Kreuzmultiplikations-Raster

Schreibe die vier Zahlen in ein Quadrat, ziehe das Kreuz und kreise die gesuchte ein. Was übrig bleibt, sagt dir, was multipliziert und wodurch geteilt wird.

Rechenbeispiel — Kreuzmultiplikations-Raster

Vom Raster abgelesen	250 × 20 ÷ 100
Ergebnis	50

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Man merkt sich nicht, welche zwei man multipliziert — man schaut hin 🖖

Das ist das ganze Argument für diese Methode, und es ist kein mathematisches. Es gibt hier vier Fragen — den Teil, das Ganze, den Prozentsatz, den neuen Wert finden — und als Formeln gelernt sind das vier Dinge, die man unter Druck auseinanderhalten muss. Als dieses Quadrat gelernt sind sie eines: Kreise die gesuchte Zahl ein; die beiden, die nicht über das Kreuz mit ihr verbunden sind, werden multipliziert, und die eine, die es ist, teilt. Das ändert sich nie, welche Ecke du auch einkreist. Ein Bild, das man auf einem Kassenbon neu aufbauen kann, schlägt eine Formel, die man korrekt erinnern muss — und genau deshalb benutzen Menschen, die es so gelernt haben, es Jahrzehnte später noch.

Das Quadrat sind zwei ähnliche Dreiecke 🖖

Ein 2 m hoher Stock wirft einen 3 m langen Schatten; der Baum daneben wirft 18 m. Dieselbe Sonne, derselbe Winkel, also haben beide Dreiecke dieselbe Form — und in winkelgleichen Dreiecken stehen die Seiten im gleichen Verhältnis, das ist Euklid, Elemente VI.4. Die vier Zahlen ins Quadrat gesetzt: der Baum ist 2 × 18 ÷ 3 = 12 m hoch, gemessen ohne den Boden zu verlassen. Das ist zugleich die ehrliche Grenze der Methode. Sie trägt genau dann, wenn eine Größe ein festes Vielfaches einer anderen ist, denn nur dann gibt es die beiden Dreiecke. Hinter Keplers T² ∝ a³ steht nichts dergleichen, und kein 2×2-Gitter liefert dort eine Umlaufzeit.

Tausend Jahre lang endete hier die Rechenkunst 🖖

Brahmagupta hielt die Regel 628 n. Chr. fest, und zwar nicht als Gleichung — eine Unbekannte kommt darin nicht vor. Er benannte drei Größen, pramāṇa, phala und icchā, mit der Bemerkung, dass zwei davon gleichartig sind und die dritte nicht. Genau diese Bedingung erzwingt das Quadrat, indem Gleiches unter Gleichem steht. Dieselbe Formulierung ist Jahrhunderte später in arabischen Quellen und dann in den italienischen Abbaco-Büchern wiederzuerkennen — der Kaufmannsrechnung von Fibonaccis Liber abaci (1202) und der Rechenschulen, die ihm folgten. Und sie blieb das Ende des Lehrplans, nicht der Anfang: als Abraham Lincoln im Dezember 1859 seine eigene Schulbildung beschreiben sollte, schrieb er, er könne „lesen, schreiben und bis zum Dreisatz rechnen; aber das war alles“.

Der Erholungsanstieg entspricht nicht dem erlittenen Verlust 🖖

Ein Verlust von 20% wird nicht durch einen Anstieg von 20% ausgeglichen, und der Unterschied ist kein Rundungsfehler — es ist eine Kurve, die nach oben abbiegt und vertikal wird. Bei 50% Verlust benötigt man 100% Gewinn zur Erholung; bei 80% Verlust benötigt man 400%; bei 90% Verlust 900%. Der Verlust skaliert linear, aber der Aufwand zur Erholung strebt gegen Unendlich.

