Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Mathematik

Legt man ein paar Regeln fest, liegen die Folgen nicht mehr bei einem. Was daraus folgt, ist selten das, was man erwartet hätte, und die Werkzeuge hier zeigen, mit welcher Folge man es zu tun hat.

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Kapitel

Kurze Sequenzen statt einzelner Werkzeuge. Jeder Schritt gibt dem nächsten etwas Bestimmtes mit — deshalb lohnt sich die Reihenfolge.

L1: Grundlagen

Die Dreiecksregeln und woher sie kommen

MATHSechs Werkzeuge, die die grundlegenden Sätze zu Dreieck und Kreis in genau der Reihenfolge herleiten, in der sie aufeinander aufbauen. Hier wird nichts einfach behauptet: Jede Regel ergibt sich direkt aus der vorangegangenen. Am Ende dieses Weges überträgst du die erste Regel wieder in ein Koordinatensystem, wo sie zur Abstandsformel wird.

  1. 01Fläche und Umfang
  2. 02Ähnliche Dreiecke
  3. 03Pythagoras
  4. 04Beliebige Dreiecke lösen
  5. 05Kreiswinkelsätze
  6. 06Der Einheitskreis
  7. 07Koordinatengeometrie

L1: Grundlagen

Nach x auflösen, vom Minuszeichen aufwärts

MATHSechs Werkzeuge, die das Lösen von Gleichungen in genau der Reihenfolge aufbauen, in der die Konzepte tatsächlich voneinander abhängen. Du beginnst damit, was ein Minuszeichen bewirkt, und gelangst schließlich zu einem systematischen Verfahren für drei Unbekannte gleichzeitig. Jeder Schritt gibt dem nächsten etwas Konkretes an die Hand: eine Umformung, eine Einschränkung für eine Umformung oder einen Test, ob eine Umformung zulässig war.

  1. 01Negative Zahlen
  2. 02Lineare Gleichungen
  3. 03Ungleichungen
  4. 04Formeln umstellen
  5. 05Zwei Gleichungen gleichzeitig
  6. 06Drei oder mehr gleichzeitig

L2: Schule

Jenseits quadratischer Gleichungen

MATHVier Werkzeuge, und jedes davon existiert, weil das vorherige an seine Grenzen stößt. Faktorisieren klappt bei glatten Nullstellen, die Formel hilft, wenn sie es nicht sind, Polynomdivision funktioniert jenseits des zweiten Grades, und eine gebrochenrationale Funktion ist das, was zwei Polynome tun, wenn eines über dem anderen steht.

  1. 01Ausmultiplizieren und Faktorisieren
  2. 02Quadratische Lösungsformel
  3. 03Rechner für komplexe Zahlen
  4. 04Polynomdivision
  5. 05Gebrochenrationale Funktionen

L2: Schule

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

MATHEine Identität gilt für jeden Winkel, für den beide Seiten definiert sind. Genau deshalb kannst du eine gegebene Funktion gegen die gesuchte eintauschen. Ausgangspunkt sind die Kehrwertfunktionen und die drei pythagoreischen Identitäten. Über die Arkusfunktionen deines Taschenrechners führt der Weg zu den daraus entstehenden Gleichungen und den Additionstheoremen bis hin zu Doppelwinkeln, harmonischen Formen und dem Beweisen von Identitäten.

  1. 01Pythagoreische Identitäten
  2. 02Arkusfunktionen
  3. 03Trigonometrische Gleichungen
  4. 04Additionstheoreme

L2: Schule

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

MATHFünf Werkzeuge, ein Gedanke: Vergrößerst du eine glatte Kurve stark genug, ist sie von einer Geraden nicht zu unterscheiden. Genau diese Tatsache misst die Ableitung. Die Taylorreihe denkt sie weiter. Der Gradient wendet sie in mehr als einer Richtung an. Der Weg beginnt mit dem Winkelmaß, das die Rechnungen glatt aufgehen lässt, und endet an einem Hang, an dem der steilste Anstieg jede Richtung übertrifft, die du tatsächlich gemessen hast.

  1. 01Bogenmaß
  2. 02Grenzwerte
  3. 03Die Ableitung
  4. 04Riemann-Summen-Explorer
  5. 05Taylorreihen
  6. 06Mehr als eine Richtung

L2: Schule

Geometrie auf einer gekrümmten Fläche

GEOAuf einer gekrümmten Fläche gelten die auf dem Papier bewiesenen Regeln nicht mehr, und das Ausmaß ihrer Abweichung misst die Krümmung von innen heraus. Ein gerader Weg ändert seinen Kompasskurs, ein ohne Drehung mitgeführter Pfeil kommt gedreht zurück, ein Kreis erhält die falsche Länge und in der hyperbolischen Ebene kann kein Dreieck mehr als π fassen.

  1. 01Großkreise
  2. 02Parallelverschiebung
  3. 03Theorema egregium
  4. 04Die hyperbolische Ebene

L2: Schule

Beweismethoden

MATHEin Beweis ist eine Begründung, die jeden Fall abdeckt, auch jene, die nie jemand überprüfen wird. Diese Seiten erarbeiten eine solche Begründung auf vier Wegen: durch vollständige Induktion, durch das Verteilen in Schubladen, durch eine Größe, die kein Zug verändern kann, und durch Paarbildung. Die erste Methode beginnt mit einer Formel, die 40-mal in Folge eine Primzahl liefert und dann 41 × 41 ergibt.

  1. 01Vollständige Induktion
  2. 02Das Schubfachprinzip
  3. 03Invarianten
  4. 04Der Pentagonalzahlsatz

L2: Schule

Differenzieren: Wie Änderungsraten ineinandergreifen

MATHEine Ableitung ist eine Änderungsrate. Jede Ableitungsregel zeigt, wie solche Raten zusammenwirken: im Produkt, wenn eine Funktion in einer anderen steckt, oder in einer Gleichung, die niemand nach y aufgelöst hat. Die letzten beiden Seiten wenden diese Regeln auf die Fragen an, die dir im Kurs tatsächlich begegnen: Wie schnell ändert sich etwas in einem einzigen Augenblick? Und welche Wahl ist die beste?

