Kegelschnitte-Explorer

impliziter Kegelschnitt aus Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Rechenbeispiel — Kegelschnitte-Explorer

Gleichung	0
Klassifikationsregel	Δ<0⇒Ellipse,Δ=0⇒Parabel,Δ>0⇒Hyperbel
Klassifikation	Ellipse

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die Diskriminante als geometrische Phasengrenze 🖖

Die Diskriminante Δ = B² - 4AC ist die Phasengrenze der Kegelschnitte: Δ < 0 ergibt Kurven der Ellipsen-Familie, Δ = 0 ergibt Kurven der Parabel-Familie, und Δ > 0 ergibt Kurven der Hyperbel-Familie. Die linearen Terme D und E verschieben die Kurve in der Ebene, während F den Wert der Niveaulinie festlegt.

Ein Kegel, jede Kurve 🖖

Richte eine Taschenlampe gerade auf eine Wand, und der Lichtkegel zeichnet einen Kreis; kippe sie, und der Kreis dehnt sich zu einer Ellipse, öffnet sich zur Parabel und zerfällt schließlich in eine Hyperbel. Alle vier sind Schnitte desselben Lichtkegels. Dieses Werkzeug macht das Umgekehrte: Aus den sechs Koeffizienten A–F liest es ab, welchen Schnitt du gezeichnet hast. Ein Kreis ist einfach die Ellipse mit A = C und B = 0.

Bahnen wählen ihren Kegelschnitt nach der Energie 🖖

Newton zeigte, dass jeder Körper unter der 1/r²-Gravitation einer Kegelschnittbahn mit der Sonne in einem Brennpunkt folgt, und das Vorzeichen der Gesamtenergie entscheidet welcher: negative Energie bindet ihn zu einer Ellipse, genau null ergibt eine parabolische Fluchtbahn, positive Energie öffnet eine Hyperbel. So wussten Astronomen, dass ʻOumuamua (2017) und der Komet 2I/Borisov (2019) von außerhalb des Sonnensystems kamen — ihre Bahnen waren messbar hyperbolisch (e > 1), sodass sie nichts zurückholen konnte.

Kegelschnitt-Theorie — Kurven von Kegel und Ebene

Kegelschnitte klassifizieren: Vom Kegelschnitt zur Gleichung

Jeder Kegelschnitt entsteht durch den Schnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene. Der Neigungswinkel der Ebene bestimmt die Kurvenfamilie, während die algebraische Gleichung durch die Diskriminante Δ = B² - 4AC und die Exzentrizität e klassifiziert wird.

Kreis — Konstanter Radius & Exzentrizität Null x² + y² = r²

Ellipse — Zwei Brennpunkte & Geschlossene Bahn x²/a² + y²/b² = 1

Parabel — Gleicher Abstand zu Brennpunkt & Leitlinie y = a(x − h)² + k

Hyperbel — Zwei Offene Äste & Asymptoten x²/a² − y²/b² = 1

Entartete Kegelschnitte — Schnitt durch die Spitze Ax² + Cy² = 0

Gedrehte Kegelschnitte — Gemischter Term Bxy tan(2θ) = B / (A − C)

Kreis — Konstanter Radius & Exzentrizität Null

Gegebene Bedingungen: Diskriminante Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (oder e = 0)

Gleichung: x² + y² = r²

Rechenbeispiel: x² + y² = 9 ⟹ Kreis um (0,0) mit Radius r = 3

Diesen Kegelschnitt öffnen: Kreis

Kreis — Konstanter Radius & Exzentrizität Null. Kreis: Schnittebene rechtwinklig zur Symmetrieachse des Kegels. Diskriminante Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (oder e = 0) — Kreis: Schnittebene rechtwinklig zur Symmetrieachse des Kegels.

Ellipse — Zwei Brennpunkte & Geschlossene Bahn

Gegebene Bedingungen: Diskriminante Δ < 0, A ≠ C oder B ≠ 0 (0 < e < 1)

Gleichung: x²/a² + y²/b² = 1

Rechenbeispiel: 4x² + 9y² = 36 ⟹ Halbachse a = 3, Halbachse b = 2

Diesen Kegelschnitt öffnen: geneigte Ellipse

Ellipse — Zwei Brennpunkte & Geschlossene Bahn. Ellipse: Schnittebene schräg durch einen Kegelmantel. Diskriminante Δ < 0, A ≠ C oder B ≠ 0 (0 < e < 1) — Ellipse: Schnittebene schräg durch einen Kegelmantel.