Aufgaben vollständig gelöst

Was 7 kosten, wenn 3 Äpfel 2,4 kosten 5 Schritte
3 Äpfel kosten 2,4. Berechne, was 7 kosten — und bestimme dann, was dafür vorausgesetzt werden musste.
1. Beide Zeilen des Quadrats beschreiben dasselbe Verhältnis, und genau das ist die gesamte Aussage. Die obere Zeile ist das gegebene Paar, 3 neben 2,4; die untere Zeile ist das gesuchte Paar, 7 neben der Unbekannten. Folglich sind der Bruch 3/2,4 und der Bruch 7/D dieselbe Zahl.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D}$
2. Brüche sind beim Auflösen unhandlich, also löst man sie auf. Multipliziert man beide Seiten gleichzeitig mit 2,4 und mit D, kürzt sich auf jeder Seite der jeweilige Nenner weg. Was übrig bleibt, ist das Kreuz: Die beiden Diagonalen des Quadrats ergeben miteinander multipliziert denselben Wert.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D} \times 2.4 D ⟹ 3 \times D = 2.4 \times 7$
3. Nun steht die Unbekannte nicht mehr im Bruch. Sie ist mit der Zahl multipliziert, die ihr diagonal gegenüberliegt, und die beiden Zahlen, die sie benötigt, sind diejenigen auf der Diagonale, die sie nicht berührt.
  
  $D = \frac{2.4 \times 7}{3}$
4. 2,4 × 7 = 16,8 und 16,8 ÷ 3 = 5,6.
  
  $D = \frac{16.8}{3} = 5.6$
5. Rechnet man es einmal auch auf dem langen Weg durch, zeigt sich, was die Kreuzregel wirklich ist. 2,4 ÷ 3 = 0,8 ist der Preis für einen Apfel, und 7 × 0,8 = 5,6. Das Kreuz ist der Einzelpreis mit ans Ende verschobener Division, weshalb es auch funktioniert, wenn der Einzelpreis eine unbequeme Zahl ist.
  
  $\frac{2.4}{3} = 0.8 ⟹ 7 \times 0.8 = 5.6$
Antwort

Das Schema liefert 5,6. Die Arithmetik ist die einfache Hälfte; worauf sie beruht, ist es nicht. Die Kreuzmultiplikation setzt voraus, dass die Kosten ein festes Vielfaches der Stückzahl sind — dass das Verhältnis bei 3 dasselbe ist wie bei 7 und dass 0 Äpfel 0 kosten. Setzt man für dieselben Äpfel 0,6 für die Tüte plus 0,6 pro Stück an, kosten 3 immer noch exakt 2,4, sodass die Aufgabenstellung unverändert wirkt; 7 kosten nun jedoch 4,8, und das Schema liegt um 0,8 zu hoch. Ein einziger Test deckt dies auf: Verdopple eine Menge und prüfe, ob sich die andere Seite ebenfalls verdoppelt. Fixkosten gibt es überall — eine Liefergebühr, eine Grundgebühr, einen Mindestfahrpreis — und jede einzelne davon bricht das Schema, während der Wortlaut der Aufgabe völlig unverändert bleibt.

$c = 0.8 n ⟹ c (7) = 5.6; c = 0.6 + 0.6 n ⟹ c (3) = 2.4, c (7) = 4.8$
Eine Erhöhung um 20 % und eine Senkung um 20 % angewendet auf 200 5 Schritte
200 steigt um 20 %, fällt dann um 20 %. Die Erhöhung setzt 120 ins Verhältnis zu 100, führt also zu 200 × 120 ÷ 100 = 240. Bestimme, bei welchem Wert die Senkung endet und warum das Ergebnis nicht 200 lautet.
1. Die untere Zeile ist die Änderung als Verhältnis zu 100, und hier wird das Eckfeld oft falsch ausgefüllt. Eine Senkung um 20 % bedeutet 80 im Verhältnis zu 100, nicht 20, denn was übrig bleibt, entspricht weiterhin 80 % des ursprünglichen Werts. Trägt man 20 in dieses Eckfeld ein, liefert das Schema 48, was der Betrag der Kürzung ist und nicht der neue Preis.
  
  $100 - 20 = 80 ⟹ \frac{A}{240} = \frac{80}{100}$
2. Mit 80 an der richtigen Stelle verläuft die Kreuzrechnung genau wie bei den Äpfeln: Der neue Wert mal 100 ist gleich 240 mal 80.
  
  $A \times 100 = 240 \times 80 = 19200$
3. Man dividiert durch die 100: 192, was um 8 unter der Zahl liegt, mit der das Ganze begonnen hat.
  