  1. 01Produktregel
  2. 02Kettenregel
  3. 03Implizites Differenzieren
  4. 04Gekoppelte Raten
  5. 05Optimierung

L3: Grundstudium

Eine Gerade an Daten anpassen

MATHSieben Werkzeuge, die ein Bild aus verstreuten Punkten in eine Zahl verwandeln, die du verteidigen kannst. Danach fragen wir, wie man diese Zahl findet und wie viel Vertrauen sie verdient. Was passiert, wenn dir niemand die richtige Antwort verrät? Am Ende klären wir, wie man eine Vorhersage bewertet, die immer nur eine Wahrscheinlichkeit war. Der Weg dorthin führt über die Geometrie und nicht die Statistik. Denn erst die Geometrie macht die Statistik ehrlich.

  1. 01Vektoren
  2. 02Geometrie der kleinsten Quadrate
  3. 03Lineare Regression
  4. 04Gradientenabstieg
  5. 05Überanpassung
  6. 06k-Means
  7. 07Kalibrierung

L3: Grundstudium

Die beste Antwort und was passiert, wenn niemand sie berechnet

MATHVier Spiele und eine Operation: Finde den Spielzug, der die passende Antwort auf alles liefert, was dein Gegenüber tun könnte. Im ersten Spiel entscheidet er ganz allein. Im zweiten musst du eine ganze Matrix absuchen, um ihn zu finden, und im dritten hat er seinen Preis. Im vierten berechnet ihn absolut niemand, und die Population findet die Antwort trotzdem.

  1. 01Gefangenendilemma
  2. 02Nash-Gleichgewicht
  3. 03Tragik der Allmende
  4. 04Evolution der Kooperation

L3: Grundstudium

Drei numerische Verfahren und wo sie an ihre Grenzen stoßen

MATHDas Newton-Verfahren, die Simpsonregel und das Euler-Verfahren werden alle vom selben Motor angetrieben: In einem hinreichend kleinen Intervall betrachtest du die Kurve als Gerade. Jedes besitzt folglich ein Versagen, das kein Programmfehler ist. Welches Versagen gehört zu welcher Methode? Genau das ist das nützliche Wissen. Hier übergibt jeder Schritt dem nächsten einen benannten Fehler und die Rate, mit der dieser schrumpft.

  1. 01Newton-Verfahren
  2. 02Numerische Integration
  3. 03Euler-Verfahren

L3: Grundstudium

Integrationstechniken

MATHAbleiten ist ein Verfahren, Integrieren eine Suche. Die Trainer in diesem Kapitel bewerten eine Antwort deshalb auf genau eine Art: leite sie ab und vergleiche sie mit dem Integranden. Substitution und partielle Integration sind schlicht die Ketten- und Produktregel rückwärts. Die Partialbruchzerlegung deckt die einzige große Funktionsfamilie ab, in der immer eine elementare Lösung existiert. Die letzte Seite beweist, dass für e⁻ˣ² gar keine existiert.

  1. 01Stammfunktionen
  2. 02Substitution
  3. 03Partielle Integration
  4. 04Partialbruchzerlegung
  5. 05Trigonometrische Integrale
  6. 06Ein Verfahren wählen
  7. 07Überhaupt keine Formel

L3: Grundstudium

Anwendungen der Integralrechnung

MATHEin Integral summiert auf: Fläche, Wegstrecke, Volumen. Dieses Kapitel beginnt mit dem Satz, der dieses Aufsummieren an die momentane Änderungsrate knüpft. Von dort aus erschließt du dir Flächen zwischen Kurven, Bewegungsabläufe und Volumina, die du über Querschnitte bestimmst.

  1. 01Der Hauptsatz
  2. 02Fläche zwischen Kurven
  3. 03Akkumulation und Bewegung
  4. 04Volumen durch Querschnitte
  5. 05Die Zylindermethode
  6. 06Zwei Körper kombinieren
  7. 07Doppelintegrale
  8. 08Doppelintegrale in Polarform

L3: Grundstudium

Die Wärmeleitungs-, Wellen- und Laplace-Gleichung

PHYDrei Gleichungen, die auf einem einzigen Operator, dem Laplace-Operator, aufbauen und sich nur darin unterscheiden, was die Zeit bewirkt. Wärme vergisst, und zwar die schärfsten Details zuerst. Eine Welle trägt eine Störung fort und auf einer Fläche hört sie nie ganz auf, anzukommen. In der Laplace-Gleichung kommt die Zeit gar nicht vor. Sie ist der Zustand, auf den die Wärme durch ihr Vergessen zusteuert: Jeder Punkt entspricht genau dem Durchschnitt seiner Nachbarn.

  1. 01Die Wärmeleitungsgleichung
  2. 02Jahreszeiten im Boden
  3. 03Die Wellengleichung
  4. 04Die Laplace-Gleichung