Parabel — Gleicher Abstand zu Brennpunkt & Leitlinie

Gegebene Bedingungen: Diskriminante Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1)

Gleichung: y = a(x − h)² + k

Rechenbeispiel: y - x² = 0 ⟹ Scheitelpunkt bei (0,0), Brennpunkt bei (0, 0.25)

Diesen Kegelschnitt öffnen: Parabel

Parabel — Gleicher Abstand zu Brennpunkt & Leitlinie. Parabel: Schnittebene parallel zu einer Mantellinie des Kegels. Diskriminante Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1) — Parabel: Schnittebene parallel zu einer Mantellinie des Kegels.

Hyperbel — Zwei Offene Äste & Asymptoten

Gegebene Bedingungen: Diskriminante Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1)

Gleichung: x²/a² − y²/b² = 1

Rechenbeispiel: x² - y² = 4 ⟹ Zwei Äste mit Asymptoten y = ±x

Diesen Kegelschnitt öffnen: Hyperbel

Hyperbel — Zwei Offene Äste & Asymptoten. Hyperbel: Steile Schnittebene durch beide Kegelmäntel. Diskriminante Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1) — Hyperbel: Steile Schnittebene durch beide Kegelmäntel.

Entartete Kegelschnitte — Schnitt durch die Spitze

Gegebene Bedingungen: Schnittebene verläuft genau durch die Kegelspitze

Gleichung: Ax² + Cy² = 0

Rechenbeispiel: x² + y² = 0 (Punkt) oder x² - y² = 0 (Zwei Geraden y = ±x)

Diesen Kegelschnitt öffnen: Schneidende Geraden

Entartete Kegelschnitte — Schnitt durch die Spitze. Entarteter Kegelschnitt: Schnitt durch die Spitze lässt die Kurve zusammenfallen. Schnittebene verläuft genau durch die Kegelspitze — Entarteter Kegelschnitt: Schnitt durch die Spitze lässt die Kurve zusammenfallen.

Gedrehte Kegelschnitte — Gemischter Term Bxy

Gegebene Bedingungen: Mischterm B ≠ 0 in Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Gleichung: tan(2θ) = B / (A − C)

Rechenbeispiel: 4x² + xy + 2y² = 16 ⟹ Gedrehte Ellipse mit geneigten Achsen

Diesen Kegelschnitt öffnen: fast eine Parabel

Gedrehte Kegelschnitte — Gemischter Term Bxy. Gedrehter Kegelschnitt: Der Bxy-Term neigt die Haupt- und Nebenachsen im Koordinatensystem. Mischterm B ≠ 0 in Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 — Gedrehter Kegelschnitt: Der Bxy-Term neigt die Haupt- und Nebenachsen im Koordinatensystem.

Quellen (1)

Insight block 3 — the hyperbolic orbit that proved an object came from outside: K. J. Meech et al., "A brief visit from a red and extremely elongated interstellar asteroid." Nature 552, 378–381, 2017 — 1I/ʻOumuamua, whose positive orbital energy is what identified it.

Aufgabe vollständig gelöst

Der Neigungswinkel der schiefen Ellipse, ihre beiden Achsen und Exzentrizität 5 Schritte
4x² + xy + 2y² = 16 ist eine Ellipse, und der xy-Term bedeutet, dass sie schräg liegt. Bestimmen Sie den Neigungswinkel, ihre beiden Achsen und ihre Exzentrizität — nichts davon gibt dieses Feld aus.
1. Die Diskriminante bestimmt zuerst die Familie. Sie ist negativ, folglich ist die Kurve eine Ellipse, und keine Drehung oder Verschiebung kann daran etwas ändern.
  