  $A = \frac{19200}{100} = 192, 200 - 192 = 8$
4. Ursache dafür ist, dass die beiden Prozentwerte an unterschiedlichen Beträgen gemessen werden. Die Erhöhung fügte 40 hinzu, was 20 % von 200 entspricht. Die Senkung zog 48 ab, was 20 % von 240 entspricht. Gleiche Prozentsätze, unterschiedliche Geldbeträge — und der größere Betrag musste der Abzug sein, weil er vom größeren Wert genommen wurde.
  
  $240 - 200 = 40 = 0.20 \times 200, 240 - 192 = 48 = 0.20 \times 240$
5. Als Multiplikatoren geschrieben ist es eine einzige Zeile, und diese Zeile erklärt mehr als das Schema. 1,2 × 0,8 = 0,96, und der Multiplikation ist die Reihenfolge egal, sodass eine Senkung zuerst und eine anschließende Erhöhung ebenfalls bei 192 landet.
  
  $\frac{120}{100} \times \frac{80}{100} = 1.2 \times 0.8 = 0.96, 200 \times 0.96 = 192$
Antwort

Das Schema liefert 192. Dahinter steckt ein Stück Algebra, das sich zu merken lohnt: (1 + p)(1 − p) = 1 − p², sodass eine Erhöhung und eine gleich große Senkung unabhängig von der Reihenfolge immer um p² des Ursprungswerts zu wenig hinterlassen. Hier ist p = 0,2, der Verlust beträgt 0,04 × 200 = 8, und das ist klein genug, um wie eine Rundung auszusehen. Bei p = 0,5 kostet derselbe Hin- und Rückweg 25 % von allem. Die Senkung, die eine Erhöhung um 20 % tatsächlich rückgängig macht, beträgt keineswegs 20 % — Rückgängigmachen bedeutet, durch 1,2 zu dividieren, und 1 ÷ 1,2 = 0,8333, also eine Senkung um 16,67 %. Das ist dasselbe Schema, bei dem die Unbekannte in das Vorher-Eckfeld verschoben ist: 240 × 100 ÷ 120 = 200.

$(1 + p) (1 - p) = 1 - p^{2}; \frac{1}{1.2} = 0.8333 ⟹ - 16.67%$

Lernpfad

Eine Zahl für Viele: Statistisches Zusammenfassen

Führt zu Gewichtetes Mittel die Asymmetrie von Prozentänderungen: Ein Verlust von 50% erfordert +100% Gewinn zur Erholung.

Quellen (5)

Why the square works: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
Brahmagupta and the transmission: Jens Høyrup, "Sanskrit-Prakrit Interaction in Elementary Mathematics as Reflected in Arabic and Italian Formulations of the Rule of Three — And Something More on the Rule Elsewhere", in Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice. Springer, 2019, pp. 131–156.
The date of the Brāhmasphuṭasiddhānta: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
Merchant arithmetic in Latin Europe: Laurence Sigler (trans.), Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002. ISBN 978-0-387-40737-1.
The Lincoln quotation: Abraham Lincoln, autobiography written for Jesse W. Fell, 20 December 1859 — "I could read, write, and cipher to the Rule of Three; but that was all."

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-11

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Beispielaufgaben

7 Äpfel - 3 Äpfel kosten 2,4 — was kosten 7? Kreise D ein, und das Raster liefert 7 × 2,4 ÷ 3 = 5,6.
20% von 250 - 20% von 250. Kreise A ein und lies ab: 250 × 20 ÷ 100 = 50. Die 100 in der Ecke ist das Ganze, von dem die 20 ein Anteil ist.
Ein Anstieg um 20% - 200 steigt um 20%. Die Änderung wird zu 120 gegen 100, und A ergibt 200 × 120 ÷ 100 = 240.
Rückwärts rechnen - Ein Preis beträgt nach einem Anstieg um 20% jetzt 240 — wie hoch war er vorher? Kreise B ein: 240 × 100 ÷ 120 = 200. 20% von 240 abzuziehen ergibt 192 und ist die Antwort auf eine andere Frage.
Und dann −20% - Lass diese 240 nun um 20% fallen: 240 × 80 ÷ 100 = 192. Ein Anstieg um 20% und danach ein Rückgang um 20% lässt dich bei 192 stehen, nicht wieder bei den 200 vom Anfang.
Erholung von 50% Verlust - Ein Preis von 200 fällt um 50% auf 100. Um wieder auf 200 zu kommen, ist ein Anstieg von 100% (+100,0%) nötig, nicht 50% — das Doppelte des prozentualen Verlusts.