Aufgaben vollständig gelöst

Was man hier herausfindet

Artikel, entstanden aus diesen Werkzeugen

Alle Werkzeuge in diesem Bereich

Calculus & Analysis

Ableitungs- und Tangenten-Explorer
Ziehe einen Punkt entlang einer Funktion und beobachte, wie Tangente und Steigung live aktualisiert werden — das geometrische Herzstück der Analysis.
Akkumulation und Bewegung
Mit der Geschwindigkeit t² − 4t + 3 landet ein Objekt nach 4 Sekunden 4/3 vom Start entfernt und legt 4 zurück, dreimal so weit. Wähle eine Geschwindigkeit, vergleiche Ortsänderung, Wegstrecke sowie Mittelwert und beobachte, wo der Mittelwert tatsächlich erreicht wird.
Bogenlänge & Rotationskörper
Selbe Kurve, selbe 800 Scheiben: Die Bogenlänge fällt 0,9% falsch aus und die Mantelfläche 0,08%. Der Integrand der Bogenlänge schießt an den Enden auf etwa 71 hoch, wo der der Mantelfläche ihn mit null multipliziert.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Die Fläche unter e^(−t²) von 0 bis 1 beträgt 0,7468. Genau dort wächst die Flächenfunktion um 0,3679 pro Einheit – exakt die Höhe der Kurve bei 1, obwohl es für e^(−t²) keine geschlossene Formel gibt. Zieh an x und beobachte, wie die Steigung der Fläche überall zur Kurve passt.
Die Kettenregel
Verkettete Funktionen multiplizieren ihre Änderungsraten: Das besagt die Kettenregel. Schicke ein kleines Intervall durch jedes Kettenglied und beobachte, wie es sich dehnt. Gib dein eigenes dy/dx ein, finde heraus, wo es hakt, und erfahre, warum eine vergessene innere Ableitung an einer Stelle dennoch durch die Probe kommen kann.
Die Zylinderschalenmethode
Rotiert der Bogen von sin x um die y-Achse, liefern Zylinderschalen 2π² ≈ 19,7392 in einer einzigen Zeile, während Kreisringe dafür den Arkussinus bemühen müssen. Vergleiche beide Schnittführungen an vier Körpern und sieh selbst, warum ein Weg oft viel bequemer ist.
Die Wahl der Methode
In der Prüfung sagt dir keine Kapitelüberschrift, welche Methode zum Integral passt. Wähle deinen ersten Schritt: direkt in der Integraltabelle nachschlagen, substituieren, partiell integrieren, in Partialbrüche zerlegen oder trigonometrisch umformen. Die Seite untersucht das Integral selbst und zeigt dir, ob dein Einstieg zur Tabelle führt und wie viele Schritte du dafür brauchst. Die Aufgaben stammen aus dem ganzen Kapitel. Manche brauchen zwei Methoden hintereinander.
Doppelintegrale
e^(y²) hat keine Stammfunktion aus elementaren Funktionen, deshalb gibt es für ∫₀¹∫ₓ¹ e^(y²) dy dx in dieser Reihenfolge keine Formel. Schneidest du andersherum, kommt (e − 1)/2 ≈ 0,8591 heraus. Berechne Volumina unter z = f(x, y) durch zweifaches Schneiden, beschreibe den Bereich auf beide Arten und lerne die eine Funktion auf dieser Seite kennen, bei der die beiden Reihenfolgen nicht übereinstimmen.
Doppelintegrale in Polarkoordinaten
In Polarkoordinaten ist das Flächenelement r dr dθ. Lässt du das r weg, kommt als Fläche der Einheitskreisscheibe 2π heraus, ihr Umfang. Mit dem r liefert e^(−x²), das keine elementare Stammfunktion hat, über die ganze Gerade ∫e^(−x²) dx = √π. Integriere über Sektoren, eine Kardioide, eine verschobene Kreisscheibe und ein Quadrat, Polarzelle für Polarzelle.
Euler-Verfahren Visualizer
Die Halbierung der Schrittweite sollte Eulers Fehler halbieren. Bei x = 8 mit h = 0,2 ergibt sich ein Verhältnis von 1,731285, und es auf 1,9933 zu ziehen, erfordert h = 0,005, was 1600 Schritte über dieselben acht Einheiten bedeutet.
Fläche zwischen zwei Kurven
Auf [−1, 1] schließen x³ und x eine Fläche von ½ ein, das Integral ihrer Differenz ist aber 0: Wo sich die Kurven schneiden, musst du das Integral aufteilen. Wähle zwei Kurven und schau zu, wie Flächeninhalt und orientiertes Integral getrennte Wege gehen.
Fourier-Reihen-Baukasten
Fünf Harmonische überschießen eine Rechteckschwingung auf 1,182, und mehr beheben das nie: Die Spitze konvergiert gegen 1,17898. Bei einem Sprung fallen die Harmonischen wie 1/k ab und bei einem Knick wie 1/k², weshalb nur der Sprung überschwingt.
Gekoppelte Änderungsraten
Gekoppelte Änderungsraten von Hand durchgerechnet: eine abrutschende Leiter, ein volllaufender Kegel, ein länger werdender Schatten. Leite die geometrische Verknüpfung ab, setze den Moment ein, vergleiche dein Ergebnis mit der direkt aus der Bewegung gemessenen Rate und bestimme die Höhe, bei der eine homogene, ohne Reibung mit konstantem Tempo gezogene Leiter von der Wand abhebt.
Grenzwert-Explorer
Nähere dich einem Grenzwert von beiden Seiten und klassifiziere Unstetigkeitsstellen
Implizites Differenzieren
Das kartesische Blatt x³ + y³ = 6xy besitzt über x = 1 drei Punkte mit den Steigungen 1,0409, 0,3373 und −1,3782; die Steigung muss also von y abhängen. Leite beide Seiten selbst ab, beobachte das Versagen der Formel bei ∂F/∂y = 0 und entdecke den Ursprung, an dem sie 0/0 liefert, weil sich die Kurve selbst schneidet.
Integration durch Substitution
Die Substitution verwandelt 2x cos(x²) in cos u, und für 0 ≤ x ≤ 2 ergeben beide −0,7568. Behältst du nach dem Substituieren die Grenzen von x bei, erhältst du 0,9093 mit falschem Vorzeichen. Beobachte, wie die Flächenstreifen von der x-Achse auf die u-Achse wandern. Übe danach an generierten Aufgaben, die sich durch Ableiten selbst kontrollieren.
Konvergenzradius
1/(1 + x²) ist für jede reelle Zahl glatt, dennoch divergiert die Taylorreihe um 0 ab 1: Grad 80 ergibt bei x = 1,1 den Wert 1.121,975, während die Kurve bei 0,4524887 liegt. Zieh das Zentrum in der komplexen Ebene und beobachte, wie die Polstellen bei ±i den Radius festlegen.
Labor für numerische Integration