  $Δ = B^{2} - 4 A C = 1 - 4 (4) (2) = 1 - 32 = - 31 < 0$
2. Schreiben Sie den quadratischen Teil als symmetrische Matrix, wobei der xy-Koeffizient auf die beiden Nebendiagonaleinträge aufgeteilt wird. Ihre Determinante beträgt 7,75, und die Diskriminante ist genau das −4-Fache davon — derselbe Test in anderer Schreibweise.
  
  $M = (A B /2 B /2 C) = (4 0.5 0.5 2), det M = 8 - 0.25 = 7.75 = - \frac{Δ}{4}$
3. Eine Drehung der Achsen um θ ändert B, und die Drehung, die diesen Koeffizienten vollständig eliminiert, erfüllt tan 2θ = B/(A − C). Das Auflösen ergibt eine Neigung von etwa 13,3°.
  
  $tan 2 θ = \frac{B}{A - C} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 13.282 5^{\circ}$
4. Im gedrehten Koordinatensystem hat die Gleichung keinen gemischten Term, und die zwei neuen Koeffizienten sind die Eigenwerte dieser Matrix. Die Ellipse liegt dann in ihrer gewohnten Form vor.
  
  $λ = \frac{6 \pm 5}{2} = 4.118, 1.882 ⟹ 4.118 x^{'2} + 1.882 y^{'2} = 16$
5. Daraus folgen die Halbachsen und mit ihnen die Exzentrizität: 0,737. Das ist eine ausgesprochen langgestreckte Ellipse — die kleine Achse beträgt 68 % der großen, und kein Planet im Sonnensystem befindet sich auf einer Umlaufbahn, die auch nur annähernd dieser Form entspricht.
  
  $a = \frac{16}{1.882} = 2.916, b = \frac{16}{4.118} = 1.971, e = 1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = 0.737$
Antwort

Das Werkzeug gibt Δ = −31 aus und klassifiziert sie als Ellipse. Schritt 2 erklärt, warum man dieser Klassifizierung vertrauen kann. Eine Drehung der Achsen ändert A, B und C einzeln, aber sie kann die Determinante der von ihnen gebildeten Matrix nicht ändern, und die Diskriminante ist nichts anderes als diese Determinante mal −4. Die Grenze zwischen Ellipse, Parabel und Hyperbel ist somit eine Eigenschaft der Kurve und nicht der Koordinaten, in denen sie zufällig gezeichnet wurde — genau das, was eine Klassifizierung sein muss, um sinnvoll zu sein.

$Δ = - 4 det M, and det M survives rotation$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Kreis - x^2 + y^2 = 9 ist ein Kreis, ein Sonderfall der Ellipse.
geneigte Ellipse - Ein von Null verschiedener xy-Term erzeugt eine gedrehte Ellipse.
Parabel - y = x^2 ergibt die Klassifikation als Parabel (delta=0).
Hyperbel - x^2 - y^2 = 4 ist eine zweiästige Hyperbel.
Schneidende Geraden - Hier ist Δ = 4, exakt wie bei der Voreinstellung für die Hyperbel. Die Klassifikation lautet jedoch Entartet. Der einzige Unterschied zwischen den beiden Fällen ist F: 0 gegenüber −4. In B² − 4AC taucht F überhaupt nicht auf. Die Gleichung x² − y² = 0 lässt sich als (x − y)(x + y) = 0 faktorisieren, was schlicht den beiden Asymptoten für sich genommen entspricht. Genau das wird aus einer Hyperbel, sobald du sie sich schließen lässt. Die Diskriminante benennt die Familie. Ob die Kurve selbst fortbesteht, kann sie dir nicht verraten.
fast eine Parabel - Δ = 2² − 4(1)(1) = 0 ergibt exakt null. Die Klassifikation lautet also Parabel, nicht nur fast. Zusammengefasst lautet die Gleichung (x + y)² = 4y. Der xy-Term hat die Parabel aus den Achsen gedreht, ohne ihr Wesen zu verändern. Verringere B um ein Zehntel, dann wird Δ negativ und die Kurve schließt sich zu einer Ellipse. Erhöhst du den Wert stattdessen, öffnet sie sich zu einer Hyperbel. Die gesamte Familie hängt an dieser einen Zahl.