung folgt der Zahl unterschiedlicher Verfahren weit mehr als der Schwierigkeit eines einzelnen.
Macht sie die unsichtbare Größe sichtbar? Siehe oben: die Bezugsgröße.
Trägt die Position Bedeutung? Im Gitter teilt die Diagonale und die beiden anderen multiplizieren; diese Regel bleibt dieselbe, ganz gleich, welche Ecke man einkreist. Räumliche und sprachliche Enkodierung zusammen überdauern weit besser als rein sprachliche.
Wird der Schritt sichtbar, den man sonst überspringt? Ein Anstieg um 20% ist im Gitter keine „20“; es sind 120 gegenüber 100. Dieser Zwischenschritt – eine Veränderung in ein Verhältnis zu überführen – ist jener, den Lernende auslassen. Eine gute Darstellung zeigt ihn deshalb, anstatt eine fertige 120 vorzusetzen.
Das Cross-Multiplication Grid ist um diese vier Kriterien herum aufgebaut und umfasst zwölf durchgerechnete Fälle, sodass die Vielseitigkeit sichtbar wird, statt nur behauptet zu werden.
Warum das Gitter seine Berechtigung hat
All dies spielte keine Rolle, wäre die Methode bloß ein Rechentrick, der zufällig aufgeht. Ihr liegt vielmehr eine Aussage über ähnliche Dreiecke zugrunde.
Man stecke einen Meterstab senkrecht in den Boden und messe seinen Schatten. Dann messe man den Schatten eines Baumes daneben. Die Sonne ist weit genug entfernt, dass ihre Strahlen praktisch parallel eintreffen; der Stab und sein Schatten bilden daher ein Dreieck mit genau denselben Winkeln wie der Baum und sein Schatten. Gleiche Winkel bedeuten proportionale Seiten – Euklid, Elemente VI.4 – und aus einer Höhe, die niemand erreichen kann, werden drei Längen, die jeder abschreiten kann.
Das ist die gesamte Methode hinter der Schattenmessung einer Pyramide, und es ist dasselbe Quadrat, das man im Gitter ausfüllt. Das Verhältnis ist keine bloße Konvention darüber, wohin man Zahlen schreibt. Es ist ein geometrischer Lehrsatz über Gestalt.
Eine Methode aus kognitiven Gründen zu unterrichten, berechtigt nicht dazu, sie als universell darzustellen, und Verwirrung gegen falsche Sicherheit einzutauschen, ist kein Gewinn. Aber eine Darstellung, die man auf der Rückseite eines Kassenbons rekonstruieren kann, schlägt eine Formel, an die man sich exakt erinnern muss – und genau deshalb wenden Menschen, die es so gelernt haben, dieses Verfahren noch Jahrzehnte später an.