Verdopple die Streifen für eˣ über [0, 1], und der Fehler der Linkssumme sinkt um den Faktor 2, der der Trapezregel um 4 und der der Simpsonregel um 16. Sechs Dezimalstellen kosten 462 Trapeze oder sechs Simpson-Intervalle.
Laplace-Gleichung: eine Platte im stationären Zustand
Halte einen Rand einer quadratischen Platte auf 100 °C und drei auf 0, und frage nach der Temperatur auf drei Viertel der Höhe: Die Reihe liefert 54,05, und 20.000 Zufallsläufer, bei denen gezählt wird, welchen Rand sie zuerst erreichen, ergeben 54,13 ± 0,35.
Laplace-Transformations-Labor
Untersuche Hin- und Rücktransformation von Laplace-Transformierten für gängige Funktionen aus Differentialgleichungen und Systemen.
Nicht-elementare Integrale
Warum ∫e^(−x²) dx keine Formel hat, bewiesen statt behauptet: Wende Liouvilles Test auf ein beliebiges Polynom mal e^(−x²) an, zähle, wie wenige dieser Integranden eine Formel haben, und übe an Integralen, bei denen die richtige Antwort auch sein kann, dass keine existiert.
Optimierung: Schachtel und Dose
Schneidet man Quadrate aus den Ecken eines 30 cm großen Blechs, fasst die beste Schachtel bei 5 cm Schnittiefe genau 2.000 cm³; bei 4 cm sind es schon 3,2 % weniger. Löse die offene Schachtel und die Dose mit minimalem Blechverbrauch Schritt für Schritt, beobachte die waagerechte Tangente und entdecke, warum eine Tiefenbegrenzung die beste Schachtel an den Rand zwingt.
Parameterkurven
(cos t, sin t) und (cos 2t, sin 2t) zeichnen denselben Kreis, und kein Bild kann sie unterscheiden. Auf der Lissajous-Kurve bei t = π beträgt die Geschwindigkeit 2 und der Krümmungsradius 0,444.
Partialbruchzerlegung
Integriere rationale Funktionen mit der Partialbruchzerlegung und prüfe deine Eingaben: die Zuhaltemethode, mehrfache und quadratische Faktoren, eine Konstante pro Intervall zwischen den Polstellen und x⁵ − x − 1, dessen Integral elementar ist, obwohl es für seine Nullstellen keine Formel gibt.
Partielle Ableitungen und der Gradient
Gehst du nach Osten, steigt der Boden um 3, nach Norden um 4, und die steilste Richtung steigt um 5. Eine Straße, die auf der Hälfte dieser Steigung gehalten wird, muss um 60° davon abweichen statt um 45°, und doppelt so weit führen.
Partielle Integration
Die partielle Integration tauscht ein Integral gegen ein anderes, und deine Wahl von u entscheidet über den Weg. Für x²eˣ führt u = x² in zwei Runden zur Grundintegral-Tabelle, während u = eˣ bis zu x⁵eˣ/60 hinaufklettert. Betrachte beide Lösungswege direkt nebeneinander, löse ∫eˣ sin x als Gleichung und übe an Aufgaben, die sich selbst kontrollieren.
Polarkurven
Eine Rosette r = cos(kθ) hat k Blütenblätter, wenn k ungerade ist, und 2k, wenn es gerade ist, also zeichnet cos 3θ 3 Blätter und cos 4θ zeichnet 8. Die Kardioide umschließt 4,7124, exakt eineinhalb Einheitskreise.
Produktregel und Quotientenregel
Warum die Ableitung von uv gleich u′v + uv′ ist und nicht u′v′. Wächst ein Rechteck an beiden Seiten, kommen zwei Streifen und eine Ecke hinzu; die Ecke verschwindet im Grenzübergang. Verkleinere die Schrittweite und beobachte, wie sich die Streifen an die Regel annähern. Lies die Quotientenregel aus derselben Skizze ab und überprüfe deine eigenen Ableitungen.
Richtungsfeld & DGL-Löser
Visualisiere Richtungsfelder dy/dx = f(x,y) und füge per Klick Lösungskurven mit dem RK4-Verfahren hinzu.
Riemann-Summen-Explorer
Nähere Integrale mit Unter-, Ober-, Mittelpunkt- und Trapezsummen an.
Riemannsche Umordnung
Ordne 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … um und die Summe ergibt π: Nach 100.000 Gliedern ergeben 99.259 positive gegen 741 negative genau 3,1415535. Beobachte, wie dieselben Glieder auf ein beliebiges Ziel zulaufen. Finde heraus, warum sich die quadrierte Reihe nicht verschieben lässt.
Stammfunktionen
Es heißt, die Potenzregel für Integrale versagt bei n = −1. Bei n = −0,99 liefert die Stammfunktion von xⁿ aus dem Lehrbuch an der Stelle x = 4 den Wert 101,40, wovon 100,00 auf die Konstante 1/(n + 1) entfallen; der Rest ist 1,3959 und nähert sich ln 4 = 1,3863. Danach gibst du eigene Stammfunktionen ein, und die Seite prüft jede durch Ableiten.
Zwei Körper verknüpfen
Kreuzen sich zwei Zylinder mit Radius r rechtwinklig, umschließen sie gemeinsam einen Körper vom Volumen 16r³/3 – ganz ohne π. Und durchbohrt man eine Kugel so, dass ein Ring der Höhe h bleibt, fasst er stets πh³/6, ganz gleich, wie groß die Kugel war. Verknüpfe zwei Körper durch Schnitt, Vereinigung oder Differenz und ermittle ihr Volumen Schicht für Schicht über den Querschnitt.
Taylor-Reihen-Explorer
Grad 3 liefert sin 1 = 0,83333 gegenüber den echten 0,84147. Die entscheidende Zahl ist 1/120 = 0,0083333, eine Fehlerschranke, die schon vor dem Ergebnis bekannt ist und den wahren Fehler um 2,4% überschätzt.
Trigonometrische Integrale
Über eine Periode heben sich bei ungeraden Sinuspotenzen die positiven und negativen Flächenanteile auf; bei geraden summieren sie sich. Deshalb genügt für ∫sin³x eine Substitution, während ∫sin²x die Halbwinkelformel braucht. Mit x = sin θ kannst du ∫√(1 − x²) am Einheitskreis in eine Dreiecksfläche und eine Sektorfläche zerlegen. Übe anschließend mit automatisch erzeugten Aufgaben, deren Lösungen durch Ableiten geprüft werden.
Volumen durch Querschnitte
Rotiert die Fläche zwischen y = x und y = x² um die x-Achse, beträgt das Volumen 2π/15 = 0,4189. Subtrahierst du die Radien statt der Flächeninhalte, erhältst du 0,1047 – exakt ein Viertel davon. Bewege einen Schnitt durch sechs Körper und verfolge, wie das Volumen als Fläche unter A(x) anwächst.

Linear Algebra & Geometry

2D-Eigenvektor-Explorer
Visualisiere Eigenrichtungen und Skalierung unter einer 2×2-linearen Abbildung.
Bézier-Kurven-Explorer
Ziehe Kontrollpunkte, um Bézier-Kurven und den de-Casteljau-Algorithmus zu erkunden
Der Satz von Pick: Flächeninhalt durch Punktezählen
Zeichne ein Polygon mit seinen Ecken auf den Punkten eines Gitters, zähle die Punkte im Inneren und auf dem Rand, und du hast exakt seinen Flächeninhalt: 53 innen und 8 auf dem Rand ergeben 56, ganz ohne Messen. In drei Dimensionen können die beiden Zählungen allein das Volumen nicht liefern.
Die Euler-Gerade und die Dreieckszentren
Zieh an einem Dreieck und schau zu, wie drei seiner vier Zentren stets auf einer einzigen Geraden bleiben. Der Schwerpunkt teilt die Strecke zwischen ihnen dabei immer im Verhältnis 2 : 1. Der Inkreismittelpunkt gesellt sich nur dann dazu, wenn zwei Seiten gleich lang sind.
Die hyperbolische Ebene
Zieh die Ecken eines Dreiecks in der Poincaré-Scheibe und beobachte, wie seine Winkelsumme beim Vergrößern schrumpft: Kein Dreieck in der hyperbolischen Ebene enthält mehr als π. Durch einen Punkt neben einer Geraden verläuft ein ganzer Fächer von Geraden, die sie niemals schneiden.
Fläche und Umfang
Ein trapezförmiges Beet fasst 32,00 m² hinter 24,94 m Einfassung; dieselbe Einfassung als Kreis fasst 49,51 m². Baust du es anderthalbmal so groß, bleibt die Kompaktheit bei 0,646, weil sich die Skalierung herauskürzt.
Gaußsches Theorema egregium
Geh von einem Punkt aus in jede Richtung dieselbe Strecke und miss den markierten Ring. Auf einem Zylinder ist er exakt 2πr lang, auf einer Kugel zu kurz, auf einem Sattel zu lang: Das ist die Gaußsche Krümmung, gemessen ohne die Fläche zu verlassen.
Geheimnisse von Kreis und π
Erlebe in sieben interaktiven Experimenten, warum π bei Umfang, Fläche, Stößen, Wahrscheinlichkeit und unendlichen Reihen erscheint.
Gimbal-Lock & Quaternionen
Dreh eine kardanische Aufhängung mit drei Ringen durch Gieren, Nicken und Rollen. Schau zu, wie zwei Ringe ineinanderklappen, und betrachte die Quaternion, der das völlig egal ist. Warum 90° Nicken einen Freiheitsgrad kosten und weshalb eine Drehung um 360° die Quaternion bei −1 belässt.
Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
Bilde eine Orthonormalbasis, indem du Projektionen abziehst. Vertausche zwei Zeilen des Algorithmus, und bei Spalten mit einem Abstand von 10⁻⁸ springt das Ergebnis von einem rechten Winkel auf 60°.
Kegelschnitt-Parameter-Explorer
Nur die Parabel bekommt eine Zeile für die Leitlinie, denn nur sie wird durch eine solche definiert, wobei ihr Scheitelpunkt genau 3 von beiden entfernt liegt. Eine Ellipse mit a = 4 und b = 3 setzt ihre Brennpunkte auf c = 2,645751.
Kegelschnitte-Explorer
B² − 4AC überlebt jede Drehung der Achsen, weil es das −4-Fache der Determinante des quadratischen Teils ist. Bei 4x² + xy + 2y² = 16 beträgt es −31, eine um 13,3° geneigte Ellipse mit numerischer Exzentrizität 0,737.
Kleinste-Quadrate-Geometrie-Explorer
Ziehe Punkte, vergleiche lineare und quadratische Ausgleichskurven und untersuche Residuenbalken und ihren Einfluss auf die Fehlerquadratsumme.
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Mit Zirkel und Lineal kannst du ein regelmäßiges 17-Eck konstruieren, wie Gauß mit 18 bewies. Ein 7-Eck jedoch nie. Auch einen 60°-Winkel wird niemand jemals dritteln. Schau dir die Konstruktionen Schritt für Schritt an und entdecke die Algebra, die den Rest ausschließt.
Koordinatengeometrie-Explorer
Zwei Punkte im Gitter ziehen und Abstand, Mittelpunkt, Steigung und Geradengleichung ablesen — mit dem rechtwinkligen Dreieck hinter der Abstandsformel eingezeichnet.
Kreiswinkelsätze
Ziehe vier Punkte auf einem Kreis und verbinde Mittelpunktswinkelsatz, Umfangswinkel im gleichen Segment, Satz des Thales und Sehnenvierecke.
Körperlabor: Kugel, Kegel & Zylinder
Eine Kugel hat das Zweidrittelvolumen ihres umschließenden Zylinders und auch zwei Drittel der Oberfläche, weil allein die gewölbte Wand der ganzen Kugel gleicht. Bei gleichem Volumen kostet ein Zylinder 14,5% mehr Oberfläche und ein Kegel 26,0%.
Labor: Regelmäßige Parkettierungen
Regelmäßige p-Ecke, q davon an jeder Ecke. Eine einzige Ungleichung entscheidet alles: (p−2)(q−2) gegen 4 ergibt eine Kugel, eine ebene Fläche oder eine hyperbolische Scheibe — fünf Parkettierungen, drei Parkettierungen oder unendlich viele.
Labor: Ähnliche Dreiecke
Skaliere ein Dreieck und sieh, was sich ändert. Längen folgen dem Streckfaktor, die Fläche seinem Quadrat, und die Winkel bewegen sich überhaupt nicht — das große Dreieck wird in genau die Kopien zerlegt gezeichnet, die es enthält.
Matrixtransformations-Visualizer
Sieh, wie 2×2-Matrizen die Ebene transformieren – Eigenvektoren, Determinante und Flächenskalierung
Paralleltransport auf einer Kugel
Führe einen Pfeil um ein Dreieck mit drei rechten Winkeln, ohne ihn je zu drehen, und er kommt um 90° gedreht zurück. Zieh die Ecken auf einer Kugel und schau zu, wie die Drehung zum Flächeninhalt, zum Winkelüberschuss und zum Foucaultschen Pendel passt.
PCA-2D/3D-Visualizer
Projiziere 2D-Daten in den Hauptkomponentenraum und untersuche erklärte Varianz und Scores.
Pyramidengeometrie
Die π- und φ-Zufälle der Cheops-Pyramide sind derselbe Zufall, nämlich ein bautechnischer Seked von 11/14. Sein Achtfaches ergibt 6,28571 gegenüber 2π = 6,28319, und das Neigungsverhältnis 1,6186 gegenüber φ = 1,618034.
Pythagoras-Labor
a² + b² = c², über ähnliche Dreiecke bewiesen und dann absichtlich gebrochen. Ein Krümmungsregler biegt die Ebene zur Kugel oder zur hyperbolischen Fläche, und die Hypotenuse wandert mit — denn der Satz ist keine Aussage über Dreiecke, sondern über Flachheit.
Spiegelungen und die Kongruenzabbildungen der Ebene
Spiegelst du eine Figur erst an einem Spiegel und danach an einem zweiten, der den ersten unter 45° schneidet, erhältst du eine Drehung um 90°. Zwei parallele Spiegel im Abstand 2 erzeugen eine Verschiebung um 4. Jede Kongruenzabbildung der Ebene besteht aus höchstens drei Spiegelungen. Diese Seite konstruiert Drehungen, Verschiebungen und Gleitspiegelungen aus Spiegeln.
Vektorrechner
Berechne Skalarprodukt, Kreuzprodukt und den Winkel zwischen 2D-/3D-Vektoren
Winkeljagd
Verfolge einen Winkel durch überlappende Dreiecke. Danach siehst du, wie dasselbe Rätsel durch Elimination gelöst wird. Jede Regel ist eine lineare Gleichung, und das Werkzeug zeigt beide Wege.

Algebra & Precalculus

Additionstheoreme
sin 45° + sin 30° = 1,2071 liegt über dem Maximalwert jedes Sinus, während sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659 ist. Drehst du die Achsen um A, zeigen sich die vier Produkte in sin(A ± B) und cos(A ± B) in jedem Quadranten vorzeichenrichtig als Katheten zweier rechtwinkliger Dreiecke.
Ausmultiplizieren und Faktorisieren
Klammern als Fläche eines Rechtecks ausmultiplizieren und dieselbe Darstellung rückwärts zum Faktorisieren nutzen. Mit einem einzigen Test erkennst du vorab, ob sich ein Trinom über den ganzen Zahlen faktorisieren lässt.
Dreiecksrechner
Drei Maße sind nicht immer drei Fakten: a = 7, b = 9 und A = 40° beschreiben zwei Dreiecke mit den Flächeninhalten 31,3423 und 8,5424, und der Rechnung ist keines davon lieber.
Einheitskreis-Explorer
Der Tangens ist nach einer Geraden benannt: Verlängere den Radius bei 60° bis x = 1 und er landet auf der Höhe 1,7321, weshalb 90° als +∞ abgelesen wird. Allein aus sin 45° liefert ein Achteck eine Untergrenze für π von 2,8284 und ein 16-Eck von 3,0615.
Explorer für rationale Funktionen
Setze (x − 1)/(x + 2) gleich seiner horizontalen Asymptote y = 1 und du erhältst −1 = 2, die Kurve erreicht sie also nie. Andere Kurven kreuzen ihre problemlos; eine vertikale Asymptote ist die strenge.
Exponentielles Wachstum & Zerfall
Lege eine Rate fest. Lies Verdopplungszeit, Halbwertszeit sowie den Bestand zu jedem beliebigen Zeitpunkt direkt aus der einen Gleichung ab, die Wachstum und Zerfall gleichermaßen beschreibt.
Formeln umstellen
Eine beliebige Variable in einer Formel freistellen, Schritt für Schritt. Das Vorgehen gleicht exakt dem Lösen einer Gleichung. Die Grenze ist erst erreicht, wenn der gesuchte Buchstabe mehrfach auftritt.
Funktionsverkettungs-Rechner
Schritt-für-Schritt-Rechner für die Verkettung von Funktionen f(g(x)) und g(f(x)) mit eigenen Funktionen, Gleichungen, Definitionsbereich-Warnungen und Graphen.
Gaußsches Eliminationsverfahren
Drei Gleichungen mit drei Unbekannten, gelöst durch dieselbe Elimination wie zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, ergänzt um einen Zeilentausch. Die festgelegte Reihenfolge macht aus einem Rätsel ein systematisches Verfahren. Eine einzige Entscheidung dabei bestimmt, ob ein Computer das korrekte Ergebnis berechnet.
Graphen transformieren: Verschiebungen, Streckungen & Spiegelungen
(x − 3)² verschiebt die Parabel nach rechts, √(2x − 6) beginnt bei x = 3 und nicht bei 6, und (2x)² ist dieselbe Kurve wie 4x². Sieben Grundfunktionen werden durch y = a·f(bx + c) + d bewegt, wobei jeder markierte Punkt berechnet wird.
Inverse trigonometrische Funktionen
sin⁻¹(sin 150°) ist 30°, nicht 150°. Sieh selbst, warum arcsin, arccos und arctan Werte nur in einem festen Bereich liefern, was das für negative Eingaben bedeutet und warum bei cos(sin⁻¹ x) am rechtwinkligen Dreieck das Vorzeichen bereits feststeht.
Kehrwertfunktionen und die pythagoreischen Identitäten
sin θ = 3/5 im Quadranten II ergibt cos θ = −4/5, während die Quadratwurzel allein +4/5 sagt. Zeichnet man tan, cot, sec und csc als Strecken bis zu den beiden Tangenten des Einheitskreises, entpuppen sich die drei pythagoreischen Identitäten als ein einziges rechtwinkliges Dreieck in drei Größen.
Labor für logische Widersprüche
Drei Sprecher eröffnen 8 mögliche Welten, und ein Satz über andere halbiert das Feld. Einer, der seinen eigenen Sprecher mitzählt, lässt 6 von 8 übrig und räumt ein Viertel des Spielbretts ab, wo die anderen die Hälfte abräumen.
Lineare Gleichungen
Vier Knöpfe, darunter zwei Spielzüge. Addieren ist immer sicher; Multiplizieren ist für jede Zahl außer null sicher. Multipliziere x = 3 mit 0 und du erhältst 0 = 0, wahr für jedes x, und x wird nicht mehr erwähnt.
Lineare Gleichungssysteme
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, dargestellt als zwei Geraden. Eine einzige Zahl bestimmt, ob sie sich genau einmal schneiden. Dieselbe Zahl verrät dir, wie verlässlich dieses Ergebnis ist.
Logarithmus-Explorer
Erkunde y = log_b(x) mit einem live einstellbaren Basis-Regler und vergleiche mit ln(x) und log10(x).
Polynomdivisions-Trainer
Übe die schriftliche Polynomdivision mit ausführlichem Quotienten, Rest und Schritt-für-Schritt-Rechenweg.
Quadratische Gleichung lösen
Nullstellen von ax² + bx + c = 0 berechnen – mit Diskriminante und komplexen Lösungen.
Sinus/Kosinus-Wellen-Explorer
Die Welle verschiebt sich um −C/B, nicht um −C, also bewegt sie sich bei B = 2 nur halb so weit, wie die Klammer vermuten lässt. Jedes a cos x + b sin x fällt zu einer einzigen Welle mit der Amplitude √(a² + b²) zusammen, samt Phase und allem.
Stückweise-Funktionen-Labor
Lade den Mengenrabatt, und zehn Stück kosten 9,5, während acht 9,6 kosten. Zwischen 7,916667 Stück und der Sprungstelle zahlst du mehr für weniger, und genau das bewirkt jeder Sprung nach unten in einer Preisliste.
Textaufgaben: Von der Geschichte zur Gleichung
Hugo ist 18 Jahre älter als Kai, und in 9 Jahren werden ihre Alter zusammen 54 ergeben. Stell die Gleichungen selbst auf. Die Seite vergleicht sie mit der Geschichte, benennt jeden ausgelassenen Teil und löst sie Schritt für Schritt, quer durch vierzehn Aufgabentypen mit immer neuen Zahlen.
Trigonometrische Gleichungen lösen
sin(2x − 30°) = √3/2 besitzt zwischen 0° und 360° vier Lösungen statt zwei, weil das Argument den Kreis zweimal durchläuft. Finde alle Lösungen in einem vorgegebenen Intervall (in Grad oder Bogenmaß), anschaulich dargestellt am Graphen und am Einheitskreis – mit allgemeiner Lösung und quadratischen Ansätzen in sin oder cos.
Umkehrfunktionen-Explorer
Sieh f(x) und f⁻¹(x) an der Geraden y=x gespiegelt und teste, wann eine Einschränkung nötig ist.
Ungleichungen
−4x ≥ 12 ergibt x ≤ −3, und bei x = −3 kommen beide Seiten auf 12, der Endpunkt gehört also dazu. Die Multiplikation mit x wird rundweg verweigert, weil noch niemand sein Vorzeichen kennt.
Wie nah ein Bruch kommen kann
Kettenbrüche und die Brüche, die sich aus ihnen ergeben: warum 355/113 die Zahl π bei einem dreistelligen Nenner auf sieben Stellen genau festlegt und warum φ sich von allen Zahlen am hartnäckigsten widersetzt.
Wurzelgleichungs-Prüfer
√(x − 1) = x − 2 liefert 3,618, und die verworfene 1,382 ist eine exakte Lösung des Zwillings mit umgekehrtem Vorzeichen. Die Radikandenprüfung, die du lernst, verwirft keinen der Kandidaten; nur das Vorzeichen der rechten Seite tut das.

Discrete Math & Sequences

Das Gefangenendilemma und Axelrods Turnier
Eine Runde dieses Spiels hat eine offensichtliche Lösung, die beide Spieler schlechter stellt. Spielst du es gegen acht Gegner, ändert sich die Lösung ab der vierten Runde.
Das Schubfachprinzip
Wähle neun Zahlen von 1 bis 16 und eine teilt immer eine andere. Unter beliebigen sechs Personen gibt es drei, die sich alle kennen, oder drei, die sich alle völlig fremd sind. Bestimme die Fächer und beobachte, wie das Schubfachprinzip die Kollision erzwingt.
Der Fünfeckszahlensatz
Multipliziere (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… aus und fast alles hebt sich auf: Nach 200 Klammern bleiben von den Koeffizienten bis x²⁰⁰ nur 23 übrig, alle ±1, an den Stellen der Fünfeckszahlen. Schau dir an, wie Franklins Paarung das beweist, und berechne damit p(n).
Die Evolution der Kooperation
Ein Prozent Defektoren in einer Welt bedingungsloser Kooperatoren hält bis zur Generation 21 ganze 99,2 % davon und stirbt bis 155 aus. Die Kooperation kehrt zurück. Die Kooperatoren nicht.
Die Tragik der Allmende
Ein einziger Hirte auf einer gemeinsamen Weide tut genau das Richtige. Kommt ein zweiter hinzu, beginnt die Übernutzung. Der Aufwand übersteigt dabei nie das Doppelte des Optimums, ganz gleich, wie viele Personen du hinzufügst. Der verbleibende Wert fällt hingegen ins Bodenlose.
Explorer für stationäre Markow-Ketten
Acht Schritte lassen die Kette noch 0,08893 von ihrer stationären Verteilung entfernt, die exakt 8/13, 3/13 und 2/13 beträgt und von jedem Start aus gleich ist. PageRank ist diese Berechnung, ausgeführt auf dem gesamten Web.
Goldener Schnitt & Fibonacci-Spirale
144/89 verfehlt φ um 5,6461 × 10⁻⁵ und die Hurwitz-Schranke bei diesem Nenner liegt bei 5,6459 × 10⁻⁵. Jeder Fibonacci-Näherungsbruch landet auf der Grenze, und genau das bedeutet die irrationalste aller Zahlen eigentlich.
Grundlagen: Folgen & Reihen
Verdoppelst du die Länge einer arithmetischen Folge, verdoppelt sich nicht ihre Summe: 8 Glieder ergeben 80 und 16 ergeben 288, ein Faktor von 3,6. Bei einer geometrischen Reihe ist der Bruchteil, der nach n Gliedern noch fehlt, exakt rⁿ.
Invarianten
Die Hälfte aller Anordnungen eines 3 × 3-Schiebepuzzles kann niemals erreicht werden. Ein Schachbrett, dem zwei gegenüberliegende Ecken fehlen, lässt sich nicht parkettieren, und die Königsberger Brücken können nicht auf einem einzigen Spaziergang überquert werden. Spiele jedes davon durch und entdecke die Größe, die kein Zug verändern kann.
Lotterie-Mathematik
Das deutsche Lotto und EuroMillions haben jeweils exakt 139.838.160 mögliche Tippscheine, über völlig unterschiedliche Wege. Die Zahl, die über einen Schein entscheidet, ist die Ausschüttungsquote von 28,6%, und sie ist auf keinem einzigen Schein abgedruckt.
Nash-Gleichgewicht in einem 2×2-Spiel
Belohne den Zeilenspieler für seine Nerven, von 5 hoch auf 12, und seine Mischung bleibt bei 33,3%, während seine Auszahlung von 1,67 auf 1,20 fällt. Was sich bewegt hat, war der andere Fahrer, der in 10,0% der Fälle auswich statt in 33,3%.
Reihenkonvergenz-Explorer
Nach 50 Gliedern steht die harmonische Reihe bei 4,499205 und sie divergiert weiterhin. Eine Summe von 10 zu erreichen dauert etwa 12.000 Glieder und 100 zu erreichen dauert 1,5 × 10⁴³, weil das Wachstum nur logarithmisch ist.
Sigma-Summen-Rechner
Berechne endliche Summen in Sigma-Notation und untersuche den Verlauf der Partialsummen.
Skala des Universums
Zoome von subatomaren bis zu kosmischen Größenordnungen und vergleiche Größen mit Zehnerpotenzen.
Vollständige Induktion
n² + n + 41 ist für vierzig aufeinanderfolgende Werte von n eine Primzahl und dann gleich 41 × 41. Betrachte einen Induktionsbeweis wie eine Reihe von Dominosteinen. Finde den einen fehlerhaften Schritt im Beweis, dass alle Pferde dieselbe Farbe haben.

Weitere Werkzeuge

Break-Even-Rechner
1800 an Fixkosten bei einem Preis von 6 und variablen Kosten von 2,4 erreichen die Gewinnschwelle bei 500 Stück. Senke den Preis um 10% und du brauchst 600; senke die Stückkosten um dieselben 10% und die Gewinnschwelle verbessert sich nur um 6,25%.
Brüche addieren — und der Fehler
Addiere zwei Brüche richtig, dann addiere Zähler und Nenner getrennt und sieh, wo das landet. Die zweite Antwort ist als Summe falsch und für etwas anderes genau richtig.
Fermi-Abschätzung
Sechs Zahlen, die du schätzen musstest, miteinander multipliziert, und ein Ergebnis, das auf einen Faktor zwei genau stimmt. Das ist kein Zufall. Fehler, die sich multiplizieren, addieren ihre Logarithmen, und unabhängige Fehler, die sich addieren, heben sich tendenziell auf.
Gewichtetes Mittel Labor
Verstehe, warum der Durchschnitt von Durchschnitten bei unterschiedlichen Gruppengrößen ein falsches Gesamtergebnis liefert und wie man das gewichtete Mittel berechnet.
Hyperbelfunktionen-Explorer
cosh 1 = 1,543081 ist der Lorentzfaktor bei 0,7616 c. Setze β = tanh φ und die Relativitätstheorie wird zur hyperbolischen Trigonometrie: Rapiditäten addieren sich, also ergeben zwei Boosts von 1 ein tanh 2 = 0,9640 c.
Kreuzmultiplikations-Raster
Vier Zahlen, ein Kreuz, eine Regel. Prozente, Zuwächse, Rabatte und Alltagsverhältnisse löst man hier durch Hinsehen statt durch Auswendiglernen — einschließlich des Rückwärtsfalls, den fast alle falsch machen.
Negative Zahlen
Eine Zahlengerade, auf der man sich bewegen kann. Die drei Rechenregeln für negative Zahlen werden hier direkt abgelesen und nicht stur auswendig gelernt. Eine negative Zahl zu subtrahieren führt zu einer Addition, denn die Subtraktion war schon immer die Addition der Gegenzahl.
Newton-Verfahren Visualizer
Iteriere Tangenten, um Nullstellen zu finden, und untersuche das Konvergenzverhalten.
Pendel-Phasenportrait
Ein 1 m langes, bei 30° losgelassenes Pendel schwingt in 2,0410 s, wo die Kleinwinkelnäherung 2,0061 verspricht. Eine Periode von 10 s erfordert ein Loslassen innerhalb von 0,182° zur Vertikalen; 20 s erfordern 7,2 × 10⁻⁵ Grad.
Periodische Dezimalbrüche
Gib einen Bruch und eine Basis ein. Du siehst dann, wo die Nachkommastellen enden oder weshalb sie endlos weiterlaufen. Ob ein Dezimalbruch abbricht, hängt von der Basis genauso ab wie vom Bruch. Die Regel dahinter ist exakt.
Potenzgesetze, und warum a⁰ gleich 1 ist
Die Potenzgesetze auf einen Blick, inklusive Rechenweg. Ordne die Potenzen einer Basis in einer Spalte an, und der Wert von a⁰ ist keine Regel mehr, die du dir einfach nur merken musst.
Reaktionsfenster des Torwarts
Eine Reaktion von 0,20 s entspricht 28% der Flugzeit und kostet 48% des Bodens, den der Torwart abdecken könnte. Aus 16 m bei 80 km/h fehlen ihm am Ende 0,99 m, und die Parade gelingt erst, sobald der Schuss auf 59,1 km/h abfällt.
Rechner für komplexe Zahlen
Die Multiplikation mit i ist eine Vierteldrehung und sonst nichts: 3 + 2i wird zu −2 + 3i, wobei das Argument von 33,7° auf 123,7° wandert, während der Betrag 3,606 bleibt. Gedreht, nicht gestreckt.
Runden: Die Regeln und was sie kosten
Sechs Rundungsregeln im Vergleich. Außerdem: Warum sich das Ergebnis ändert, wenn man zweimal rundet, und wie weit eine Spalte gerundeter Zahlen von ihrer wahren Summe abweicht.
Vorrangregeln und wo man sich uneinig ist
Tippe einen Ausdruck ein und sieh zu, wie er Schritt für Schritt berechnet wird. Vier Konventionen lesen dieselbe Zeile, und sie liefern nicht alle dasselbe Ergebnis.
Warum Winkel im Bogenmaß gemessen werden
Ein Radiant ist so definiert, dass die Bogenlänge gleich dem Produkt aus Radius und Winkel ist. Genau deshalb ist die Ableitung des Sinus der Kosinus. Wechsle die Winkeleinheit und beobachte, wie in drei verschiedenen Formeln derselbe Faktor 0,017453 auftaucht.
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